Масштабная инвариантность

Винеровский процесс масштабно-инвариантен.

В физике , математике и статистике . масштабная инвариантность — это свойство объектов или законов, которые не изменяются, если масштабы длины, энергии или других переменных умножаются на общий коэффициент и, таким образом, представляют собой универсальность

Технический термин для этого преобразования — расширение (также известное как расширение ). Дилатации могут составлять часть более крупной конформной симметрии .

• В математике масштабная инвариантность обычно относится к инвариантности отдельных функций или кривых . Близко связанное понятие — самоподобие , когда функция или кривая инвариантны относительно дискретного подмножества расширений. могут Распределения вероятностей также случайных процессов проявлять такого рода масштабную инвариантность или самоподобие.
• В классической теории поля масштабная инвариантность чаще всего применяется к инвариантности всей теории относительно расширений. Такие теории обычно описывают классические физические процессы без характерного масштаба длины.
• В квантовой теории поля масштабная инвариантность имеет интерпретацию с точки зрения физики элементарных частиц . В масштабно-инвариантной теории сила взаимодействия частиц не зависит от энергии участвующих частиц.
• В статистической механике особенностью фазовых переходов является масштабная инвариантность . Ключевое наблюдение заключается в том, что вблизи фазового перехода или критической точки флуктуации происходят на всех масштабах длины, и поэтому для описания этих явлений следует искать явно масштабно-инвариантную теорию. Такие теории являются масштабно-инвариантными статистическими теориями поля и формально очень похожи на масштабно-инвариантные квантовые теории поля.
• Универсальность — это наблюдение, что самые разные микроскопические системы могут демонстрировать одинаковое поведение при фазовом переходе. Таким образом, фазовые переходы во многих различных системах могут быть описаны одной и той же основной масштабно-инвариантной теорией.
• В общем, безразмерные величины масштабно-инвариантны. Аналогичным понятием в статистике являются стандартизированные моменты , которые являются масштабно-инвариантной статистикой переменной, а нестандартизованные моменты - нет.

Масштабно-инвариантные кривые и самоподобие

В математике можно рассмотреть масштабные свойства функции или кривой f ( x ) при изменении масштаба переменной x . То есть нас интересует форма f ( λx ) для некоторого масштабного коэффициента λ , который можно принять за изменение масштаба длины или размера. Требование, чтобы f ( x ) было инвариантным при всех изменениях масштаба, обычно считается равным

$f(\lambda x)=\lambda ^{\Delta }f(x)$

для некоторого выбора показателя Δ и для всех расширений λ . Это эквивалентно тому, что f является однородной функцией степени Δ.

Примерами масштабно-инвариантных функций являются мономы $f(x)=x^{n}$, для которого ∆ = n , причем, очевидно,

$f(\lambda x)=(\lambda x)^{n}=\lambda ^{n}f(x)~.$

Примером масштабно-инвариантной кривой является логарифмическая спираль , разновидность кривой, которая часто встречается в природе. В полярных координатах ( r , θ ) спираль можно записать как

$\theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a)~.$

С учетом вращения кривой она инвариантна при всех изменениях масштаба λ ; то есть θ ( λr ) идентично повернутой версии θ ( r ) .

Проективная геометрия

Идея масштабной инвариантности монома обобщается в более высоких измерениях до идеи однородного многочлена и, в более общем плане, до однородной функции . Однородные функции — естественные обитатели проективного пространства , а однородные многочлены изучаются как проективные многообразия в проективной геометрии . Проективная геометрия — особенно богатая область математики; в своей наиболее абстрактной форме — геометрии схем — она связана с различными темами теории струн .

Фракталы

Кривая Коха самоподобна ​ .

Иногда говорят, что фракталы масштабно-инвариантны, хотя точнее следует сказать, что они самоподобны . Фрактал равен самому себе, как правило, только для дискретного набора значений λ , и даже тогда, возможно, придется применить сдвиг и вращение, чтобы сопоставить фрактал с самим собой.

Так, например, кривая Коха масштабируется с ∆ = 1 , но масштабирование справедливо только для значений λ = 1/3. ^н для целого числа n . Кроме того, кривая Коха масштабируется не только в начале координат, но и, в определенном смысле, «везде»: ее миниатюрные копии можно найти на всем протяжении кривой.

