Модель Хаббарда

Двумерная модель Хаббарда.

Модель Хаббарда — это приближенная модель, используемая для описания перехода между проводящими и изолирующими системами . Это особенно полезно в физике твердого тела . Модель названа в честь Джона Хаббарда .

Модель Хаббарда утверждает, что на каждый электрон действуют конкурирующие силы: одна заставляет его туннелировать к соседним атомам, а другая отталкивает его от соседей. Таким образом, его гамильтониан имеет два члена: кинетический член, учитывающий туннелирование («прыжки») частиц между узлами решетки, и потенциальный член, отражающий взаимодействие на узлах. Частицы могут быть либо фермионами , как в оригинальной работе Хаббарда, либо бозонами , и в этом случае модель называется « моделью Бозе-Хаббарда ».

Модель Хаббарда является полезным приближением для частиц в периодическом потенциале при достаточно низких температурах, где можно предположить, что все частицы находятся в нижней зоне Блоха , а дальнодействующими взаимодействиями между частицами можно пренебречь. Если учитывать взаимодействия между частицами в разных узлах решетки, модель часто называют «расширенной моделью Хаббарда». В частности, термин Хаббарда, чаще всего обозначаемый U , применяется в симуляциях, основанных на первых принципах, с использованием теории функционала плотности (DFT). Включение члена Хаббарда в моделирование DFT важно, поскольку это улучшает предсказание локализации электронов и, таким образом, предотвращает неправильное предсказание металлической проводимости в изолирующих системах.

Модель Хаббарда вводит короткодействующие взаимодействия между электронами в модель сильной связи , которая включает только кинетическую энергию («прыжковый» термин) и взаимодействия с атомами решетки («атомный» потенциал). Когда взаимодействие между электронами сильное, поведение модели Хаббарда может качественно отличаться от модели сильной связи. Например, модель Хаббарда правильно предсказывает существование изоляторов Мотта : материалов, которые являются изолирующими из-за сильного отталкивания между электронами, хотя они удовлетворяют обычным критериям для проводников, таким как наличие нечетного числа электронов на элементарную ячейку.

История

Первоначально модель была предложена в 1963 году для описания электронов в твердых телах. Хаббард, Мартин Гуцвиллер и Дзюнджиро Канамори предложили это каждый независимо.

С тех пор его стали применять для изучения высокотемпературной сверхпроводимости , квантового магнетизма и волн зарядовой плотности.

Теория узкой энергетической зоны

Модель Хаббарда основана на приближении сильной связи из физики твердого тела , которое описывает частицы, движущиеся в периодическом потенциале, обычно называемом решеткой . В реальных материалах каждый узел решетки может соответствовать ионному ядру, а частицы — валентным электронам этих ионов. В приближении сильной связи гамильтониан записывается в терминах состояний Ванье , которые представляют собой локализованные состояния с центром в каждом узле решетки. Состояния Ванье на соседних узлах решетки связаны, позволяя частицам из одного узла «перепрыгивать» в другой. Математически сила этой связи определяется «интегралом скачка» или «интегралом переноса» между соседними узлами. Говорят, что система находится в пределе жесткой связи, когда сила интегралов перескока быстро падает с расстоянием. Эта связь позволяет состояниям, связанным с каждым узлом решетки, гибридизоваться, а собственные состояния такой кристаллической системы являются функциями Блоха , при этом энергетические уровни разделены на отдельные уровни. энергетические полосы . Ширина полос зависит от значения интеграла перескока.

Модель Хаббарда вводит контактное взаимодействие между частицами противоположного спина в каждом узле решетки. Когда модель Хаббарда используется для описания электронных систем, ожидается, что эти взаимодействия будут отталкивающими, возникающими из-за экранированного кулоновского взаимодействия . Однако часто рассматривались и привлекательные взаимодействия. системы Физика модели Хаббарда определяется конкуренцией между силой интеграла прыжка, характеризующего кинетическую энергию , и силой члена взаимодействия. Таким образом, модель Хаббарда может объяснить переход от металла к изолятору в некоторых взаимодействующих системах. Например, он использовался для описания оксидов металлов при их нагревании, когда соответствующее увеличение расстояния между ближайшими соседями уменьшает интеграл прыжка до точки, в которой локальный потенциал становится доминирующим. Точно так же модель Хаббарда может объяснить переход от проводника к изолятору в таких системах, как элементов . редкоземельных пирохлоры атомный номер редкоземельного металла увеличивается, поскольку параметр решетки увеличивается (или угол между атомами также может меняться) по мере увеличения атомного номера редкоземельного элемента, что изменяет относительную важность интеграла прыжка по сравнению с локальным отталкивание.

Пример: одномерная цепочка атомов водорода.

Атом водорода имеет один электрон на так называемой s -орбитали, который может быть либо направлен вверх ( $\uparrow$) или вращаться вниз ( $\downarrow$). Эту орбиталь могут занимать не более двух электронов: один со спином вверх, другой вниз (см. Принцип исключения Паули ).

