Гомеоморфизм

О гомеоморфизмах в теории графов см. Гомеоморфизм (теория графов) .

Не путать с гомоморфизмом .

«Топологическая эквивалентность» перенаправляется сюда. Для топологической эквивалентности в динамических системах см. Топологическую сопряженность .

Часто повторяемая математическая шутка заключается в том, что топологи не могут отличить кофейную кружку от пончика . поскольку достаточно гибкому пончику можно было придать форму кофейной кружки , создав ямочку и постепенно увеличивая ее, сохраняя при этом отверстие для пончика в ручке кружки. Это показывает, что кофейная кружка и пончик ( тор ) гомеоморфны.

В математике и, более конкретно, в топологии , гомеоморфизм ( от греческих корней, означающих «подобную форму», названный Анри Пуанкаре ), также называемый топологическим изоморфизмом или бинепрерывной функцией , является биективной и непрерывной функцией между топологическими пространствами , которая имеет непрерывную обратную функцию . Гомеоморфизмы — это изоморфизмы в категории топологических пространств , то есть отображения , сохраняющие все топологические свойства данного пространства. Два пространства, между которыми существует гомеоморфизм, называются гомеоморфными и с топологической точки зрения они одинаковы.

Грубо говоря, топологическое пространство — это геометрический объект, а гомеоморфизм возникает в результате непрерывной деформации объекта в новую форму. Таким образом, квадрат и круг гомеоморфны друг другу, а сфера и тор — нет. Однако это описание может ввести в заблуждение. Некоторые непрерывные деформации не приводят к гомеоморфизмам, например деформация прямой в точку. Некоторые гомеоморфизмы не являются результатом непрерывных деформаций, например гомеоморфизм между узлом-трилистником и кругом. Гомотопия и изотопия являются точными определениями неформальной концепции непрерывной деформации .

Определение

Функция ​ $f:X\to Y$ между двумя топологическими пространствами является гомеоморфизмом , если он обладает следующими свойствами:

• $f$ является биекцией ( взаимно и на ),
• $f$ является непрерывным ,
• обратная функция $f^{-1}$ является непрерывным ( $f$ является открытым отображением ).

Гомеоморфизм иногда называют двояконепрерывной функцией. Если такая функция существует, $X$ и $Y$гомеоморфны ​ . Самогомеоморфизм — это гомеоморфизм топологического пространства на себя. Быть «гомеоморфным» — это отношение эквивалентности в топологических пространствах. Его классы эквивалентности называются классами гомеоморфизма .

Третье требование о том, что ${\textstyle f^{-1}}$быть непрерывным , это важно. Рассмотрим, например, функцию ${\textstyle f:[0,2\pi )\to S^{1}}$ ( единичный круг в $\mathbb {R} ^{2}$) определяется ${\textstyle f(\varphi )=(\cos \varphi ,\sin \varphi ).}$ Эта функция биективна и непрерывна, но не является гомеоморфизмом ( ${\textstyle S^{1}}$ компактен , но ${\textstyle [0,2\pi )}$не является). Функция ${\textstyle f^{-1}}$ не является непрерывным в точке ${\textstyle (1,0),}$ потому что, хотя ${\textstyle f^{-1}}$ карты ${\textstyle (1,0)}$ к ${\textstyle 0,}$ любая окрестность этой точки также включает точки, которые функция отображает близко к ${\textstyle 2\pi ,}$ но точки, которые он отображает в числа между ними, лежат за пределами окрестности.

Гомеоморфизмы — это изоморфизмы в категории топологических пространств . Таким образом, композиция двух гомеоморфизмов снова является гомеоморфизмом, а множество всех самогомеоморфизмов ${\textstyle X\to X}$ образует группу , называемую группой гомеоморфизмов X , часто обозначаемую ${\textstyle {\text{Homeo}}(X).}$ Этой группе можно задать топологию, например компактно-открытую топологию , которая при определенных предположениях делает ее топологической группой .

В некоторых контекстах существуют гомеоморфные объекты, которые не могут непрерывно деформироваться от одного к другому. Гомотопия и изотопия — это отношения эквивалентности, которые были введены для решения таких ситуаций.

Аналогично, как обычно в теории категорий, для двух гомеоморфных пространств пространство гомеоморфизмов между ними ${\textstyle {\text{Homeo}}(X,Y),}$ является торсором для групп гомеоморфизмов ${\textstyle {\text{Homeo}}(X)}$ и ${\textstyle {\text{Homeo}}(Y),}$ и, учитывая определенный гомеоморфизм между $X$ и $Y,$ все три набора идентифицированы.

Примеры

Утолщенный узел-трилистник гомеоморфен полноторию, но не изотопен в $\mathbb {R} ^{3}.$ Непрерывные отображения не всегда реализуемы как деформации.