Некоторые фракталы могут иметь одновременное действие нескольких коэффициентов масштабирования; такое масштабирование изучается с помощью мультифрактального анализа .

Периодические внешние и внутренние лучи являются инвариантными кривыми.

Масштабная инвариантность в случайных процессах

Если P ( f ) — средняя ожидаемая мощность на частоте f , то шум масштабируется как

$P(f)=\lambda ^{-\Delta }P(\lambda f)$

с Δ = 0 для белого шума , Δ = -1 для розового шума и Δ = -2 для броуновского шума (и, в более общем плане, броуновского движения ).

Точнее, масштабирование в стохастических системах касается вероятности выбора конкретной конфигурации из множества всех возможных случайных конфигураций. Эта вероятность определяется распределением вероятностей .

Примерами масштабно-инвариантных распределений являются распределение Парето и распределение Зипфиана .

Масштабно-инвариантные распределения Твиди

Распределения Твиди — это частный случай моделей экспоненциальной дисперсии , класса статистических моделей, используемых для описания распределений ошибок для обобщенной линейной модели и характеризующихся замыканием при аддитивной и репродуктивной свертке, а также при масштабном преобразовании. К ним относятся ряд распространенных распределений: нормальное распределение , распределение Пуассона и гамма-распределение , а также более необычные распределения, такие как сложное гамма-распределение Пуассона, положительные стабильные распределения и чрезвычайно стабильные распределения. Вследствие присущей им масштабной инвариантности случайные переменные Твиди Y демонстрируют дисперсию var( Y ), что означает E( Y степенной закон ):

${\text{var}}\,(Y)=a[{\text{E}}\,(Y)]^{p}$,

где a и p — положительные константы. Это отклонение от среднего степенного закона известно в физической литературе как масштабирование флуктуаций . и в экологической литературе как закон Тейлора .

Случайные последовательности, управляемые распределениями Твиди и оцениваемые методом расширения интервалов, демонстрируют двуусловную связь между дисперсией среднего степенного закона и автокорреляцией степенного закона . Теорема Винера-Хинчина далее подразумевает, что для любой последовательности, которая демонстрирует отклонение от среднего степенного закона в этих условиях, также будет проявляться 1/f шум .

Теорема о сходимости Твиди дает гипотетическое объяснение широкого проявления флуктуационного масштабирования и 1/f . шума По сути, это требует, чтобы любая модель экспоненциальной дисперсии, которая асимптотически демонстрирует отклонение от среднего степенного закона, должна была выражать функцию дисперсии , которая входит в область притяжения модели Твиди. Почти все функции распределения с конечными производящими функциями кумулянта квалифицируются как модели экспоненциальной дисперсии, и большинство моделей экспоненциальной дисперсии проявляют функции дисперсии этой формы. Следовательно, многие распределения вероятностей имеют функции дисперсии, которые выражают это асимптотическое поведение , и распределения Твиди становятся фокусами сходимости для широкого диапазона типов данных.

Подобно тому, как центральная предельная теорема требует, чтобы определенные виды случайных величин имели в качестве фокуса сходимости распределение Гаусса и выражали белый шум , теорема сходимости Твиди требует, чтобы определенные негауссовы случайные величины выражали шум 1/f и масштабирование флуктуаций.

Космология

В физической космологии спектр мощности пространственного распределения космического микроволнового фона близок к масштабно-инвариантной функции. спектр представляет собой степенной закон, в космологии термин «масштабно-инвариантный» указывает на то, что амплитуда P ( k ) первичных флуктуаций как функция волнового числа k Хотя в математике это означает, что приблизительно постоянна, т.е. плоский спектр. Эта модель согласуется с предположением о космической инфляции .

Масштабная инвариантность в классической теории поля

Классическая теория поля в общих чертах описывается полем или набором полей φ , которые зависят от координат x . Допустимые конфигурации поля затем определяются путем решения дифференциальных уравнений для φ , и эти уравнения известны как уравнения поля .

Чтобы теория была масштабно-инвариантной, ее уравнения поля должны быть инвариантны относительно изменения масштаба координат в сочетании с некоторым указанным изменением масштаба полей:

$x\rightarrow \lambda x~,$

$\varphi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\varphi ~.$

Параметр ∆ известен как масштабная размерность поля, и его значение зависит от рассматриваемой теории. Масштабная инвариантность обычно сохраняется при условии, что в теории не появляется масштаб фиксированной длины. И наоборот, наличие шкалы фиксированной длины указывает на то, что теория не является масштабно-инвариантной.

