Заказ-4 Додекаэдральный сот

Заказ-4 Додекаэдральный сот

Тип	Гиперболический регулярный сот Единообразное гиперболическое сото
Символ Släfli	${5,3,4} {5,3 1,1}$
Кокситерная диаграмма	↔
Ячейки	${2.3}$ ( Додекаэдр )
Лица	${5}$ ( Пентагон )
Крайя фигура	${4}$ ( квадрат )
Вершина фигура	октаэдр
Двойной	Заказ-5 кубический сот
Коксетерская группа	$Бюстгальтер 3, [4.3.5] DH 3, [5,3 1,1]$
Характеристики	Регулярные, квазирегулярные соты

В гиперболической геометрии является Dodecahahedral Honeycomb Order-4 одним из четырех компактных регулярных пространственно-наполняющих космические тесселяции (или соты ) гиперболического 3-пространства . С символом Schläfli ${5,3,4},$ он имеет четыре додекахедры вокруг каждого края и 8 додекахедры вокруг каждой вершины в октаэдрической композиции. Его вершины построены из 3 ортогональных оси. Его двойной сот -5 кубический .

Геометрический сот -это заполнение пространства многогранных или более высоких клеток , так что нет пробелов. Это пример более общей математической плитки или тесселяции в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как выпуклые равномерные соты . Они также могут быть сконструированы в неклидовах , таких как гиперболическая однородная соты . Любое конечное однородное политоп может быть проецирован на его оборудование, образуя равномерную сото в сферическом пространстве.

Описание

Двуидрный угол обычного додекаэдра составляет ~ 116,6 °, поэтому невозможно установить 4 из них на краю в евклидовом 3-пространстве. Однако в гиперболическом пространстве регулярный додекаэдр надлежащим образом масштабируется, так что его двугранные углы уменьшаются до 90 градусов, а затем четыре точно подходят на каждом краю.

Симметрия

Он имеет наполовину симметрическую конструкцию, {5,3 ^1,1}, с двумя типами (цветами) Dodecahedra в конструкции Wythoff . ↔ .

Изображения

Это можно рассматривать как аналогичный 2D-гиперболическому порядку-4 пентагональной печи , {5,4}

Взгляд на order-4 Dodecahahedral Honeycomb под моделью Beltrami-Klein

Связанные политопы и соты

В 3D -гиперболическом пространстве есть четыре регулярных компактных соты:

Четыре регулярных компактных сот в h ³
{5,3,4}	{4,3,5}	{3,5,3}	{5,3,5}

есть пятнадцать униформных сотовых компаний В семье Group Proceters , включая эту обычную форму.

[5,3,4] Семейные соты
{5,3,4}	r {5,3,4}	t {5,3,4}	RR {5,3,4}	T _0,3 {5,3,4}	tr {5,3,4}	T _0,1,3 {5,3,4}	T _0,1,2,3 {5,3,4}


{4,3,5}	r {4,3,5}	t {4,3,5}	RR {4,3,5}	2t {4,3,5}	tr {4,3,5}	T _0,1,3 {4,3,5}	T _0,1,2,3 {4,3,5}

есть одиннадцать однородных сотов [5,3 В раздвоении ^1,1] Семейство Coxeter Group, включая эту сото в его чередующейся форме. Эта конструкция может быть представлена чередованием (шахматной доской) с двумя цветами додекаэдрических ячеек.

Эта сота также связана с 16-клеточным , кубическим сотовым и гексагональным соты на 4-й заказ .