Согласно зонной теории , для одномерной цепочки атомов водорода 1s-орбиталь образует непрерывную зону, которая будет заполнена ровно наполовину. Таким образом, в соответствии с традиционной зонной теорией предсказано, что одномерная цепочка атомов водорода будет проводником. Эта одномерная строка — единственная конфигурация, достаточно простая для непосредственного решения.

Но в случае, когда расстояние между атомами водорода постепенно увеличивается, в какой-то момент цепь должна стать изолятором.

Выраженный с помощью модели Хаббарда гамильтониан состоит из двух членов. Первый член описывает кинетическую энергию системы, параметризованную интегралом прыжка: $t$. Второй член – это локальное взаимодействие сил. $U$ что представляет собой отталкивание электронов. Записанный в обозначениях второго квантования Хаббарда , гамильтониан принимает форму

${\hat {H}}=-t\sum _{i,\sigma }\left({\hat {c}}_{i,\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i+1,\sigma }+{\hat {c}}_{i+1,\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i,\sigma }\right)+U\sum _{i}{\hat {n}}_{i\uparrow }{\hat {n}}_{i\downarrow },$

где ${\hat {n}}_{i\sigma }={\hat {c}}_{i\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i\sigma }$ — оператор спиновой плотности для спина $\sigma$ на $i$-й сайт. Оператор плотности ${\hat {n}}_{i}={\hat {n}}_{i\uparrow }+{\hat {n}}_{i\downarrow }$ и оккупация $i$-й узел волновой функции $\Phi$ является $n_{i}=\langle \Phi \vert {\hat {n}}_{i}\vert \Phi \rangle$. Обычно t считается положительным, а U может быть как положительным, так и отрицательным, но при рассмотрении электронных систем предполагается, что оно положительное.

Без вклада второго члена гамильтониан превращается в формулу сильной связи из теории регулярных зон.

Включение второго члена дает реалистичную модель, которая также предсказывает переход от проводника к изолятору как отношение взаимодействия к прыжку: $U/t$, разнообразен. Это соотношение можно изменить, например, увеличив межатомное расстояние, что уменьшит величину $t$ не затрагивая $U$. В пределе, где $U/t\gg 1$, цепочка просто распадается на набор изолированных магнитных моментов . Если $U/t$ не слишком велик, интеграл перекрытия обеспечивает сверхобменные взаимодействия между соседними магнитными моментами, что может привести к множеству интересных магнитных корреляций, таких как ферромагнитные, антиферромагнитные и т. д. в зависимости от параметров модели. Одномерная модель Хаббарда была решена Либом и Ву с использованием анзаца Бете . Существенный прогресс был достигнут в 1990-е годы: была открыта скрытая симметрия , матрица рассеяния , корреляционные функции , термодинамическая и квантовая запутанность . оценены

Более сложные системы

Хотя Хаббард полезен при описании таких систем, как одномерная цепочка атомов водорода, важно отметить, что более сложные системы могут испытывать другие эффекты, которые не учитывает модель Хаббарда. В целом изоляторы можно разделить на изоляторы Мотта – Хаббарда и изоляторы с переносом заряда .

Изолятор Мотта – Хаббарда можно описать как

$(\mathrm {Ni} ^{2+}\mathrm {O} ^{2-})_{2}\longrightarrow \mathrm {Ni} ^{3+}\mathrm {O} ^{2-}+\mathrm {Ni} ^{1+}\mathrm {O} ^{2-}.$

Это можно рассматривать как аналог модели Хаббарда для водородных цепей, где проводимость между элементарными ячейками можно описать интегралом переноса.

Однако электроны могут демонстрировать другое поведение:

$\mathrm {Ni} ^{2+}\mathrm {O} ^{2-}\longrightarrow \mathrm {Ni} ^{1+}\mathrm {O} ^{1-}.$

Это известно как перенос заряда и приводит к образованию изоляторов с переносом заряда . В отличие от изоляторов Мотта – Хаббарда перенос электронов происходит только внутри элементарной ячейки.

Оба этих эффекта могут присутствовать и конкурировать в сложных ионных системах.

Численная обработка

Тот факт, что модель Хаббарда не была решена аналитически в произвольных измерениях, привел к интенсивным исследованиям численных методов для этих сильно коррелированных электронных систем. Одной из основных целей этого исследования является определение низкотемпературной фазовой диаграммы этой модели, особенно в двумерном виде. Приближенная численная обработка модели Хаббарда на конечных системах возможна различными методами.

Один из таких методов, алгоритм Ланцоша , может определять статические и динамические свойства системы. Расчеты основного состояния с использованием этого метода требуют хранения трех векторов размера количества состояний. Число состояний экспоненциально увеличивается с размером системы, что ограничивает количество узлов в решетке примерно до 20 на оборудовании 21 века. с конечной температурой С помощью проектора и вспомогательного поля Монте-Карло существуют два статистических метода, которые могут получить определенные свойства системы. При низких температурах возникают проблемы сходимости, которые приводят к экспоненциальному увеличению вычислительных затрат при понижении температуры из-за так называемой проблемы знака фермионов .

