Электрический дипольный переход

Электрический дипольный переход — доминирующий эффект взаимодействия электрона в атоме с электромагнитным полем .

Следуя ссылке, рассмотрим электрон в атоме с квантовым гамильтонианом $H_{0}$, взаимодействующий с плоской электромагнитной волной

${\mathbf {E} }({\mathbf {r} },t)=E_{0}{\hat {\mathbf {z} }}\cos(ky-\omega t),\ \ \ {\mathbf {B} }({\mathbf {r} },t)=B_{0}{\hat {\mathbf {x} }}\cos(ky-\omega t).$

Запишите гамильтониан электрона в этом электромагнитном поле в виде

$H(t)\ =\ H_{0}+W(t).$

Рассматривая эту систему с помощью нестационарной теории возмущений , находим, что наиболее вероятные переходы электрона из одного состояния в другое происходят за счет слагаемого $W(t)$ определяется как

$W_{\mathrm {DE} }(t)={\frac {qE_{0}}{m_{e}\omega }}p_{z}\sin \omega t,\,$

где $q$ и $m_{e}$ — заряд и масса голого электрона. Электрические дипольные переходы — это переходы между уровнями энергии в системе с гамильтонианом $H_{0}+W_{\mathrm {DE} }(t)$.

Между определенными состояниями электрона скорость электрического дипольного перехода может быть равна нулю из-за одного или нескольких правил отбора , в частности правила выбора углового момента . В таком случае переход называется электрическим дипольно-запрещенным , и переходы между такими уровнями должны быть аппроксимированы переходами более высокого порядка .

Следующее порядковое слагаемое $W(t)$ определяется как

$W_{\mathrm {DM} }(t)={\frac {q}{2m_{e}}}(L_{x}+2S_{x})B_{0}\cos \omega t\,$

и описывает магнитно-дипольные переходы .

Еще меньший вклад в скорости переходов дают более высокие электрические и магнитные мультипольные переходы.

Полуклассический подход

Энергетическая диаграмма модели с тремя состояниями

Один из способов моделирования и понимания воздействия света (в основном электрического поля) на атом — рассмотреть более простую модель, состоящую из трех энергетических уровней. В этой модели мы упростили наш атом до перехода между состоянием с нулевым угловым моментом ( $J_{g}=0)$, до состояния углового момента 1 ( $J_{e}=1$). Это может быть, например, переход в водороде между 1s (основным состоянием) и 2p ( $n=1,\ell =1$) состояние.

Чтобы понять влияние электрического поля на этот упрощенный атом, мы собираемся выбрать электрическое поле, линейно поляризованное с осью поляризации, параллельной оси атома. $|g\rangle$ к $|e\rangle$ переход, мы называем эту ось ${\hat {z}}$ ось. Это предположение не имеет реальной потери общности. Фактически, если бы мы выбрали другую ось, то мы смогли бы найти другое состояние, которое было бы линейной комбинацией предыдущих состояний, которое было бы параллельно электрическому полю, возвращая нас к этому предположению о линейно поляризованном электрическом поле, параллельном электрическому полю. с переходной осью.

Учитывая это, мы можем ограничиться лишь переходом от $|g\rangle$ к $|e\rangle$. Мы собираемся использовать электрическое поле, которое можно записать как ${\vec {E}}({\vec {r}},t)={\hat {z}}{\mathcal {E}}({\vec {r}})\cos(wt-\phi ({\vec {r}}))$ где ${\hat {z}}$ – ось перехода, $w$ - угловая частота света, падающего на атом (представьте себе, что атом светится лазером), $\phi$ - фаза света, которая может зависеть от положения, и ${\mathcal {E}}$ - амплитуда лазерного луча.

Теперь главный вопрос, который мы хотим решить, заключается в том, какова средняя сила, ощущаемая атомом под таким светом? Мы заинтересованы в $f={\overline {\langle {\hat {F}}\rangle }}={\overline {\langle -\nabla {\hat {V}}_{e.d.}({\hat {r}},t)\rangle }}$ которая представляет собой среднюю силу, ощущаемую атомом. Здесь скобки представляют собой среднее значение по всем внутренним состояниям атома (в квантовом виде), а столбец представляет собой временное среднее в классическом смысле. ${\hat {V}}_{e.d.}$ представляет собой потенциал электрического диполя атома.

Этот потенциал можно далее записать как ${\hat {V}}_{e.d}=-{\hat {D}}\cdot {\vec {E}}$ где ${\hat {D}}$ – оператор дипольного перехода.

Причина, по которой мы используем модель с двумя состояниями, заключается в том, что она позволяет нам явно записать оператор дипольного перехода как ${\hat {D}}=d_{0}(|e\rangle \langle g|+|g\rangle \langle e|)$ и таким образом мы получаем

${\hat {V}}_{e.d}=-d_{0}{\mathcal {E}}({\hat {\vec {r}}})(|e\rangle \langle g|+|g\rangle \langle e|)\cos(\omega t-\phi ({\hat {\vec {r}}}))=-d_{0}{\mathcal {E}}({\hat {\vec {r}}})({\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {\sigma }}_{-})\cos(\omega t-\phi ({\hat {\vec {r}}}))$.

Затем

$f({\vec {r}})={\overline {\langle d_{0}({\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {\sigma }}_{-})\nabla [{\mathcal {E}}({\vec {r}})\cos(\omega t-\phi ({\hat {\vec {r}}})]\rangle }}={\overline {d({\vec {r}},t)\nabla {\mathcal {E}}({\vec {r}},t)}}={\overline {f({\vec {r}},t)}}$ .

Квазиклассический подход означает, что мы записываем дипольный момент как поляризуемость атома, умноженную на электрическое поле:

$d({\vec {r}},t)=\alpha (\omega ){\mathcal {E}}({\vec {r}},t)$

И как таковой $f({\vec {r}},t)=\alpha (\omega ){\mathcal {E}}({\vec {r}},t)\nabla {\mathcal {E}}({\vec {r}},t)={\frac {1}{2}}\alpha (\omega )\nabla {\mathcal {E}}^{2}({\vec {r}},t)$ и таким образом $f({\vec {r}})=\nabla [{\frac {1}{2}}\alpha (\omega ){\overline {{\mathcal {E}}^{2}({\vec {r}},t)}}]=\nabla [{\frac {1}{4}}\alpha (\omega ){\mathcal {E}}^{2}({\vec {r}})]$, и поэтому мы имеем $V_{e.d}=-{\frac {1}{4}}\alpha (\omega ){\mathcal {E}}^{2}({\vec {r}})$.

Прежде чем углубляться в математику и пытаться найти более явное выражение для константы пропорциональности $\alpha (\omega )$, есть важный аспект, который нам нужно обсудить. То есть мы обнаружили, что потенциал, ощущаемый атомом в светоиндуцированном потенциале, соответствует квадрату усредненного по времени электрического поля. Это важно для многих экспериментальных физиков в физике холодного атома, где физики используют этот факт, чтобы понять, какой потенциал приложен к атомам, используя известную интенсивность лазерного света, приложенного к атомам, поскольку интенсивность света пропорциональна квадрату усредненное по времени электрическое поле, т.е. $I\propto {\overline {{\mathcal {E}}^{2}({\vec {r}},t)}}$.

Теперь посмотрим, как получить выражение поляризуемости $\alpha (\omega )$.

Для этого мы воспользуемся формализмом матрицы плотности и оптическими уравнениями Блоха .

Основная идея здесь состоит в том, что элементы недиагональной матрицы плотности можно записать как $\rho _{eg}=Tr({\hat {\sigma }}_{-}{\hat {\rho }})$ и $\rho _{ge}=Tr({\hat {\sigma }}_{+}{\hat {\rho }})$; и

$d({\vec {r}},t)=Tr({\hat {D}}{\hat {\rho }}(t))=Tr(d_{0}({\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {\sigma }}_{-})\rho (t))=d_{0}[Tr({\hat {\sigma }}_{+}\rho (t))+Tr({\hat {\sigma }}_{-}\rho (t))]=d_{0}(\rho _{ge}+\rho _{eg})$

Вот тут-то и пригодятся оптические уравнения Блоха, они дают нам уравнение, позволяющее понять динамику матрицы плотности.

Действительно, у нас есть:

${\frac {d{\hat {\rho }}(t)}{dt}}={\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {H}},\rho ]$ что объясняет обратимую нормальную квантовую эволюцию матрицы плотности.

и еще один термин, описывающий спонтанное излучение атома:

${\frac {d{\hat {\rho }}_{eg}(t)}{dt}}=-{\frac {\Gamma }{2}}{\hat {\rho }}_{eg},{\frac {d{\hat {\rho }}_{ge}(t)}{dt}}=-{\frac {\Gamma }{2}}{\hat {\rho }}_{ge}$

Где ${\hat {H}}$ наш полуклассический гамильтониан. Это написано как ${\hat {H}}=\hbar \omega _{0}|e\rangle \langle e|+V_{e.d.}$. И $\Gamma ={\frac {d_{0}^{2}\omega _{0}^{3}}{3\pi \epsilon _{0}\hbar c^{3}}}$. $\Gamma$ представляет ширину линии перехода, и поэтому вы можете видеть $\Gamma ^{-1}$ как период полураспада данного перехода.

Введем частоту Раби $\Omega$:

$\hbar \Omega =-d_{0}{\mathcal {E}}({\vec {r}})$

Тогда мы можем записать оптические уравнения Блоха для $\rho _{eg}$ и $\rho _{ge}$:

Для этой части возьмем уравнение эволюции $\rho$ и возьмем элементы матрицы. Мы получаем:

$i\hbar {\frac {d{\hat {\rho }}_{eg}(t)}{dt}}=\hbar (\omega _{0}-i{\frac {\Gamma }{2}})\rho _{eg}-d_{0}{\mathcal {E}}({\vec {r}},t)(\rho _{gg}-\rho _{ee})$

Мы можем получить уравнение для $\rho _{ge}$ взяв его комплексно-сопряженное.

Затем мы можем повторить процесс для всех четырех матричных элементов, но в нашем исследовании мы будем применять приближение малого поля, так что электрическое поле достаточно мало, чтобы мы могли разделить четыре уравнения. Это приближение математически записывается с использованием частоты Раби как:

$\Omega \ll |\Delta |,\Gamma$, с $\Delta =\omega -\omega _{0}$.

Тогда мы можем пренебречь $\rho _{ee}=0$, и установите $\rho _{gg}=1$. Действительно, идея, лежащая в основе этого, состоит в том, что если атом не видит никакого света, то в первом приближении степени ${\mathcal {E}}$, атом будет находиться в основном состоянии, а не в возбужденном состоянии, что вынуждает нас установить $\rho _{ee}=0$, $\rho _{gg}=1$.

Затем мы можем переписать уравнение эволюции так:

${\frac {d{\hat {\rho }}_{eg}(t)}{dt}}=-(i\omega _{0}+{\frac {\Gamma }{2}})\rho _{eg}-i\Omega \cos(wt-\phi )$

Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с неоднородным членом по косинусам. Эту проблему легко решить, используя формулу Эйлера для косинуса.

Получаем следующее решение:

$\rho _{eg}(t)=\Omega /2{\bigg (}{\frac {e^{-i(\omega t-\phi )}}{\omega -\omega _{0}+i\Gamma /2}}-{\frac {e^{i(\omega t-\phi )}}{\omega +\omega _{0}-i\Gamma /2}}{\bigg )}$

Более того, если мы скажем, что отстройка $\Delta$ намного больше, чем $\Gamma$, то, конечно, сумма обоих $\omega ,\omega _{0}$ также намного больше, чем $\Gamma$ и мы можем переписать предыдущее уравнение как:

$\rho _{eg}(t)=\Omega /2{\bigg (}{\frac {e^{-i(\omega t-\phi )}}{\omega -\omega _{0}}}-{\frac {e^{i(\omega t-\phi )}}{\omega +\omega _{0}}}{\bigg )}$

и

$\rho _{ge}(t)=\Omega /2{\bigg (}{\frac {e^{i(\omega t-\phi )}}{\omega -\omega _{0}}}-{\frac {e^{-i(\omega t-\phi )}}{\omega +\omega _{0}}}{\bigg )}$

Возвращаясь к нашему среднему дипольному моменту:

$d(t)=d_{0}\Omega /{\overline {\Delta }}\cos(\omega t-\phi )=-{\frac {d_{0}^{2}{\mathcal {E}}({\vec {r}})}{\hbar {\overline {\Delta }}}}\cos(\omega t-\phi )$ с ${\frac {1}{\overline {\Delta }}}={\frac {1}{\omega -\omega _{0}}}-{\frac {1}{\omega +\omega _{0}}}$

Тогда ясно, что $d(t)=-{\frac {d_{0}^{2}}{\hbar {\overline {\Delta }}}}{\mathcal {E}}({\vec {r}},t)$, и поляризуемость становится $\alpha (\omega )=-{\frac {d_{0}^{2}}{\hbar {\overline {\Delta }}}}$.

Наконец, мы можем записать потенциал, ощущаемый атомом вследствие электрического дипольного взаимодействия, как:

$V_{e.d.}({\vec {r}})={\frac {d_{0}^{2}}{4\hbar {\overline {\Delta }}}}{\mathcal {E}}^{2}({\vec {r}})$

Основные моменты, которые стоит обсудить здесь, как было сказано ранее, заключаются в том, что интенсивность света $I\propto {\overline {{\mathcal {E}}^{2}({\vec {r}},t)}}$ Лазер создает пропорциональный локальный потенциал, который атомы «чувствуют» в этой области. Более того, теперь мы можем определить признак такого потенциала. Мы видим, что оно следует знаку ${\overline {\Delta }}$ что, в свою очередь, следует знаку расстройки. Это означает, что потенциал притягивается, если у нас есть красный расстроенный лазер ( $\omega <\omega _{0}$), и отталкивает, если у нас есть синий расстроенный лазер ( $\omega >\omega _{0}$).

См. также

• Диполь
• Электрический дипольный момент
• Электромагнетизм
• Магнитно-дипольный переход