Следствием масштабной инвариантности является то, что, получив решение масштабно-инвариантного уравнения поля, мы можем автоматически найти другие решения, соответствующим образом изменив масштаб как координат, так и полей. Говоря техническим языком, при наличии решения φ ( x ) всегда есть другие решения вида

$\lambda ^{\Delta }\varphi (\lambda x).$

Масштабная инвариантность конфигураций полей

Чтобы конкретная конфигурация поля φ ( x ) была масштабно-инвариантной, мы требуем, чтобы

$\varphi (x)=\lambda ^{-\Delta }\varphi (\lambda x)$

где Δ – это опять же масштабная размерность поля.

Отметим, что это условие является достаточно ограничительным. В общем, решения даже масштабно-инвариантных уравнений поля не будут масштабно-инвариантными, и в таких случаях говорят, что симметрия спонтанно нарушена .

Классический электромагнетизм

Примером масштабно-инвариантной классической теории поля является электромагнетизм без зарядов и токов. Поля — это электрические и магнитные поля E ( x , t ) и B ( x , t ), а их уравнения поля — уравнения Максвелла .

В отсутствие зарядов и токов эти уравнения поля принимают форму волновых уравнений.

${\begin{aligned}\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\[6pt]\nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\end{aligned}}$

где с — скорость света.

Эти уравнения поля инвариантны относительно преобразования

${\begin{aligned}x\rightarrow \lambda x,\\[6pt]t\rightarrow \lambda t.\end{aligned}}$

Более того, для данных решений уравнений Максвелла E ( x , t ) и B ( x , t ) справедливо, что E ( λ x , λt ) и B ( λ x , λt ) также являются решениями.

Безмассовая скалярная теория поля

Другим примером масштабно-инвариантной классической теории поля является безмассовое скалярное поле (обратите внимание, что название «скаляр» не связано с масштабной инвариантностью). Скалярное поле φ ( x , t ) является функцией набора пространственных переменных x и временной переменной t .

Рассмотрим сначала линейную теорию. Как и приведенные выше уравнения электромагнитного поля, уравнение движения этой теории также является волновым уравнением:

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\varphi =0,$

и инвариантен относительно преобразования

$x\rightarrow \lambda x,$

$t\rightarrow \lambda t.$

Название «безмассовый» относится к отсутствию термина $\propto m^{2}\varphi$ в уравнении поля. Такой член часто называют «массовым», и он нарушает инвариантность при вышеуказанном преобразовании. В релятивистских теориях поля масштаб массы m физически эквивалентен масштабу фиксированной длины через

$L={\frac {\hbar }{mc}},$

поэтому неудивительно, что теория массивного скалярного поля не является масштабно-инвариантной.

ж ⁴ теория

Все уравнения поля в приведенных выше примерах линейны по полям, а это означает, что масштабная размерность Δ не так важна. скалярного поля чтобы действие было безразмерным, и это фиксирует масштабную размерность φ Однако обычно требуется , . В частности,

$\Delta ={\frac {D-2}{2}},$

где D — совокупное количество пространственных и временных измерений.

Учитывая эту масштабную размерность для φ , существуют определенные нелинейные модификации безмассовой скалярной теории поля, которые также являются масштабно-инвариантными. Одним из примеров является безмассовая φ ⁴ теория для D = 4. Уравнение поля имеет вид

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\varphi +g\varphi ^{3}=0.$

(Обратите внимание, что имя φ ⁴ выводится из формы лагранжиана , который содержит четвертую степень φ .)

Когда D = 4 (например, три пространственных измерения и одно временное измерение), размерность масштабирования скалярного поля равна Δ = 1. Тогда уравнение поля инвариантно относительно преобразования

$x\rightarrow \lambda x,$

$t\rightarrow \lambda t,$

$\varphi (x)\rightarrow \lambda ^{-1}\varphi (x).$

Ключевым моментом является то, что параметр g должен быть безразмерным, иначе в теорию вводится фиксированный масштаб длины: Для φ ⁴ теории, это имеет место только при D = 4. Заметим, что при этих преобразованиях аргумент функции φ не меняется.