{p, 3,4} Регулярные соты
Space	S³	E³	H³
Form	Finite	Affine	Compact	Paracompact	Noncompact
Name	{3,3,4}	{4,3,4}	{5,3,4}	{6,3,4}	{7,3,4}	{8,3,4}	... {∞,3,4}
Image
Cells	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Этот сот является частью последовательности полихоры и соты с додекаэдрическими клетками:

{5,3, P}
Космос	С ³	ЧАС ³
Форма	Конечный	Компакт		Паракомпакт	Некомпактный
Имя	{5,3,3}	{5,3,4}	{5,3,5}	{5,3,6}	{5,3,7}	{5,3,8}	... {5,3,∞}
Изображение
Вершина фигура	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Исправленная порядок-4 Додекаэдральный соты

Исправленная порядок-4 Додекаэдральный соты
Тип	Единые соты в гиперболическом пространстве
Символ Släfli	r {5,3,4} r {5,3 ^1,1}
Кокситерная диаграмма	↔
Ячейки	r {5,3} {3,4}
Лица	Треугольник {3} Пентагон {5}
Вершина фигура	квадратная призма
Коксетерская группа	${\overline {BH}}_{3}$ , [4,3,5] ${\overline {DH}}_{3}$ , [5,3 ^1,1]
Характеристики	Vertex-транзитный, трансферат с краями

Исправленное заказ-4 Додекаэдрические соты , , имеет чередующиеся октаэдр и икосидодекаэдр , с квадратной призмой вершиной .

Это можно рассматривать как аналогичный 2D -гиперболической тетрапентагональной плюше , r {5,4}

Связанные соты

Есть четыре исправленных компактных обычных сото:

Четыре исправленные обычные компактные соты в h ³
Изображение
Символы	r {5,3,4}	r {4,3,5}	r {3,5,3}	r {5,3,5}
Вершина фигура

Усеченные заказа-4 Додекаэдрические соты

Усеченные заказа-4 Додекаэдрические соты
Тип	Единые соты в гиперболическом пространстве
Символ Släfli	t {5,3,4} t {5,3 ^1,1}
Кокситерная диаграмма	↔
Ячейки	t {5,3} {3,4}
Лица	Треугольник {3} decagon {10}
Вершина фигура	квадратная пирамида
Коксетерская группа	${\overline {BH}}_{3}$ , [4,3,5] ${\overline {DH}}_{3}$ , [5,3 ^1,1]
Характеристики	Вершино-транзитный

Усеченное заряд-4 Додекаэдральные соты , , имеет октаэдр и усеченные клетки додекаэдр с квадратной пирамидной фигурой .

Это можно рассматривать как аналогичный 2D гиперболическому усеченному усеченному порядку-4 пентагональной плюти , t {5,4} с усеченным пентагоном и квадратными лицами:

Связанные соты

Четыре усеченные обычные компактные соты в h ³
Изображение
Символы	t {5,3,4}	t {4,3,5}	t {3,5,3}	t {5,3,5}
Вершина фигура

Биттрунтированный заказ-4 Додекаэдральный соты

Биттрунтированный заказ-4 Додекаэдральный соты Биттрунтированный заказ-5 кубические соты
Тип	Единые соты в гиперболическом пространстве
Символ Släfli	2t {5,3,4} 2t {5,3 ^1,1}
Кокситерная диаграмма	↔
Ячейки	t {3,5} t {3,4}
Лица	квадрат {4} Пентагон {5} шестигранник {6}
Вершина фигура	Дигональный Дисфеноид
Коксетерская группа	${\overline {BH}}_{3}$ , [4,3,5] ${\overline {DH}}_{3}$ , [5,3 ^1,1]
Характеристики	Вершино-транзитный

Битрунтронтированный заказ-4 Додекэдральный соты , или битурунтированный заказ-5 кубический соты , , имеет усеченные октаэдра и усеченные икосаэдронные клетки с дигональной дигфеноидной ветвей .

Связанные соты

Три битурунтированных компактных сот в h ³
Изображение
Символы	2t {4,3,5}	2t {3,5,3}	2t {5,3,5}
Вершина фигура

Кантел-заказ-4 Додекаэдрические соты

Кантел-заказ-4 Додекаэдрические соты
Тип	Единые соты в гиперболическом пространстве
Символ Släfli	RR {5,3,4} RR {5,3 ^1,1}
Кокситерная диаграмма	↔
Ячейки	RR {3,5} r {3,4} {} x {4}
Лица	Треугольник {3} квадрат {4} Пентагон {5}
Вершина фигура	клин
Коксетерская группа	${\overline {BH}}_{3}$ , [4,3,5] ${\overline {DH}}_{3}$ , [5,3 ^1,1]
Характеристики	Вершино-транзитный

Кантеттеновый заказ-4 Додекаэдральный сот , , имеет ромбикосидодекаэдр , кубоктаэдрон и кубические клетки с клина фигурой вершины .