Модель Хаббарда можно изучать в рамках динамической теории среднего поля (DMFT). Эта схема отображает гамильтониан Хаббарда на модель одноузловой примеси , отображение, которое формально точно только в бесконечных измерениях, а в конечных измерениях соответствует точной обработке только всех чисто локальных корреляций. DMFT позволяет вычислить локальную функцию Грина модели Хаббарда для заданного значения. $U$ и заданной температуры. В рамках DMFT можно вычислить эволюцию спектральной функции и наблюдать появление верхних и нижних полос Хаббарда по мере увеличения корреляций.

Симулятор

Пакеты гетерогенных двумерных дихалькогенидов переходных металлов (TMD) использовались для моделирования геометрии более чем в одном измерении. Диселенид вольфрама и сульфид вольфрама складывались друг в друга. Это создало муаровую сверхрешетку, состоящую из шестиугольных суперячеек (повторяющихся единиц, определяемых соотношением двух материалов). Каждая суперячейка тогда ведет себя так, как если бы она была одним атомом. Расстояние между суперячейками примерно в 100 раз больше, чем расстояние между атомами внутри них. Это большее расстояние резко уменьшает туннелирование электронов через суперячейки.

Их можно использовать для формирования кристаллов Вигнера . электроды можно прикрепить Для регулирования электрического поля . Электрическое поле контролирует, сколько электронов заполняет каждую суперячейку. Количество электронов на суперячейку эффективно определяет, какой «атом» моделирует решетка. суперячейки, содержащие до восьми электронов ( кислорода Один электрон/ячейка ведет себя как водород, два/ячейка — как гелий и т. д. По состоянию на 2022 год можно будет моделировать ). Один из результатов моделирования показал, что разница между металлом и изолятором является непрерывной функцией напряженности электрического поля.

Режим «обратной» укладки позволяет создать изолятор Черна с помощью аномального квантового эффекта Холла (при этом края устройства действуют как проводник, а внутренняя часть — как изолятор). Устройство функционировало при температуре 5 Кельвинов . выше температуры, при которой эффект впервые наблюдался.

См. также

• Модель примесей Андерсона
• Теорема Блоха
• Электронная зонная структура
• Физика твердого тела
• Модель Бозе – Хаббарда
• модель tJ
• Модель Гейзенберга (квантовая)
• Динамическая теория среднего поля
• Критерий Стоунера

Дальнейшее чтение

• Хаббард, Дж. (1963). «Электронные корреляции в узких энергетических диапазонах». Труды Лондонского королевского общества . 276 (1365): 238–257. Бибкод : 1963RSPSA.276..238H . дои : 10.1098/rspa.1963.0204 . JSTOR   2414761 . S2CID   35439962 .
• Бах, В.; Либ, Э.Х.; Соловей, Дж. П. (1994). «Обобщенная теория Хартри – Фока и модель Хаббарда». Журнал статистической физики . 76 (1–2): 3. arXiv : cond-mat/9312044 . Бибкод : 1994JSP....76....3B . дои : 10.1007/BF02188656 . S2CID   207143 .
• Либ, Э.Х. (1995). «Модель Хаббарда: некоторые строгие результаты и открытые проблемы». Си Межд. Конг. депутат, междунар. Нажимать (?) . 1995 : конд-мат/9311033. arXiv : cond-mat/9311033 . Бибкод : 1993cond.mat.11033L .
• Гебхард, Ф. (1997). «Переход Металл-изолятор». Переход Мотта металл–изолятор: модели и методы . Спрингеровские трактаты в современной физике. Том. 137. Спрингер . стр. 1–48. ISBN  9783540614814 .
• Либ, Э.Х.; Ву, финансовый год (2003). «Одномерная модель Хаббарда: воспоминания». Физика А. 321 (1): 1–27. arXiv : cond-mat/0207529 . Бибкод : 2003PhyA..321....1L . дои : 10.1016/S0378-4371(02)01785-5 . S2CID   44758937 .
• Аровас, Дэниел П.; Берг, Эрез; Кивельсон, Стивен; Рахгу, Шри (2022). «Модель Хаббарда». Ежегодный обзор физики конденсированного состояния . 13 : 239–274. arXiv : 2103.12097 . Бибкод : 2022ARCMP..13..239A . doi : 10.1146/annurev-conmatphys-031620-102024 .
• Цинь, Минпу; Шефер, Томас; Андергассен, Сабина; Корбоз, Филипп; Галл, Эмануэль (2022). «Модель Хаббарда: вычислительная перспектива». Ежегодный обзор физики конденсированного состояния . 13 : 275–302. arXiv : 2104.00064 . Бибкод : 2022ARCMP..13..275Q . doi : 10.1146/annurev-conmatphys-090921-033948 . S2CID   260725458 .