Голономная функция

Дополнительная информация: P-рекурсивное уравнение.

В математике , а точнее в анализе , голономная функция — это гладкая функция нескольких переменных , которая является решением системы линейных однородных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами и удовлетворяет подходящему условию размерности с точки зрения теории D-модулей . Точнее, голономная функция — это элемент голономного модуля гладких функций. Голономные функции также можно описать как дифференцируемо конечные функции , также известные как D-конечные функции . Когда степенной ряд по переменным представляет собой разложение Тейлора голономной функции, последовательность ее коэффициентов в одном или нескольких индексах также называется голономной . Голономные последовательности также называются P-рекурсивными последовательностями : они рекурсивно определяются многомерными рекуррентами, которым удовлетворяет вся последовательность, и ее подходящими специализациями. Ситуация упрощается в одномерном случае: любая одномерная последовательность, которая удовлетворяет линейному однородному рекуррентному соотношению с полиномиальными коэффициентами или, что то же самое, линейному однородному разностному уравнению с полиномиальными коэффициентами, является голономной.

Голономные функции и последовательности с одной переменной

Определения

Позволять $\mathbb {K}$ быть полем характеристики 0 (например, $\mathbb {K} =\mathbb {Q}$ или $\mathbb {K} =\mathbb {C}$).

Функция $f=f(x)$ называется D-конечным (или голономным ), если существуют многочлены $0\neq a_{r}(x),a_{r-1}(x),\ldots ,a_{0}(x)\in \mathbb {K} [x]$ такой, что

$a_{r}(x)f^{(r)}(x)+a_{r-1}(x)f^{(r-1)}(x)+\cdots +a_{1}(x)f'(x)+a_{0}(x)f(x)=0$

справедливо для всех x . Это также можно записать как $Af=0$ где

$A=\sum _{k=0}^{r}a_{k}D_{x}^{k}$

и $D_{x}$ является дифференциальным оператором , который отображает $f(x)$ к $f'(x)$. $A$ называется аннулирующим оператором f f (аннулирующими операторами $f$ сформировать идеал на ринге $\mathbb {K} [x][D_{x}]$, аннигилятором называемый $f$). Величина r называется порядком аннулирующего оператора. В более широком смысле говорят, что голономная функция f имеет порядок r, если существует аннулирующий оператор такого порядка.

Последовательность $c=c_{0},c_{1},\ldots$ называется P-рекурсивным (или голономным ), если существуют многочлены $a_{r}(n),a_{r-1}(n),\ldots ,a_{0}(n)\in \mathbb {K} [n]$ такой, что

$a_{r}(n)c_{n+r}+a_{r-1}(n)c_{n+r-1}+\cdots +a_{0}(n)c_{n}=0$

справедливо для всех n . Это также можно записать как $Ac=0$ где

$A=\sum _{k=0}^{r}a_{k}S_{n}$

и $S_{n}$ оператор сдвига, который отображает $c_{0},c_{1},\ldots$ к $c_{1},c_{2},\ldots$. $A$ называется аннулирующим оператором c c (аннигилирующими операторами $c$ сформировать идеал на ринге $\mathbb {K} [n][S_{n}]$, аннигилятором называемый $c$). Величина r называется порядком аннулирующего оператора. В более широком смысле говорят, что голономная последовательность c имеет порядок r, если существует аннулирующий оператор такого порядка.

Голономные функции — это в точности производящие функции голономных последовательностей: если $f(x)$ голономна, то коэффициенты $c_{n}$ в разложении степенного ряда

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$

образуют голономную последовательность. И наоборот, для данной голономной последовательности $c_{n}$, функция, определяемая указанной выше суммой, является голономной (это верно в смысле формального степенного ряда , даже если сумма имеет нулевой радиус сходимости ).

Свойства замыкания

Голономные функции (или последовательности) удовлетворяют нескольким свойствам замыкания . В частности, голономные функции (или последовательности) образуют кольцо . Однако они не замкнуты при разделении и поэтому не образуют поля .

Если $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}x^{n}$ и $g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}x^{n}$ являются голономными функциями, то голономными являются и следующие функции:

• $h(x)=\alpha f(x)+\beta g(x)$, где $\alpha$ и $\beta$ константы
• $h(x)=f(x)g(x)$ ( произведение Коши последовательностей)
• $h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}g_{n}x^{n}$ (произведение Адамара последовательностей)
• $h(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt$
• $h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{k=0}^{n}f_{k})x^{n}$
• $h(x)=f(a(x))$, где $a(x)$ любая алгебраическая функция . Однако, $a(f(x))$ вообще говоря, не голономна.

Важнейшим свойством голономных функций является то, что свойства замыкания эффективны: учитывая аннулирующие операторы для $f$ и $g$, аннулирующий оператор для $h$ как определено с помощью любой из вышеперечисленных операций, может быть вычислено явно.