Связанные соты

Четыре регулярных компактных соты в h ³

Изображение
Символы	RR {5,3,4}	RR {4,3,5}	RR {3,5,3}	RR {5,3,5}
Вершина фигура

Кантитринг-заказ-4 Додекаэдрические соты

Кантитринг-заказ-4 Додекаэдрические соты
Тип	Единые соты в гиперболическом пространстве
Символ Släfli	tr {5,3,4} TR {5,3 ^1,1}
Кокситерная диаграмма	↔
Ячейки	tr {3,5} t {3,4} {} x {4}
Лица	квадрат {4} шестигранник {6} decagon {10}
Вершина фигура	зеркальный сфиноид
Коксетерская группа	${\overline {BH}}_{3}$ , [4,3,5] ${\overline {DH}}_{3}$ , [5,3 ^1,1]
Характеристики	Вершино-транзитный

Кантитрированный заказ-4 Додекаэдральные соты , , имеет усеченные икосидодекаэдрон , усеченные октаэдр и кубические клетки, с сероида зеркальной фигурой .

Связанные соты

Четыре кантитрированных обычных компактных сот в h ³
Изображение
Символы	tr {5,3,4}	tr {4,3,5}	tr {3,5,3}	tr {5,3,5}
Вершина фигура

Runcinated Order-4 Додекаэдральный соты

Додекаэдрический соты с обрученным порядком -4 такая же, как и седотированный order-5 кубический соты .

Runcitruncated Order-4 Dodecahahedral Honeycomb

Runcitruncated Order-4 Dodecahahedral Honeycomb
Тип	Единые соты в гиперболическом пространстве
Символ Släfli	T _0,1,3 {5,3,4}
Кокситерная диаграмма
Ячейки	t {5,3} RR {3,4} {} x {10} {} x {4}
Лица	Треугольник {3} квадрат {4} decagon {10}
Вершина фигура	Isocles-Trapezoidal Pyramid
Коксетерская группа	${\overline {BH}}_{3}$ , [4,3,5]
Характеристики	Вершино-транзитный

RunCitruncated Order-4 Dodecahahedral Honeycomb , , усекнул додекаэдр , Rhombicuboctahedron , декагональная призма и кубические клетки, с изобранных трапзоидальных пирамида фигурой вершины-вершины из .

Связанные соты

Четыре регулярных компактных соты в h ³

Runcicantellated Order-4 Dodecahahedral Honeycomb

Runcicantellated Order-4 Dodecahahedral Honeycomb такая же, как и Runcitrenced Order-5 кубических соты .

Omnitruncated Order-4 Dodecahahedral Honeycomb

Вс еще нетранкционированный order-4 Додекаэдрический сот совпадает с омнитрованным порядком-5 кубическими соты .

Смотрите также

Выпуклые равномерные соты в гиперболическом пространстве
Обычные тесселяции гиперболического 3-пространства
Pincaré гомологическая сфера pincaré Dodecahahedral Space
Seifert -Weber Space Seifert -Weber Dodecahahedral Space

Ссылки

Коксетер , обычные политопы , 3 -й. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: обычные политопы и соты, с. 294–296)
Коксетер , красота геометрии: двенадцать эссе , Dover Publications, 1999 ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10: Регулярные соты в гиперболическом пространстве, Сводные таблицы II, III, IV, V, P212-213)
Джеффри Р. недели форма пространства, 2 -е издание ISBN 0-8247-0709-5 (Глава 16-17: Геометрия на трех органах I, II)
Норман Джонсон унифицированные политопы , рукопись
- NW Johnson : Теория единообразных политопов и сотов , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966
- NW Johnson: Геометрия и преобразования , (2018) Глава 13: