Категория Клейсли

В теории категорий категория Клейсли — это категория, связанная с любой монадой T. естественно Она эквивалентна категории свободных Т -алгебр . Категория Клейсли — одно из двух экстремальных решений вопроса: « Всякая ли монада возникает из присоединения ? » Другое экстремальное решение — категория Эйленберга–Мура . Категории Клейсли названы в честь математика Генриха Клейсли .

Формальное определение

Пусть ⟨ T , η , µ ⟩ — над категорией C. монада Категория Клейсли C , — это категория C _T объекты и морфизмы которой задаются формулами

{\begin{aligned}\mathrm {Obj} ({{\mathcal {C}}_{T}})&=\mathrm {Obj} ({\mathcal {C}}),\\\mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{T}}(X,Y)&=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,TY).\end{aligned}}

То есть каждый морфизм f: X → TY в C (с кодоменом ) также можно рассматривать как морфизм в CT _TY (но с кодоменом Y ). Композиция морфизмов в определяется _CT выражением

g\circ _{T}f=\mu _{Z}\circ Tg\circ f:X\to TY\to T^{2}Z\to TZ

где f: X → TY и g: Y → TZ . Тождественный морфизм задается монадой η :

\mathrm {id} _{X}=\eta _{X}

.

Альтернативный способ записи, уточняющий категорию, в которой живет каждый объект, используется Мак Лейном. ^[1] В этой презентации мы используем немного другие обозначения. Учитывая ту же монаду и категорию $C$ как и выше, мы связываем с каждым объектом $X$ в $C$ новый объект $X_{T}$ , и для каждого морфизма $f\colon X\to TY$ в $C$ морфизм $f^{*}\colon X_{T}\to Y_{T}$ . Вместе эти объекты и морфизмы образуют нашу категорию. $C_{T}$ , где мы определяем

g^{*}\circ _{T}f^{*}=(\mu _{Z}\circ Tg\circ f)^{*}.

Тогда тождественный морфизм в $C_{T}$ является

\mathrm {id} _{X_{T}}=(\eta _{X})^{*}.

Операторы расширения и тройки Клейсли

Композицию стрелок Клейсли можно кратко выразить с помощью оператора продолжения (–) ^# : Hom( X , TY ) → Hom( TX , TY ). Для данной монады ⟨ T , η , µ ⟩ над категорией C и морфизма f : X → TY пусть

f^{\sharp }=\mu _{Y}\circ Tf.

Тогда композицию в категории Клейсли C _T можно записать

g\circ _{T}f=g^{\sharp }\circ f.

Оператор расширения удовлетворяет тождествам:

{\begin{aligned}\eta _{X}^{\sharp }&=\mathrm {id} _{TX}\\f^{\sharp }\circ \eta _{X}&=f\\(g^{\sharp }\circ f)^{\sharp }&=g^{\sharp }\circ f^{\sharp }\end{aligned}}

где f : X → TY и g : Y → TZ . Из этих свойств тривиально следует, что композиция Клейсли ассоциативна и что η _X тождественно.

Фактически, дать монаду — значит дать тройку Клейсли ⟨ T , η , (–) ^#⟩, т.е.

Функция $T\colon \mathrm {ob} (C)\to \mathrm {ob} (C)$ ;
Для каждого объекта $A$ в $C$ , морфизм $\eta _{A}\colon A\to T(A)$ ;
Для каждого морфизма $f\colon A\to T(B)$ в $C$ , морфизм $f^{\sharp }\colon T(A)\to T(B)$

такие, что выполняются три приведенных выше уравнения для операторов расширения.

пристройка Клейсли

Категории Клейсли изначально были определены для того, чтобы показать, что каждая монада возникает из присоединения. Эта конструкция заключается в следующем.

Пусть ⟨ T , η , µ ⟩ — монада над категорией C и пусть CT _— ассоциированная категория Клейсли. Используя обозначения Мак Лейна, упомянутые в разделе «Формальное определение» выше, определите функтор F : C → CT _{формуле} по