Квадрат (алгебра)

В математике квадрат это результат умножения числа — на себя. Для обозначения этой операции используется глагол «возвести в квадрат». Возведение в квадрат аналогично возведению в степень 2 и обозначается верхним индексом 2; например, квадрат 3 можно записать как 3 ², то есть цифра 9. В некоторых случаях, когда верхние индексы недоступны, например, в языках программирования или в текстовых файлах, обозначения x^2 ( каретка ) или x**2 может использоваться вместо x². Прилагательное, соответствующее возведению в квадрат, является квадратичным .

Квадрат целого числа также можно назвать квадратом числа или полным квадратом . В алгебре операция возведения в квадрат часто обобщается на полиномы , другие выражения или значения в системах математических значений, отличных от чисел. Например, квадрат линейного многочлена $x + 1$ — это квадратный многочлен $(x + 1). 2 = х 2 + 2 х + 1$ .

Одним из важных свойств возведения в квадрат чисел, как и во многих других математических системах, является то, что (для всех чисел $x$ ) квадрат $x$ равен квадрату его аддитивного обратного значения $- x$ . То есть квадратичная функция удовлетворяет тождеству $x 2 знак равно (- х) 2$ . Это также можно выразить, сказав, что квадратичная функция является четной функцией .

В реальных цифрах

График квадратичной функции $y = x 2$ является параболой .

Операция возведения в квадрат определяет действительную функцию, называемую квадратная функция или функция возведения в квадрат . Его областью определения является вся действительная линия , а изображением — набор неотрицательных действительных чисел.

Функция квадрата сохраняет порядок положительных чисел: большие числа имеют большие квадраты. Другими словами, квадрат является монотонной функцией на интервале $[0, +\infty)$ . В отрицательных числах числа с большим абсолютным значением имеют большие квадраты, поэтому квадрат представляет собой монотонно убывающую функцию на $(-\infty,0]$ . Следовательно, ноль является (глобальным) минимумом квадратичной функции. Квадрат $х 2$ числа $x$ меньше $x$ (т. е $. x 2 < x$ ) тогда и только тогда, когда $0 < x < 1$ , то есть если $x$ принадлежит открытому интервалу $(0,1)$ . Это означает, что квадрат целого числа никогда не может быть меньше исходного числа $x$ .

Каждое положительное действительное число представляет собой квадрат ровно двух чисел, одно из которых строго положительное, а другое строго отрицательное. Ноль сам по себе является квадратом только одного числа. По этой причине можно определить функцию квадратного корня , которая сопоставляет неотрицательному действительному числу неотрицательное число, квадрат которого является исходным числом.

Ни один квадратный корень не может быть извлечен из отрицательного числа в системе действительных чисел , поскольку квадраты всех действительных чисел неотрицательны . Отсутствие действительных квадратных корней для отрицательных чисел можно использовать для расширения системы действительных чисел до комплексных чисел , постулируя мнимую единицу $i$ , которая является одним из квадратных корней из −1.

Свойство «всякое неотрицательное действительное число является квадратом» было обобщено до понятия действительного замкнутого поля , которое представляет собой упорядоченное поле, в котором каждый неотрицательный элемент является квадратом и каждый многочлен нечетной степени имеет корень. Действительные замкнутые поля нельзя отличить от поля действительных чисел по их алгебраическим свойствам: каждому свойству действительных чисел, которое может быть выражено в логике первого порядка (то есть формуле, в которой переменные, определяемые количественно ∀ или ∃ представляют элементы, а не множества), верно для любого вещественного замкнутого поля, и наоборот, каждое свойство логики первого порядка, которое верно для конкретного вещественного замкнутого поля, также верно и для вещественных чисел.

В геометрии

Есть несколько основных применений функции квадрата в геометрии.

Название функции квадрата показывает ее важность в определении площади : оно происходит от того факта, что площадь квадрата со сторонами длиной $l$ равна $l. 2$ . Площадь зависит от размера квадратично: площадь фигуры, $большей в n$ раз, равна $n. 2$ раз больше. Это справедливо как для площадей в трех измерениях, так и на плоскости: например, площадь поверхности сферы пропорциональна квадрату ее радиуса, и этот факт физически проявляется в законе обратных квадратов, описывающем, как сила физической силы такие силы, как гравитация, варьируются в зависимости от расстояния.