Масштабная инвариантность в квантовой теории поля

Масштабная зависимость квантовой теории поля (КТП) характеризуется тем, как ее параметры связи зависят от энергетического масштаба данного физического процесса. Эта энергетическая зависимость описывается ренормгруппой и кодируется в бета-функциях теории.

Чтобы КТП была масштабно-инвариантной, ее параметры связи должны быть независимыми от масштаба энергии, о чем свидетельствует исчезновение бета-функций теории. Такие теории также известны как неподвижные точки соответствующего потока ренормгруппы.

Квантовая электродинамика

Простым примером масштабно-инвариантной КТП является квантованное электромагнитное поле без заряженных частиц. Эта теория фактически не имеет параметров связи (поскольку фотоны безмассовы и невзаимодействуют) и, следовательно, масштабно-инвариантна, как и классическая теория.

Однако в природе электромагнитное поле связано с заряженными частицами, такими как электроны . КТП, описывающая взаимодействия фотонов и заряженных частиц, представляет собой квантовую электродинамику (КЭД), и эта теория не является масштабно-инвариантной. Мы можем видеть это из бета-функции QED . Это говорит нам о том, что электрический заряд (который в теории является параметром связи) увеличивается с увеличением энергии. Следовательно, хотя квантованное электромагнитное поле без заряженных частиц является масштабно-инвариантным, КЭД не является масштабно-инвариантным.

Безмассовая скалярная теория поля

Свободная, безмассовая квантованная скалярная теория поля не имеет параметров связи. Поэтому, как и классическая версия, она масштабно-инвариантна. На языке ренормгруппы эта теория известна как гауссова неподвижная точка .

Однако, несмотря на то, что классическая безмассовая φ ⁴ теория масштабно-инвариантна в D = 4, квантованная версия не является масштабно-инвариантной. Мы можем видеть это из бета-функции параметра связи g .

Несмотря на то, что квантованная безмассовая φ ⁴ не является масштабно-инвариантным, существуют масштабно-инвариантные квантовые скалярные теории поля, отличные от гауссовой фиксированной точки. Одним из примеров является фиксированная точка Вильсона-Фишера (см. ниже).

Конформная теория поля

Масштабно-инвариантные КТП почти всегда инвариантны относительно полной конформной симметрии , и изучением таких КТП является конформная теория поля (КТП). Операторы в CFT имеют четко определенную масштабную размерность , аналогичную масштабной размерности ∆ . классического поля, обсуждавшегося выше Однако масштабные размерности операторов в CFT обычно отличаются от масштабных размерностей полей в соответствующей классической теории. Дополнительные вклады, появляющиеся в CFT, известны как аномальные размерности масштабирования .

Масштабные и конформные аномалии

ж ⁴ Приведенный выше пример теории показывает, что параметры связи квантовой теории поля могут зависеть от масштаба, даже если соответствующая классическая теория поля масштабно-инвариантна (или конформно-инвариантна). В этом случае классическая масштабная (или конформная) инвариантность называется аномальной . Классическая масштабно-инвариантная теория поля, в которой масштабная инвариантность нарушается квантовыми эффектами, обеспечивает объяснение почти экспоненциального расширения ранней Вселенной, называемого космической инфляцией , при условии, что эту теорию можно изучать с помощью теории возмущений .

Фазовые переходы

В статистической механике , когда система претерпевает фазовый переход , ее колебания описываются масштабно-инвариантной статистической теорией поля . Для системы, находящейся в равновесии (т. е. независимой от времени) в D пространственных измерениях, соответствующая статистическая теория поля формально аналогична D -мерной CFT. Размерности масштабирования в таких задачах обычно называют критическими показателями , и в принципе можно вычислить эти показатели в соответствующей CFT.

Модель Изинга

Примером, связывающим воедино многие идеи этой статьи, является фазовый переход модели Изинга — простой модели ферромагнитных веществ. Это модель статистической механики, которая также имеет описание в терминах конформной теории поля. Система состоит из массива узлов решетки, образующих D -мерную периодическую решетку. С каждым узлом решетки связан магнитный момент или спин , и этот спин может принимать значение +1 или -1. (Эти состояния также называются вверх и вниз соответственно.)

