Шум Джонсона – Найквиста

Рисунок 1. Эксперимент Джонсона шум от сопротивления 1927 года показал, что если тепловой ${\text{R}}$ с температурой ${\text{T}}$ ограничена ​ полосой пропускания $\Delta f$, то его среднеквадратичное напряжение $(V_{\text{rms}})$ является ${\sqrt {4k_{\text{B}}{\text{T}}\,{\text{R}}\,\Delta f}}$ в общем, где $k_{\text{B}}$ — постоянная Больцмана .

Шум Джонсона-Найквиста ( тепловой шум , шум Джонсона или шум Найквиста ) — это электронный шум, создаваемый тепловым возбуждением носителей заряда (обычно электронов ) внутри электрического проводника в состоянии равновесия, которое происходит независимо от приложенного напряжения . Тепловой шум присутствует во всех электрических цепях , а в чувствительном электронном оборудовании (например, радиоприемниках ) может заглушать слабые сигналы и может быть ограничивающим фактором чувствительности электроизмерительных приборов. Тепловой шум пропорционален абсолютной температуре , поэтому некоторое чувствительное электронное оборудование, такое как приёмники радиотелескопов, охлаждается до криогенных температур, чтобы улучшить соотношение сигнал/шум . Общий статистический физический вывод этого шума называется теоремой о флуктуации-диссипации , где обобщенный импеданс или обобщенная восприимчивость для характеристики среды используется .

Рисунок 2. Шум Джонсона-Найквиста имеет почти постоянную 4 кБ _R T спектральную плотность мощности на единицу частоты , но затухает до нуля из-за квантовых эффектов на высоких частотах ( терагерц для комнатной температуры). На горизонтальной оси этого графика используется логарифмический масштаб , так что каждая вертикальная линия соответствует десятичной степени частоты в герцах .

Тепловой шум идеального резистора имеет примерно белый цвет мощности , что означает, что его спектральная плотность почти постоянна во всем частотном спектре (рис. 2). При ограничении конечной полосы пропускания и рассмотрении во временной области (как показано на рисунке 1) тепловой шум имеет почти гауссово распределение амплитуды .

В общем случае это определение применимо к носителям заряда в любом типе проводящей среды (например, ионам в электролите ), а не только к резисторам . Тепловой шум отличается от дробового шума , который состоит из дополнительных флуктуаций тока, возникающих при подаче напряжения и начале протекания макроскопического тока.

История теплового шума

В 1905 году в одной из Альберта Эйнштейна Annus mirabilis статей теория броуновского движения была впервые решена в терминах тепловых флуктуаций. В следующем году во второй статье о броуновском движении Эйнштейн предположил, что то же явление можно применить для получения термически возбужденных токов, но не провел расчет, поскольку считал его непроверяемым.

Гертруда де Хаас-Лоренц , дочь Хендрика Лоренца , в своей докторской диссертации 1912 года расширила стохастическую теорию Эйнштейна и впервые применила ее к изучению электронов, выведя формулу для среднеквадратического значения теплового тока.

Уолтер Х. Шоттки изучал эту проблему в 1918 году, изучая тепловой шум с помощью теории Эйнштейна, экспериментально обнаружил другой вид шума — дробовой шум .

Фриц Цернике, работавший в области электрической метрологии, обнаружил необычные случайные отклонения при работе с высокочувствительными гальванометрами . Он отверг идею о механическом характере шума и пришел к выводу, что он имеет тепловую природу. В 1927 году он ввел идею автокорреляции в электрические измерения и рассчитал временной предел обнаружения. Его работа совпала с предсказанием де Хааса-Лоренца.

В том же году, работая независимо, не зная о работе Цернике, Джон Б. Джонсон, работавший в Bell Labs, обнаружил такой же шум в системах связи, но описал его в терминах частот. Он описал свои открытия Гарри Найквисту , также работавшему в Bell Labs, который использовал принципы термодинамики и статистической механики для объяснения результатов, опубликованных в 1928 году.