Квадратная функция связана с расстоянием через теорему Пифагора и ее обобщение, закон параллелограмма . Евклидово расстояние не является гладкой функцией : трехмерный график расстояния от фиксированной точки образует конус с негладкой точкой на кончике конуса. Однако квадрат расстояния (обозначается $d 2$ или $р 2$ ), которого является параболоид графиком , является гладкой и аналитической функцией .

Скалярное произведение на евклидова вектора самого себя равно квадрату его длины: $v \cdot v = v 2$ . Это далее обобщается на квадратичные формы в линейных пространствах через скалярное произведение . Тензор инерции в механике является примером квадратичной формы. Он демонстрирует квадратичную зависимость момента инерции от размера ( длины ).

Существует бесконечно много пифагорейских троек , наборов из трех натуральных чисел, таких, что сумма квадратов первых двух равна квадрату третьего. Каждая из этих троек дает целые стороны прямоугольного треугольника.

В абстрактной алгебре и теории чисел

Функция квадрата определяется в любом поле или кольце . Элемент в образе этой функции называется квадратом , а прообразы квадрата — квадратными корнями .

Понятие возведения в квадрат особенно важно в конечных полях Z / p Z, образованных числами по модулю нечетного простого числа $p$ . Ненулевой элемент этого поля называется квадратичным вычетом, если он является квадратом в Z / p Z , в противном случае он называется квадратичным невычетом. Ноль, хотя и является квадратом, не считается квадратичным остатком. Каждое конечное поле этого типа имеет ровно $(p - 1)/2$ квадратичных вычетов и ровно $(p - 1)/2$ квадратичных невычетов. Квадратичные вычеты образуют группу при умножении. Свойства квадратичных вычетов широко используются в теории чисел .

В более общем смысле, в кольцах функция квадрата может иметь разные свойства, которые иногда используются для классификации колец.

Ноль может быть квадратом некоторых ненулевых элементов. Коммутативное кольцо , в котором квадрат ненулевого элемента никогда не равен нулю, называется приведенным кольцом . В более общем смысле, в коммутативном кольце радикальный идеал — это идеал $I$ такой, что $x^{2}\in I$ подразумевает $x\in I$ . Оба понятия важны в алгебраической геометрии из-за Nullstellensatz Гильберта .

Элемент кольца, равный собственному квадрату, называется идемпотентом . В любом кольце 0 и 1 являются идемпотентами. нет Других идемпотентов в полях и вообще в областях целостности . Однако, кольцо целых чисел по модулю $n$ имеет $2 к$ идемпотенты, где $k$ — количество различных простых делителей числа $n$ . Коммутативное кольцо, в котором каждый элемент равен своему квадрату (каждый элемент идемпотент), называется булевым кольцом ; Примером из информатики является кольцо, элементами которого являются двоичные числа , с побитовым И в качестве операции умножения и побитовым исключающим ИЛИ в качестве операции сложения.

В полностью упорядоченном x $кольце 2 \geq 0$ для любого $x$ . Более того, $х 2 = 0$ тогда и только тогда, когда $x = 0$ .

В суперкоммутативной алгебре , где 2 обратимо, квадрат любого нечетного элемента равен нулю.

Если A — коммутативная полугруппа , то имеет место

\forall x,y\in A\quad (xy)^{2}=xyxy=xxyy=x^{2}y^{2}.

На языке квадратичных форм это равенство говорит о том, что квадратичная функция является «формой, допускающей композицию». Фактически, квадратичная функция является основой, на которой строятся другие квадратичные формы, которые также допускают композицию. Процедура была введена Л. Е. Диксоном для получения октонионов из кватернионов путем удвоения. Метод удвоения был формализован А. А. Альбертом, который начал с действительных чисел. поля $\mathbb {R}$ и квадратичную функцию, удваивая ее, чтобы получить поле комплексных чисел квадратичной формы $x 2 + и 2$ , а затем снова удваиваем, чтобы получить кватернионы. Процедура удвоения называется конструкцией Кэли-Диксона и была обобщена для формирования алгебр размерности 2. ^н над полем F с инволюцией.