Ключевым моментом является то, что модель Изинга имеет спин-спиновое взаимодействие, что делает энергетически выгодным выравнивание двух соседних спинов. С другой стороны, тепловые флуктуации обычно вносят хаотичность в выравнивание спинов. некоторой критической температуре T _c при возникает спонтанное намагничивание Говорят, что . Это означает, что ниже T _c спин-спиновое взаимодействие начнет доминировать, и произойдет некоторое суммарное выравнивание спинов в одном из двух направлений.

Примером физических величин, которые хотелось бы вычислить при этой критической температуре, является корреляция между спинами, разделенными расстоянием r . Это имеет общее поведение:

$G(r)\propto {\frac {1}{r^{D-2+\eta }}},$

за какое-то конкретное значение $\eta$, который является примером критического показателя.

Описание ЦФТ

Колебания при температуре T _c масштабно-инвариантны, поэтому ожидается, что модель Изинга при этом фазовом переходе будет описываться масштабно-инвариантной статистической теорией поля. Фактически, эта теория представляет собой фиксированную точку Вильсона-Фишера , особую масштабно-инвариантную скалярную теорию поля .

В этом контексте G ( r ) понимается как корреляционная функция скалярных полей,

$\langle \phi (0)\phi (r)\rangle \propto {\frac {1}{r^{D-2+\eta }}}.$

Теперь мы можем объединить ряд уже увиденных идей.

Из вышеизложенного видно, что критический показатель η для этого фазового перехода также является аномальной размерностью . Это связано с тем, что классическая размерность скалярного поля

$\Delta ={\frac {D-2}{2}}$

модифицируется, чтобы стать

$\Delta ={\frac {D-2+\eta }{2}},$

где D — число измерений решетки модели Изинга.

Таким образом, это аномальное измерение в конформной теории поля совпадает с частным критическим показателем фазового перехода модели Изинга.

Обратите внимание, что для размерности D ≡ 4− ε η что можно вычислить приближенно, используя эпсилон-разложение , и можно найти,

$\eta ={\frac {\epsilon ^{2}}{54}}+O(\epsilon ^{3})$.

В физически интересном случае трех пространственных измерений ε = 1, и поэтому это разложение не является строго надежным. Однако полуколичественный прогноз состоит в том, что η численно мало в трех измерениях.

С другой стороны, в двумерном случае модель Изинга точно разрешима. В частности, это эквивалентно одной из минимальных моделей , семейству хорошо понятных CFT, и можно точно вычислить η (и другие критические показатели)

$\eta _{_{D=2}}={\frac {1}{4}}$.

Эволюция Шрамма – Лёвнера

Аномальные размеры в некоторых двумерных CFT могут быть связаны с типичными фрактальными размерностями случайных блужданий, где случайные блуждания определяются посредством эволюции Шрамма – Лёвнера (SLE). Как мы видели выше, КТМ описывают физику фазовых переходов, и поэтому с этими фрактальными размерностями можно связать критические показатели некоторых фазовых переходов. Примеры включают 2 -мерную критическую модель Изинга и более общую 2 -мерную критическую модель Поттса . Связь других 2 -d CFT с SLE является активной областью исследований.

Универсальность

Явление, известное как универсальность , наблюдается во многих физических системах. Он выражает идею о том, что разные микроскопические физики могут привести к одному и тому же масштабному поведению при фазовом переходе. Канонический пример универсальности включает следующие две системы:

• , Фазовый переход модели Изинга описанный выше.
• Переход жидкость пар - . в классических жидкостях

Хотя микроскопическая физика этих двух систем совершенно различна, их критические показатели оказываются одинаковыми. Более того, эти показатели можно вычислить, используя ту же статистическую теорию поля. Ключевое наблюдение заключается в том, что при фазовом переходе или критической точке флуктуации происходят на всех масштабах длины, и поэтому для описания этого явления следует искать масштабно-инвариантную статистическую теорию поля. В некотором смысле универсальность — это наблюдение того, что таких масштабно-инвариантных теорий относительно немного.