Примеры голономных функций и последовательностей

Примеры голономных функций включают:

• все алгебраические функции , включая полиномы и рациональные функции
• функции синуса и косинуса (но не тангенса, котангенса, секанса или косеканса)
• гиперболические функции синуса и косинуса (но не гиперболический тангенс, котангенс, секанс или косеканс)
• показательные функции и логарифмы (по любому основанию)
• обобщенная гипергеометрическая функция ${}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p},b_{1},\ldots ,b_{q},x)$, рассматриваемый как функция $x$ со всеми параметрами $a_{i}$, $b_{i}$ фиксированный
• функция ошибки $\operatorname {erf} (x)$
• Бесселя функции $J_{n}(x)$, $Y_{n}(x)$, $I_{n}(x)$, $K_{n}(x)$
• функции Эйри $\operatorname {Ai} (x)$, $\operatorname {Bi} (x)$

Класс голономных функций является строгим надмножеством класса гипергеометрических функций. Примеры специальных функций, которые являются голономными, но не гипергеометрическими, включают функции Гойна .

Примеры голономных последовательностей включают:

• последовательность чисел Фибоначчи $F_{n}$и, в более общем смысле, все константно-рекурсивные последовательности
• последовательность факториалов $n!$
• последовательность биномиальных коэффициентов ${n \choose k}$ (как функции от n или k )
• последовательность номеров гармоник $H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}$и вообще $H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}$ для любого целого числа m
• последовательность каталонских чисел
• последовательность чисел Моцкина .
• последовательность нарушений .

Гипергеометрические функции, функции Бесселя и классические ортогональные многочлены , помимо того, что являются голономными функциями своей переменной, также являются голономными последовательностями относительно своих параметров. Например, функции Бесселя $J_{n}$ и $Y_{n}$ удовлетворять линейной рекуррентности второго порядка $x(f_{n+1}+f_{n-1})=2nf_{n}$.

Примеры неголономных функций и последовательностей

Примеры неголономных функций включают:

• функция ${\frac {x}{e^{x}-1}}$
• функция tan( x ) + sec( x )
• частное двух голономных функций вообще не голономно.

Примеры неголономных последовательностей включают:

• числа Бернулли
• количество чередующихся перестановок
• количество целочисленных разделов
• цифры $\log(n)$
• цифры $n^{\alpha }$ где $\alpha \not \in \mathbb {Z}$
• простые числа
• перечисления неприводимых и связных перестановок .

Алгоритмы и программное обеспечение

Голономные функции — мощный инструмент компьютерной алгебры . Голономная функция или последовательность могут быть представлены конечным количеством данных, а именно аннулирующим оператором и конечным набором начальных значений, а свойства замыкания позволяют выполнять такие операции, как проверка равенства, суммирование и интегрирование алгоритмическим способом. В последние годы эти методы позволили автоматически доказать большое количество специальных функций и комбинаторных тождеств.

Более того, существуют быстрые алгоритмы для вычисления голономных функций с произвольной точностью в любой точке комплексной плоскости и для численного вычисления любого элемента голономной последовательности.

Программное обеспечение для работы с голономными функциями включает в себя:

• Пакет HolonomicFunctions . [1] для Mathematica , разработанный Кристофом Кутчаном, который поддерживает вычисление свойств замыкания и доказательство тождеств для одномерных и многомерных голономных функций
• Библиотека algolib [2] для Maple , включающая следующие пакеты:
  • gfun , разработанный Бруно Сальви, Полом Циммерманном и Эйтни Мюррей, для свойств одномерного замыкания и доказательства [3]
  • mgfun , разработанный Фредериком Чизаком, для свойств многомерного замыкания и доказательства [4]
  • numgfun , разработанный Марком Меззароббой, для численного оценивания.

См. также

Динамический словарь математических функций , онлайн-программное обеспечение, основанное на голономных функциях, для автоматического изучения многих классических и специальных функций (вычисление в точке, ряд Тейлора и асимптотическое разложение до любой заданной пользователем точности, дифференциальное уравнение, рекуррентность для коэффициентов Тейлора ряд, производная, неопределенный интеграл, построение графика, ...)

Ссылки

• Флажоле, Филипп; Герхольд, Стефан; Сальви, Бруно (2005), «О неголономном характере логарифмов, степеней и n-й простой функции» , Electronic Journal of Combinatorics , 11 (2), doi : 10.37236/1894 , S2CID   184136 .
• Флажоле, Филипп; Седжвик, Роберт (2009). Аналитическая комбинаторика . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521898065 .
• Кауэрс, Мануэль; Пол, Питер (2011). Конкретный тетраэдр: символические суммы, рекуррентные уравнения, производящие функции, асимптотические оценки . Текст и монографии по символьным вычислениям. Спрингер. ISBN  978-3-7091-0444-6 .
• Клазар, Мартин (2003). «Неприводимые и связные перестановки» (PDF) . (препринт серии ITI)
• Маллингер, Кристиан (1996). Алгоритмические манипуляции и преобразования одномерных голономных функций и последовательностей (PDF) (Диссертация) . Проверено 4 июня 2013 г.
• Стэнли, Ричард П. (1999). Перечислительная комбинаторика . Том. 2. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-56069-6 .
• Зейлбергер, Дорон (1990). «Голономный системный подход к тождествам специальных функций» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 32 (3): 321–368. дои : 10.1016/0377-0427(90)90042-X . ISSN   0377-0427 . МР   1090884 .
• Кауэрс, Мануэль (2023). D-конечные функции . Алгоритмы и вычисления в математике. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-031-34652-1 . ISBN  978-3-031-34652-1 .