Квадратная функция z ² является «нормой» композиционной алгебры $\mathbb {C}$ , где тождественная функция образует тривиальную инволюцию, с которой начинаются конструкции Кэли–Диксона, ведущие к алгебрам композиции бикомплекса, бикватерниона и биоктониона.

В комплексных числах

В комплексных числах функция квадрата $z\to z^{2}$ является двойным покрытием в том смысле, что каждое ненулевое комплексное число имеет ровно два квадратных корня.

Квадрат абсолютного значения комплексного числа называется его абсолютным квадратом , квадратом модуля или квадратом величины . ^[1]^{[ нужен лучший источник ]} Это произведение комплексного числа на его комплексно-сопряженное число и равно сумме квадратов действительной и мнимой частей комплексного числа.

Абсолютный квадрат комплексного числа всегда является неотрицательным действительным числом, то есть равен нулю тогда и только тогда, когда комплексное число равно нулю. Его легче вычислить, чем абсолютное значение (без квадратного корня), и это гладкая функция с действительным знаком . Из-за этих двух свойств абсолютный квадрат часто предпочтительнее абсолютного значения для явных вычислений и при использовании методов математического анализа (например, оптимизации или интегрирования ).

Для комплексных векторов скалярное произведение может быть определено с помощью сопряженного транспонирования , что приводит к квадрату нормы .

Другое использование

Квадраты широко распространены в алгебре, в более общем смысле, почти во всех разделах математики, а также в физике , где многие единицы определяются с помощью квадратов и обратных квадратов: см. ниже .

Метод наименьших квадратов — стандартный метод, используемый в переопределенных системах .

Возведение в квадрат используется в статистике и теории вероятностей при определении стандартного отклонения набора значений или случайной величины . Отклонение каждого значения $x i$ от среднего ${\overline {x}}$ множества определяется как разность $x_{i}-{\overline {x}}$ . Эти отклонения возводятся в квадрат, затем из нового набора чисел (каждое из которых положительно) берется среднее значение. Это среднее значение — дисперсия , а его квадратный корень — стандартное отклонение.

См. также

Возведение в степень возведением в степень
Полиномиальный SOS , представление неотрицательного многочлена в виде суммы квадратов многочленов.
Семнадцатая проблема Гильберта о представлении положительных многочленов в виде суммы квадратов рациональных функций.
Бесквадратный полином
Куб (алгебра)
Метрический тензор
Квадратное уравнение
Полиномиальное кольцо
Суммы квадратов (страница значений с различными соответствующими ссылками)

Родственные личности

Алгебраический (нужно коммутативное кольцо )

Разница двух квадратов
Тождество Брахмагупты – Фибоначчи , связанное с комплексными числами в том смысле, который обсуждался выше.
Четырехквадратное тождество Эйлера , относящееся к кватернионам таким же образом.
Восьмиквадратное тождество Дегена , относящееся к октонионам таким же образом.
Личность Лагранжа

Другой

Связанные физические величины

ускорение , длина в квадрате времени
поперечное сечение (физика) , величина, размерная по площади
константа связи (имеет квадратный заряд в знаменателе и может быть выражена через квадрат расстояния в числителе)
кинетическая энергия (квадратичная зависимость от скорости)
удельная энергия , размерная величина (квадрат скорости)

Сноски

^ Вайсштейн, Эрик В. «Абсолютный квадрат» . mathworld.wolfram.com .

Дальнейшее чтение

Маршалл, Мюррей Положительные полиномы и суммы квадратов. Математические обзоры и монографии, 146. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2008. xii+187 стр. ISBN 978-0-8218-4402-1 , ISBN 0-8218-4402-4
Раджваде, Арканзас (1993). Квадраты . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 171. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-42668-5 . Збл 0785.11022 .

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Абсолютный квадрат» . mathworld.wolfram.com .

[1]