• Открытый интервал ${\textstyle (a,b)}$ гомеоморфно действительным числам $\mathbb {R}$ для любого ${\textstyle a<b.}$ (В этом случае бинепрерывное прямое отображение задается формулой ${\textstyle f(x)={\frac {1}{a-x}}+{\frac {1}{b-x}}}$ в то время как другие подобные отображения задаются масштабированными и преобразованными версиями функций tan или arg tanh ).
• Агрегат 2- дисковый ${\textstyle D^{2}}$ и единичный квадрат в $\mathbb {R} ^{2}$гомеоморфны; поскольку единичный диск можно деформировать в единичный квадрат. Пример двояконепрерывного отображения квадрата на диск в полярных координатах :
  $$(\rho ,\theta )\mapsto \left({\tfrac {\rho }{\max(|\cos \theta |,|\sin \theta |)}},\theta \right).$$
• График функции дифференцируемой . гомеоморфен области определения функции
• Дифференцируемая параметризация кривой — это гомеоморфизм между областью параметризации и кривой.
• Карта — многообразия открытым это гомеоморфизм между подмножеством многообразия и открытым подмножеством евклидова пространства .
• Стереографическая проекция — это гомеоморфизм между единичной сферой в $\mathbb {R} ^{3}$ с удаленной одной точкой и набором всех точек в $\mathbb {R} ^{2}$ (двумерная плоскость ).
• Если $G$ — топологическая группа , ее отображение инверсии $x\mapsto x^{-1}$является гомеоморфизмом. Также для любого $x\in G,$ левый перевод $y\mapsto xy,$ правильный перевод $y\mapsto yx,$ и внутренний автоморфизм $y\mapsto xyx^{-1}$ являются гомеоморфизмами.

Контрпримеры

• $\mathbb {R} ^{m}$ и $\mathbb {R} ^{n}$ не гомеоморфны при m ≠ n .
• Евклидова вещественная линия не гомеоморфна единичному кругу как подпространству $\mathbb {R} ^{2}$, поскольку единичная окружность компактна как подпространство евклидова $\mathbb {R} ^{2}$ но реальная линия не компактна.
• Одномерные интервалы $[0,1]$ и $(0,1)$ не гомеоморфны, поскольку один компактен, а другой нет.

Свойства

• Два гомеоморфных пространства обладают одинаковыми топологическими свойствами . Например, если один из них компактен , то и другой компактен; если один из них подключен , то и другой тоже; если один из них Хаусдорф , то и другой тоже; их группы гомотопии и гомологии будут совпадать. Однако обратите внимание, что это не распространяется на свойства, определенные с помощью метрики ; существуют метрические пространства, которые гомеоморфны, даже если одно из них полно , а другое — нет.
• Гомеоморфизм является одновременно открытым и замкнутым отображением ; то есть он отображает открытые множества в открытые множества, а закрытые множества в закрытые.
• Каждый самогомеоморфизм в $S^{1}$ может быть продолжено до самогомеоморфизма всего круга $D^{2}$ ( Трюк Александра ).

Неформальное обсуждение

Интуитивный критерий растяжения, изгиба, разрезания и склеивания требует определенной практики для правильного применения - из приведенного выше описания может быть неочевидно, например, что деформация отрезка прямой в точку недопустима. Таким образом, важно понимать, что именно формальное определение, данное выше, имеет значение. В этом случае, например, отрезок имеет бесконечное число точек и поэтому не может быть помещен в биекцию с множеством, содержащим только конечное число точек, включая одну точку.

Такая характеристика гомеоморфизма часто приводит к путанице с понятием гомотопии , которая на самом деле определяется как непрерывная деформация, но от одной функции к другой, а не от одного пространства к другому. В случае гомеоморфизма представление непрерывной деформации — это мысленный инструмент, позволяющий отслеживать, какие точки пространства X соответствуют каким точкам Y — за ними просто следует по мере X. деформации В случае гомотопии существенную роль играет непрерывная деформация от одного отображения к другому, а также менее ограничительная, поскольку ни одно из задействованных отображений не обязательно должно быть взаимно однозначным или находящимся. Гомотопия действительно приводит к отношению на пространствах: гомотопической эквивалентности .

Есть название для вида деформации, связанной с визуализацией гомеоморфизма. Это (за исключением случаев, когда требуются разрезание и переклейка) изотопия между тождественным отображением на X и гомеоморфизмом из X в Y .

См. также

• Локальный гомеоморфизм - математическая функция, обратимая вблизи каждой точки.
• Диффеоморфизм - изоморфизм дифференцируемых многообразий.
• Равномерный изоморфизм . Равномерно непрерывный гомеоморфизм - это изоморфизм между равномерными пространствами.
• Изометрический изоморфизм - математическое преобразование, сохраняющее расстояние. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления, представляют собой изоморфизм между метрическими пространствами.
• Группа гомеоморфизмов
• Растягивающийся поворот
• Гомеоморфизм (теория графов) - концепция теории графов (тесно связанная с подразделением графов).
• Гомотопия # Изотопия - Непрерывная деформация между двумя непрерывными функциями.
• Группа классов отображения - группа изотопических классов топологической группы автоморфизмов.
• Гипотеза Пуанкаре - Теорема геометрической топологии
• Универсальный гомеоморфизм

Внешние ссылки

• «Гомеоморфизм» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]