Теорема о факторе подпространства

В математике теорема о факторе подпространства — важное свойство конечномерных нормированных пространств , открытое Виталием Мильманом .

Пусть ( X , ||·||) — N -мерное нормированное пространство. Существуют подпространства Z ⊂ Y ⊂ X такие, что справедливо следующее:

• Факторпространство > E = Y / Z имеет размерность dim E ≥ c   N , где c 0 — универсальная константа.
• Индуцированная норма || · || на E , определяемом формулой

$\|e\|=\min _{y\in e}\|y\|,\quad e\in E,$

равномерно изоморфно евклидову. То есть существует положительная квадратичная форма («евклидова структура») Q на E такая, что

${\frac {\sqrt {Q(e)}}{K}}\leq \|e\|\leq K{\sqrt {Q(e)}}$ для $e\in E,$

с K > 1 - универсальная константа.

Это утверждение относительно легко доказать индукцией по размерности Z (даже для Y=Z , X = 0 , c=1 ) с K , зависящим только от N ; суть теоремы в том, что не зависит от N. K

Фактически константу c можно сделать сколь угодно близкой к 1 за счетконстанта K становится большой. Первоначальное доказательство позволяло

$c(K)\approx 1-{\text{const}}/\log \log K.$

Ссылки

• Мильман, В.Д. (1984), «Почти евклидовы факторпространства подпространств конечномерного нормированного пространства», Израильский семинар по геометрическим аспектам функционального анализа , X , Тель-Авив: Тель-Авивский университет.
• Гордон, Ю. (1988), «О неравенстве Милмана и случайных подпространствах, выходящих через сетку в R ^н », «Геометрические аспекты функционального анализа» , Конспект лекций по математике, 1317 , Берлин: Springer: 84–106, doi : 10.1007/BFb0081737 , ISBN  978-3-540-19353-1
• Пизье, Г. (1989), Объем выпуклых тел и геометрия банахового пространства , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 94, Кембридж: Издательство Кембриджского университета