Шум идеальных резисторов для умеренных частот

Рисунок 3. Хотя тепловой шум имеет почти постоянную спектральную плотность мощности $4k_{\text{B}}TR$, полосовой фильтр с полосой пропускания $\Delta f{=}f_{\text{upper}}{-}f_{\text{lower}}$ проходит только заштрихованную область высоты $4k_{\text{B}}TR$ и ширина $\Delta f$. Примечание. Практические фильтры не имеют в виде кирпичной стены обрезков , поэтому левый и правый края этой области не являются идеально вертикальными.

Эксперимент Джонсона (рис. 1) показал, что тепловой шум от сопротивления $R$ при температуре Кельвина $T$ и полоса ограничена полосой частот полосы пропускания $\Delta f$ (Рисунок 3) имеет среднеквадратичное напряжение:

${\overline {V_{n}^{2}}}=4k_{\text{B}}TR\,\Delta f$

где $k_{\rm {B}}$ — постоянная Больцмана ( 1,380 649 × 10 ⁻²³ джоули на кельвин ). Хотя это уравнение применимо к идеальным резисторам (т.е. чистым сопротивлениям без какой-либо частотной зависимости) при неэкстремальных частотах и ​​температурах, более точная общая форма учитывает комплексные импедансы и квантовые эффекты. Обычная электроника обычно работает в более ограниченной полосе пропускания , поэтому уравнение Джонсона часто является удовлетворительным.

Спектральная плотность мощности

Среднеквадратичное напряжение на герц полосы пропускания равно $4k_{\text{B}}TR$ и может быть названа спектральной плотностью мощности (рис. 2). Его квадратный корень при комнатной температуре (около 300 К) приближается к 0,13. ${\sqrt {R}}$ в единицах ⁠ нановольты / √ герцы ⁠ . Например, резистор сопротивлением 10 кОм будет иметь примерно 13 ⁠ нановольты / √ герцы ⁠ при комнатной температуре.

Среднеквадратичное шумовое напряжение

Рисунок 4. Эти схемы эквивалентны:

(А) Резистор при ненулевой температуре с внутренним тепловым шумом;

(B) : Эквивалентная схема Тевенена бесшумный резистор, включенный последовательно с источником шумового напряжения ;

(C) : Эквивалентная схема Нортона бесшумное сопротивление параллельно источнику шумового тока .

Квадратный корень из среднеквадратического напряжения дает среднеквадратичное (RMS) напряжение, наблюдаемое в полосе пропускания. $\Delta f$:

$V_{\text{rms}}={\sqrt {\overline {V_{n}^{2}}}}={\sqrt {4k_{\text{B}}TR\,\Delta f}}\,.$

Резистор с тепловым шумом может быть представлен эквивалентной схемой Тевенена (рис. 4B), состоящей из бесшумного резистора, включенного последовательно с источником напряжения гауссовского шума с указанным выше среднеквадратичным напряжением.

При комнатной температуре сопротивление 3 кОм обеспечивает среднеквадратичный шум почти в один микровольт при частоте более 20 кГц ( диапазон человеческого слуха ) и 60 Ом·Гц для $R\,\Delta f$ соответствует почти одному нановольту среднеквадратического шума.

Среднеквадратичный шумовой ток

Резистор с тепловым шумом также можно преобразовать в эквивалентную схему Нортона (рис. 4C), состоящую из безшумового резистора, включенного параллельно с источником тока гауссовского шума со следующим среднеквадратичным током:

$I_{\text{rms}}={V_{\text{rms}} \over R}={\sqrt {{4k_{\text{B}}T\Delta f} \over R}}.$

Тепловой шум на конденсаторах

Идеальные конденсаторы , как устройства без потерь, не имеют теплового шума. Однако комбинация резистора и конденсатора ( RC-цепь , обычный фильтр нижних частот ) имеет так называемый шум kTC . Шумовая полоса пропускания RC-цепи равна $\Delta f{=}{\tfrac {1}{4RC}}.$ Когда это подставляется в уравнение теплового шума, результат имеет необычно простую форму, поскольку значение сопротивления ( R ) выпадает из уравнения. Это связано с тем, что более высокое R уменьшает полосу пропускания настолько же, насколько увеличивает шум.

Среднеквадратичное и среднеквадратичное напряжение шума, генерируемое в таком фильтре, равно:

${\overline {V_{n}^{2}}}={4k_{\text{B}}TR \over 4RC}={k_{\text{B}}T \over C}$

$V_{\text{rms}}={\sqrt {4k_{\text{B}}TR \over 4RC}}={\sqrt {k_{\text{B}}T \over C}}.$

шум Плата за $Q_{n}$ это емкость, умноженная на напряжение:

$Q_{n}=C\,V_{n}=C{\sqrt {k_{\text{B}}T \over C}}={\sqrt {k_{\text{B}}TC}}$

${\overline {Q_{n}^{2}}}=C^{2}\,{\overline {V_{n}^{2}}}=C^{2}{k_{\text{B}}T \over C}=k_{\text{B}}TC$

Этот зарядовый шум является источником термина « шум kTC ». Несмотря на независимость от номинала резистора, 100% шума kTC возникает в резисторе. Следовательно, было бы неправильно дважды учитывать как тепловой шум резистора, так и связанный с ним шум kTC. и следует использовать только температуру резистора, даже если резистор и конденсатор имеют разные температуры. Некоторые значения приведены в таблице ниже:

Тепловой шум на конденсаторах при 300 К

Емкость	$V_{\text{rms}}{=}{\sqrt {k_{\text{B}}T \over C}}$	Шум зарядки $Q_{n}{=}{\sqrt {k_{\text{B}}TC}}$
		как кулоны	как электроны
1 фф	2 мВ	2 г. до н.э.	12,5 и −
10 фФ	640 мкВ	6,4 г. до н.э.	40 и −
100 фФ	200 мкВ	20 г. до н.э.	125 и −
1 пФ	64 мкВ	64 г. до н.э.	400 и −
10 пФ	20 мкВ	200 г. до н.э.	1250 и −
100 пФ	6,4 мкВ	640 г. до н.э.	4000 и −
1 нФ	2 мкВ	2 ФК	12500 и −

Сбросить шум

Крайним случаем является предел нулевой полосы пропускания, называемый шумом сброса, остающимся на конденсаторе при размыкании идеального переключателя . Хотя сопротивление открытия идеального переключателя бесконечно, формула по-прежнему применима. Однако теперь среднеквадратичное напряжение следует интерпретировать не как среднее значение по времени, а как среднее значение по многим таким событиям сброса, поскольку напряжение постоянно, когда полоса пропускания равна нулю. В этом смысле шум Джонсона RC-цепи можно рассматривать как неотъемлемый эффект термодинамического распределения числа электронов на конденсаторе, даже без участия резистора.

Шум вызван не самим конденсатором, а термодинамическими колебаниями количества заряда на конденсаторе. Как только конденсатор отключается от проводящей цепи, термодинамические колебания фиксируются на случайном значении со стандартным отклонением , как указано выше. Шум сброса емкостных датчиков часто является ограничивающим источником шума, например, в датчиках изображения .

Любая система, находящаяся в равновесии, имеет переменные состояния со средней энергией тепловом ⁠ кТ / 2 ⁠ на степень свободы . Используя формулу энергии на конденсаторе ( E = ⁠ 1 / 2 ⁠ CV ² ), средняя энергия шума на конденсаторе также равна ⁠ 1 / 2 ⁠ C ⁠ kT / C ⁠ = ⁠ кТ / 2 ⁠ . Тепловой шум конденсатора может быть получен из этого соотношения без учета сопротивления.

Термометрия

Шум Джонсона-Найквиста находит применение в прецизионных измерениях, в которых его обычно называют «шумовой термометрией Джонсона».

Например, в 2017 году NIST использовал шумовую термометрию Джонсона для измерения постоянной Больцмана с погрешностью менее 3 частей на миллион . Это было достигнуто с помощью стандарта напряжения Джозефсона и квантового резистора Холла , поддерживаемого при температуре тройной точки воды . Напряжение измеряется в течение 100 дней и интегрируется.

Это было сделано в 2017 году, когда тройная точка температуры воды по определению составляла 273,16 К, а постоянную Больцмана можно было измерить экспериментально. Поскольку погрешность акустической газовой термометрии достигла 0,2 ppm, а шума Джонсона — 2,8 ppm, это выполнило предварительные условия для переопределения. После переопределения кельвин был определен так, что постоянная Больцмана равна 1,380649×10. ⁻²³ J⋅K ⁻¹ , и тройная точка воды стала экспериментально измерена.

Тепловой шум на индукторах

Индукторы являются двойниками конденсаторов. Аналог шума kTC, резистор с катушкой индуктивности. $L$ приводит к шумовому току , который не зависит от сопротивления:

${\overline {I_{n}^{2}}}={k_{\text{B}}T \over L}\,.$

Максимальная передача мощности шума

Шум, создаваемый резистором $R_{\text{S}}$ может перейти на оставшуюся цепь. Максимальная передача мощности происходит, когда Тевенена эквивалентное сопротивление $R_{\rm {L}}$ из оставшихся матчей круга $R_{\text{S}}$. В этом случае каждый из двух резисторов рассеивает шум как в себе, так и в другом резисторе. Поскольку на любом из этих резисторов падает только половина напряжения источника, максимальная передаваемая мощность шума равна:

$P_{\text{max}}=k_{\text{B}}\,T\Delta f\,.$

Этот максимум не зависит от сопротивления и называется доступной мощностью шума резистора.

Доступная шумовая мощность в децибел-милливаттах

Мощность сигнала часто измеряется в дБм ( децибелы относительно 1 милливатт ). Таким образом, доступная мощность шума будет равна $10\ \log _{10}({\tfrac {k_{\text{B}}T\Delta f}{\text{1 mW}}})$ в дБм. При комнатной температуре (300 К) имеющуюся мощность шума можно легко аппроксимировать как $10\ \log _{10}(\Delta f)-173.8$ в дБм для полосы пропускания в герцах. Некоторые примеры доступной мощности шума в дБм приведены в таблице ниже:

Пропускная способность $(\Delta f)$	Доступная мощность теплового шума при 300 К ( дБм )	Примечания
1 Гц	−174
10 Гц	−164
100 Гц	−154
1 кГц	−144
10 кГц	−134	FM- канал двусторонней радиосвязи
100 кГц	−124
180 кГц	−121.45	Один LTE блок ресурсов
200 кГц	−121	GSM- канал
1 МГц	−114	Bluetooth-канал
2 МГц	−111	Коммерческий GPS- канал
3,84 МГц	−108	UMTS- канал
6 МГц	−106	Аналоговый телеканал
20 МГц	−101	WLAN 802.11 Канал
40 МГц	−98	WLAN 802.11n, канал 40 МГц
80 МГц	−95	WLAN 802.11ac, канал 80 МГц
160 МГц	−92	Канал WLAN 802.11ac 160 МГц
1 ГГц	−84	СШП канал

Вывод Найквиста о шуме идеального резистора

Рисунок 5. Схема Найквиста 1928 года. мысленного эксперимента с использованием двух шумящих резисторов (каждый из которых представлен здесь бесшумным резистором, включенным последовательно с источником шумового напряжения), соединенных через длинную линию передачи без потерь длиной $l$. каждого резистора Шумовой сигнал распространяется по линии со скоростью ${\text{v}}$. Все импедансы одинаковы, поэтому оба сигнала поглощаются противоположным резистором, а не отражаются .

Затем Найквист представил, что закоротил оба конца линии, тем самым задерживая энергию полета на линии. Поскольку вся энергия полета теперь полностью отражается (из-за несогласованного импеданса), энергию полета можно представить как сумму синусоидальных стоячих волн . Для полосы частот $\Delta f$, есть $2l\,\Delta f/{\text{v}}$ режимы колебаний . Каждый режим обеспечивает $k_{\rm {B}}T$ энергии в среднем, из них $k_{\rm {B}}T/2$ является электрическим и $k_{\rm {B}}T/2$ является магнитным, поэтому полная энергия в этой полосе пропускания в среднем равна $k_{\rm {B}}T\cdot 2l\,\Delta f/{\text{v}}.$ Каждый резистор вносил свой вклад $k_{\rm {B}}T\cdot l\,\Delta f/{\text{v}}$ (половина всей энергии).

Но поскольку до замыкания изначально отражений не было, значение этой полной энергии в полете также равно суммарной энергии, которая была передана от обоих резисторов в линию в течение интервала времени прохождения $l/{\text{v}}$. Разделив среднюю энергию, передаваемую от каждого резистора в линию, на интервал времени прохождения , получим мощность общую $k_{\rm {B}}T\,\Delta f$ передается по полосе пропускания $\Delta f$ в среднем с каждого резистора.

Статья Найквиста 1928 года «Термическое перемешивание электрического заряда в проводниках». использовал понятия о потенциальной энергии и гармонических осцилляторах из закона равнораспределения Больцмана . и Максвелла чтобы объяснить экспериментальный результат Джонсона. Найквиста Мысленный эксперимент суммировал энергетический вклад каждого режима колебаний стоячей волны в длинной линии передачи без потерь между двумя равными резисторами ( $R_{1}{=}R_{2}$). Согласно выводу рисунка 5, общая средняя мощность, передаваемая по полосе пропускания $\Delta f$ от $R_{1}$ и поглощен $R_{2}$ было определено:

${\overline {P_{1}}}=k_{\rm {B}}T\,\Delta f\,.$

Простое применение закона Ома говорит о том, что ток от $V_{1}$ (шум теплового напряжения всего $R_{1}$) через комбинированное сопротивление ${\textstyle I_{1}{=}{\tfrac {V_{1}}{R_{1}+R_{2}}}{=}{\tfrac {V_{1}}{2R_{1}}}}$, поэтому мощность, передаваемая от $R_{1}$ к $R_{2}$ представляет собой квадрат этого тока, умноженный на $R_{2}$, что упрощает:

$P_{\text{1}}=I_{1}^{2}R_{2}=I_{1}^{2}R_{1}=({\tfrac {V_{1}}{2R_{1}}})^{2}R_{1}={\tfrac {V_{1}^{2}}{4R_{1}}}\,.$

Установка этого ${\textstyle P_{\text{1}}}$ равно предыдущему выражению средней мощности ${\textstyle {\overline {P_{1}}}}$ позволяет найти среднее значение ${\textstyle V_{1}^{2}}$ по этой полосе пропускания:

${\overline {V_{1}^{2}}}=4k_{\text{B}}T{R_{1}}\,\Delta f\,.$

Найквист использовал аналогичные рассуждения, чтобы найти обобщенное выражение, применимое также к неравным и комплексным импедансам . И хотя Найквист выше использовал $k_{\rm {B}}T$ Согласно классической теории, Найквист завершил свою статью, попытавшись использовать более сложное выражение, включающее постоянную Планка. $h$ (из новой теории квантовой механики ).

Обобщенные формы

The $4k_{\text{B}}TR$ Описанный выше шум напряжения представляет собой частный случай чисто резистивного компонента на низких и средних частотах. В целом, термоэлектрический шум по-прежнему связан с резистивным откликом во многих более общих электрических случаях, как следствие теоремы о флуктуации-диссипации . Ниже отмечены различные обобщения. Все эти обобщения имеют общее ограничение: они применяются только в тех случаях, когда рассматриваемый электрический компонент является чисто пассивным и линейным.

Комплексные импедансы

В оригинальной статье Найквиста также представлен обобщенный шум для компонентов, имеющих частично реактивную реакцию, например, источников, содержащих конденсаторы или катушки индуктивности. Такую составляющую можно описать частотно-зависимым комплексным электрическим импедансом. $Z(f)$. Формула для спектральной плотности мощности последовательного шумового напряжения:

$S_{v_{n}v_{n}}(f)=4k_{\text{B}}T\eta (f)\operatorname {Re} [Z(f)].$

Функция $\eta (f)$ составляет примерно 1, за исключением очень высоких частот или вблизи абсолютного нуля (см. ниже).