Совокупность различных микроскопических теорий, описываемых одной и той же масштабно-инвариантной теорией, известна как класс универсальности . Другими примерами систем, принадлежащих к классу универсальности, являются:

• Лавины в грудах песка. Вероятность схода лавины находится в степенной зависимости от размера лавины, и лавины возникают во всех масштабах размеров.
• Частота сбоев в сети Интернет в зависимости от размера и продолжительности.
• Частота цитирования журнальных статей, рассматриваемая в сети всех цитирований среди всех статей, как функция количества цитирований в данной статье.
• Образование и распространение трещин и разрывов в материалах: от стали до камня и бумаги. Изменения направления надрыва или шероховатости изломанной поверхности находятся в степенной зависимости от масштаба размеров.
• Электрический пробой диэлектриков . , напоминающий трещины и разрывы
• Просачивание через трещины горных пород или воду жидкостей через неупорядоченные среды, например нефть через фильтровальную бумагу, например, в хроматографии . Степенное масштабирование связывает скорость потока с распределением трещин.
• Диффузия . молекул и в растворе явление -ограниченной агрегации диффузионно
• Распределение горных пород разного размера в агрегатной смеси, подвергающейся встряхиванию (под действием силы тяжести на породы).

Ключевое наблюдение заключается в том, что поведение всех этих различных систем напоминает фазовый переход язык статистической механики и масштабно-инвариантной статистической теории поля и что для их описания можно применять .

Другие примеры масштабной инвариантности

Механика ньютоновской жидкости без приложенных сил

При определенных обстоятельствах механика жидкости представляет собой масштабно-инвариантную классическую теорию поля. Поля представляют собой скорость потока жидкости, $\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)$, плотность жидкости, $\rho (\mathbf {x} ,t)$, и давление жидкости, $P(\mathbf {x} ,t)$. Эти поля должны удовлетворять как уравнению Навье-Стокса, так и уравнению неразрывности . Для ньютоновской жидкости они принимают соответствующие формы

$$\rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\rho \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =-\nabla P+\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {u} +{\frac {1}{3}}\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right)$$

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)=0$

где $\mu$ – динамическая вязкость .

Чтобы вывести масштабную инвариантность этих уравнений, мы задаем уравнение состояния , связывающее давление жидкости с плотностью жидкости. Уравнение состояния зависит от типа жидкости и условий, которым она подвергается. Например, мы рассматриваем изотермический идеальный газ , который удовлетворяет условию

$P=c_{s}^{2}\rho ,$

где $c_{s}$ – скорость звука в жидкости. Учитывая это уравнение состояния, Навье–Стокса и уравнение неразрывности инвариантны относительно преобразований

$x\rightarrow \lambda x,$

$t\rightarrow \lambda ^{2}t,$

$\rho \rightarrow \lambda ^{-1}\rho ,$

$\mathbf {u} \rightarrow \lambda ^{-1}\mathbf {u} .$

Учитывая решения $\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)$ и $\rho (\mathbf {x} ,t)$, мы автоматически получаем это $\lambda \mathbf {u} (\lambda \mathbf {x} ,\lambda ^{2}t)$ и $\lambda \rho (\lambda \mathbf {x} ,\lambda ^{2}t)$ также являются решениями.

Компьютерное зрение

Основная статья: Масштабирование пространства

В компьютерном зрении и биологическом зрении масштабные преобразования возникают из-за отображения перспективных изображений и из-за того, что объекты в мире имеют разные физические размеры. В этих областях инвариантность масштаба относится к локальным дескрипторам изображения или визуальным представлениям данных изображения, которые остаются неизменными при изменении локального масштаба в области изображения. Обнаружение локальных максимумов по шкалам нормализованных производных ответов обеспечивает общую основу для получения масштабной инвариантности на основе данных изображения. Примеры приложений включают обнаружение капель , обнаружение углов , обнаружение гребней и распознавание объектов с помощью масштабно-инвариантного преобразования признаков .

См. также

• Инвариант (математика)
• Обратноквадратичный потенциал
• Степенной закон
• Безмасштабная сеть

Дальнейшее чтение

• Зинн-Джастин, Жан (2002). Квантовая теория поля и критические явления . Издательство Оксфордского университета. Обширное обсуждение масштабной инвариантности в квантовых и статистических теориях поля, приложений к критическим явлениям, эпсилон-разложению и смежных тем.
• ДиФранческо, П.; Матье, П.; Сенешаль, Д. (1997). Конформная теория поля . Спрингер-Верлаг.
• Муссардо, Г. (2010). Статистическая теория поля. Введение в точно решаемые модели статистической физики . Издательство Оксфордского университета.