Центр (теория категорий)

В теории категорий , разделе математики , центр (или центр Дринфельда , в честь советско-американского математика Владимира Дринфельда ) — это вариант понятия центра моноида, группы или кольца категории.

Определение

Центр моноидальной категории ${\mathcal {C}}=({\mathcal {C}},\otimes ,I)$, обозначенный ${\mathcal {Z(C)}}$, — категория, объектами которой являются пары (A,u), состоящие из объекта A из ${\mathcal {C}}$ и изоморфизм $u_{X}:A\otimes X\rightarrow X\otimes A$ что естественно в $X$ удовлетворяющий

$u_{X\otimes Y}=(1\otimes u_{Y})(u_{X}\otimes 1)$

и

$u_{I}=1_{A}$ (это на самом деле следствие первой аксиомы).

Стрелка от (A,u) к (B,v) в ${\mathcal {Z(C)}}$ состоит из стрелки $f:A\rightarrow B$ в ${\mathcal {C}}$ такой, что

$v_{X}(f\otimes 1_{X})=(1_{X}\otimes f)u_{X}$.

Это определение центра появляется в книге Joyal & Street (1991) . Эквивалентно, центр можно определить как

${\mathcal {Z}}({\mathcal {C}})=\mathrm {End} _{{\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {C}}^{op}}({\mathcal {C}}),$

т. е. эндофункторы C , совместимые с левым и правым действием C на себя, заданным тензорным произведением.

Плетение

Категория ${\mathcal {Z(C)}}$ становится плетеной моноидальной категорией с тензорным произведением на объектах, определяемых как

$(A,u)\otimes (B,v)=(A\otimes B,w)$

где $w_{X}=(u_{X}\otimes 1)(1\otimes v_{X})$и очевидное плетение.

Высшая категориальная версия

Категориальный центр особенно полезен в контексте более высоких категорий. Это иллюстрируется следующим примером: центр ( абелевой ) категории $\mathrm {Mod} _{R}$ -модулей R для коммутативного кольца R есть $\mathrm {Mod} _{R}$ снова. Центр моноидальной ∞-категории C можно определить аналогично предыдущему как

$Z({\mathcal {C}}):=\mathrm {End} _{{\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {C}}^{op}}({\mathcal {C}})$.

Теперь, в отличие от вышеизложенного, центр производной категории R -модулей (рассматриваемой как ∞-категория) задается производной категорией модулей над коцепным комплексом, кодирующим когомологии Хохшильда , комплексом, член степени 0 которого равен R (как в абелевой ситуации выше), но включает более высокие члены, такие как $Hom(R,R)$ ( производное Хом).

Понятие центра в этой общности развито Лурье (2017 , §5.3.1). Продолжая упомянутое выше расплетение на центр обычной моноидальной категории, центр моноидальной ∞-категории становится $E_{2}$-моноидальная категория. В более общем смысле, центр $E_{k}$-моноидальная категория – это объект алгебры в $E_{k}$-моноидальные категории и, следовательно, в силу Данна аддитивности $E_{k+1}$-моноидальная категория.

Примеры

Хинич (2007) что центр Дринфельда категории пучков на орбифолде X является категорией пучков на инерционном орбифолде X показал , . Поскольку X является классифицирующим пространством конечной группы G , инерционный орбифолд представляет собой фактор стека G / G , где G действует на себя путем сопряжения. Для этого частного случая результат Хинича сводится к утверждению, что центр категории G -представлений (относительно некоторого основного поля k ) эквивалентен категории, состоящей из G -градуированных k -векторных пространств, т. е. объектов форма

$\bigoplus _{g\in G}V_{g}$

для некоторых k -векторных пространств вместе с G -эквивариантными морфизмами, где G действует на себя сопряжением.

В том же духе Бен-Цви, Фрэнсис и Надлер (2010) показали, что центр Дринфельда производной категории квазикогерентных пучков на идеальном стеке X является производной категорией пучков на стеке петель X .

Связанные понятия

Центры моноидных объектов

Центр моноида и центр Дринфельда моноидальной категории являются примерами следующего более общего понятия. Учитывая моноидальную категорию C и моноидный объект A в C , центр A определяется как

$Z(A)=End_{A\otimes A^{op}}(A).$

Поскольку C является категорией множеств (с обычным декартовым произведением), моноидный объект — это просто моноид, а Z ( A ) — центр моноида. Аналогично, если C — категория абелевых групп, моноидные объекты — это кольца, и приведенное выше восстанавливает центр кольца . Наконец, если C — категория категорий с произведением в качестве моноидальной операции, моноидные объекты в C являются моноидальными категориями, и приведенное выше восстанавливает центр Дринфельда.

Категориальный след

Категорический след моноидальной категории (или моноидальной ∞-категории) определяется как

$Tr(C):=C\otimes _{C\otimes C^{op}}C.$

Эта концепция широко применяется, например, в Zhu (2018) .

Ссылки

• Бен-Цви, Дэвид; Фрэнсис, Джон; Надлер, Дэвид (2010), «Интегральные преобразования и центры Дринфельда в производной алгебраической геометрии», Журнал Американского математического общества , 23 (4): 909–966, arXiv : 0805.0157 , doi : 10.1090/S0894-0347-10-00669 -7 , МР   2669705 , С2КИД   2202294
• Хинич, Владимир (2007), «Двойник Дринфельда для орбифолдов», материалы Израильской математической конференции. Квантовые группы. Материалы конференции памяти Джозефа Донина, Хайфа, Израиль, 5–12 июля 2004 г. , AMS, стр. 251–265, arXiv : math/0511476 , ISBN  978-0-8218-3713-9 , Збл   1142.18004
• Джоял, Андре ; Стрит, Росс (1991), «Операторы Тортила Янга-Бакстера в тензорных категориях», Журнал чистой и прикладной алгебры , 71 (1): 43–51, doi : 10.1016/0022-4049(91)90039-5 , MR   1107651 .
• Лурье, Джейкоб (2017), Высшая алгебра
• Маджид, Шан (1991). «Представления, двойники и квантовые двойники моноидальных категорий» . Материалы Зимней школы по геометрии и физике (Срни, 1990) . Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Серия II. Дополнение . № 26. С. 197–206. hdl : 10338.dmlcz/701494 . МР   1151906 .
• Чжу, Синьвэнь (2018). «Геометрический Сатаке, категориальные следы и арифметика разновидностей Шимуры». Текущие достижения в математике . 2016 : 145–206. arXiv : 1810.07375 . дои : 10.4310/CDM.2016.v2016.n1.a4 . ISBN  9781571463586 . МР   3837875 . OCLC   1038481072 . S2CID   119589446 .

Внешние ссылки

• Центр Дринфельда в n Lab