Класс групп

Класс групп — это теоретико-множественный набор групп, удовлетворяющий тому свойству, что если G находится в наборе, то каждая группа, изоморфная G , также находится в наборе. Эта концепция возникла из-за необходимости работать с группой групп, удовлетворяющих определенному специальному свойству (например, конечности или коммутативности ). Поскольку теория множеств не допускает «множества всех групп», необходимо работать с более общим понятием класса .

Определение

Класс групп ${\mathfrak {X}}$ представляет собой совокупность групп таких, что если $G\in {\mathfrak {X}}$ и $G\cong H$ затем $H\in {\mathfrak {X}}$. Группы в классе ${\mathfrak {X}}~$ называются ${\mathfrak {X}}$- группы .

Для набора групп ${\mathfrak {I}}$, мы обозначим через $({\mathfrak {I}})$ наименьший класс групп, содержащий ${\mathfrak {I}}$. В частности для группы $G$, $(G)$ обозначает его класс изоморфизма .

Примеры

Наиболее распространенными примерами классов групп являются:

• $\emptyset$: пустой класс групп
• ${\mathfrak {C}}~$: класс циклических групп
• ${\mathfrak {A}}~$: класс абелевых групп
• ${\mathfrak {U}}~$: класс конечных сверхразрешимых групп
• ${\mathfrak {N}}~$: класс нильпотентных групп
• ${\mathfrak {S}}~$: класс конечных разрешимых групп
• ${\mathfrak {I}}~$: класс конечных простых групп
• ${\mathfrak {F}}~$: класс конечных групп
• ${\mathfrak {G}}~$: класс всех групп

Произведение классов групп

Даны два класса групп ${\mathfrak {X}}$ и ${\mathfrak {Y}}$ определяется произведение классов

${\mathfrak {X}}{\mathfrak {Y}}=(G\mid G{\text{ has a normal subgroup }}N\in {\mathfrak {X}}{\text{ with }}G/N\in {\mathfrak {Y}}).$

Эта конструкция позволяет нам рекурсивно определять мощность класса , устанавливая

${\mathfrak {X}}^{0}=(1)$ и ${\mathfrak {X}}^{n}={\mathfrak {X}}^{n-1}{\mathfrak {X}}.$

Следует отметить, что эта бинарная операция над классами групп не является ни ассоциативной , ни коммутативной . Например, рассмотрим знакопеременную группу степени 4 (и порядка 12); эта группа принадлежит к классу $({\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}}){\mathfrak {C}}$ у него есть подгруппа группа потому что $V_{4}$, который принадлежит ${\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}}$, и более того $A_{4}/V_{4}\cong C_{3}$, который находится в ${\mathfrak {C}}$. Однако $A_{4}$ не имеет нетривиальной нормальной циклической подгруппы, поэтому $A_{4}\not \in {\mathfrak {C}}({\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}})$. Затем ${\mathfrak {C}}({\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}})\not =({\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}}){\mathfrak {C}}$.

Однако из определения ясно, что для любых трех классов групп ${\mathfrak {X}}$, ${\mathfrak {Y}}$, и ${\mathfrak {Z}}$,

${\mathfrak {X}}({\mathfrak {Y}}{\mathfrak {Z}})\subseteq ({\mathfrak {X}}{\mathfrak {Y}}){\mathfrak {Z}}$

Карты классов и операции закрытия

Карта классов c — это карта, которая назначает класс групп. ${\mathfrak {X}}$ в другой класс групп $c{\mathfrak {X}}$. Карта классов называется операцией замыкания, если она удовлетворяет следующим свойствам:

1. c является обширным: ${\mathfrak {X}}\subseteq c{\mathfrak {X}}$
2. c идемпотент ​ : $c{\mathfrak {X}}=c(c{\mathfrak {X}})$
3. c монотонно: если ${\mathfrak {X}}\subseteq {\mathfrak {Y}}$ затем $c{\mathfrak {X}}\subseteq c{\mathfrak {Y}}$

Некоторые из наиболее распространенных примеров операций закрытия:

• $S{\mathfrak {X}}=(G\mid G\leq H,\ H\in {\mathfrak {X}})$
• $Q{\mathfrak {X}}=(G\mid {\text{exists }}H\in {\mathfrak {X}}{\text{ and an epimorphism from }}H{\text{ to }}G)$
• $N_{0}{\mathfrak {X}}=(G\mid {\text{ exists }}K_{i}\ (i=1,\cdots ,r){\text{ subnormal in }}G{\text{ with }}K_{i}\in {\mathfrak {X}}{\text{ and }}G=\langle K_{1},\cdots ,K_{r}\rangle )$
• $R_{0}{\mathfrak {X}}=(G\mid {\text{ exists }}N_{i}\ (i=1,\cdots ,r){\text{ normal in }}G{\text{ with }}G/N_{i}\in {\mathfrak {X}}{\text{ and }}\bigcap \limits _{i=1}^{r}Ni=1)$
• $S_{n}{\mathfrak {X}}=(G\mid G{\text{ is subnormal in }}H{\text{ for some }}H\in {\mathfrak {X}})$

Ссылки

• Баллестер-Болинчес, Адольфо; Эскерро, Луис М. (2006), Классы конечных групп , Математика и ее приложения (Springer), том. 584, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-1-4020-4718-3 , МР   2241927
• Доерк, Клаус; Хоукс, Тревор (1992), Конечные разрешимые группы , Изложения де Грюйтера по математике, том. 4, Берлин: Вальтер де Грюйтер и компания, ISBN  978-3-11-012892-5 , МР   1169099

См. также

Формирование