Действительная часть импеданса, $\operatorname {Re} [Z(f)]$, как правило, зависит от частоты, поэтому шум Джонсона – Найквиста не является белым шумом. Среднеквадратичное шумовое напряжение в диапазоне частот $f_{1}$ к $f_{2}$ может быть найдена путем извлечения квадратного корня из интегрирования спектральной плотности мощности:

$V_{\text{rms}}={\sqrt {\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{v_{n}v_{n}}(f)df}}$.

В качестве альтернативы для описания шума Джонсона можно использовать параллельный шумовой ток, его спектральная плотность мощности равна

$S_{i_{n}i_{n}}(f)=4k_{\text{B}}T\eta (f)\operatorname {Re} [Y(f)].$

где $Y(f){=}{\tfrac {1}{Z(f)}}$ – электрическая проводимость ; Обратите внимание, что $\operatorname {Re} [Y(f)]{=}{\tfrac {\operatorname {Re} [Z(f)]}{|Z(f)|^{2}}}\,.$

Квантовые эффекты на высоких частотах или низких температурах

При правильном учете квантовых эффектов (которые актуальны для очень высоких частот или очень низких температур вблизи абсолютного нуля ) повышающий коэффициент $\eta (f)$ упомянутое ранее, как правило, определяется следующим образом:

$\eta (f)={\frac {hf/k_{\text{B}}T}{e^{hf/k_{\text{B}}T}-1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {hf}{k_{\text{B}}T}}\,.$

На очень высоких частотах ( $f\gtrsim {\tfrac {k_{\text{B}}T}{h}}$), функция $\eta (f)$ начинает экспоненциально уменьшаться до нуля. При комнатной температуре этот переход происходит в терагерцовом диапазоне, что намного превышает возможности традиционной электроники, поэтому справедливо положить $\eta (f)=1$ для работы с обычной электроникой.

Связь с законом Планка

Формула Найквиста по существу такая же, как и формула, полученная Планком в 1901 году для электромагнитного излучения абсолютно черного тела в одном измерении, т. е. это одномерная версия закона Планка об излучении абсолютно черного тела . Другими словами, горячий резистор будет создавать электромагнитные волны в линии передачи точно так же, как горячий объект создает электромагнитные волны в свободном пространстве.

В 1946 году Роберт Х. Дик подробно остановился на этой связи: и далее связал это со свойствами антенн, в частности с тем фактом, что средняя апертура антенны по всем направлениям не может быть больше, чем ${\tfrac {\lambda ^{2}}{4\pi }}$, где λ — длина волны. Это происходит из-за различной частотной зависимости трехмерного и одномерного закона Планка.

Многополюсные электрические сети

Ричард К. Твисс распространил формулы Найквиста на многопортовые пассивные электрические сети, включая невзаимные устройства, такие как циркуляторы и изоляторы . Тепловой шум появляется на каждом порту и может быть описан как случайные последовательные источники напряжения, включенные последовательно с каждым портом. Случайные напряжения на разных портах могут быть коррелированы, а их амплитуды и корреляции полностью описываются набором функций кросс-спектральной плотности, связывающих различные шумовые напряжения.

$S_{v_{m}v_{n}}(f)=2k_{\text{B}}T\eta (f)(Z_{mn}(f)+Z_{nm}(f)^{*})$

где $Z_{mn}$ являются элементами матрицы импеданса $\mathbf {Z}$.Опять же, альтернативное описание шума заключается в использовании параллельных источников тока, применяемых к каждому порту. Их кросс-спектральная плотность определяется выражением

$S_{i_{m}i_{n}}(f)=2k_{\text{B}}T\eta (f)(Y_{mn}(f)+Y_{nm}(f)^{*})$

где $\mathbf {Y} =\mathbf {Z} ^{-1}$ – матрица допуска .

См. также

• Теорема о флуктуации-диссипации
• Шум выстрела
• Розовый шум
• Уравнение Ланжевена
• Подъем над термиком

Ссылки

В этой статье использованы общедоступные материалы из Федеральный стандарт 1037C . Управление общего обслуживания . Архивировано из оригинала 22 января 2022 г. (в поддержку MIL-STD-188 ).

Внешние ссылки

• Шум усилителя в радиочастотных системах
• Тепловой шум (бакалавриат) с подробной математикой