Теорема о короне

В математике теорема о короне — это результат о спектре ограниченных ( голоморфных функций на открытом единичном круге , выдвинутый ) и доказанный Леннартом Карлесоном Какутани ( 1941 1962 ).

Коммутативная банахова алгебра и пространство Харди H ^∞ состоит из ограниченных голоморфных функций на открытом единичном круге D . Его спектр S (замкнутые максимальные идеалы ) содержит D как открытое подпространство, поскольку для каждого z в D существует максимальный идеал, состоящий из функций f с

ж ( z ) = 0.

Подпространство D не может составлять весь спектр S , по существу потому, что спектр является компактным пространством , а D — нет. Дополнение замыкания D в S было названо короной Ньюманом (1959) , и теорема о короне утверждает, что корона пуста, или, другими словами, открытый единичный диск D плотен в спектре. Более элементарная формулировка состоит в том, что элементы f ₁ ,..., f _n порождают единичный идеал H ^∞ тогда и только тогда, когда существует такое δ>0, что

$|f_{1}|+\cdots +|f_{n}|\geq \delta$ всюду в единичном шаре.

Ньюман показал, что теорему о короне можно свести к интерполяционной задаче, что затем было доказано Карлесоном.

В 1979 году Томас Вольф дал упрощенное (но неопубликованное) доказательство теоремы о короне, описанное в ( Koosis 1980 ) и ( Gamelin 1980 ).

Коул позже показал, что этот результат не может быть распространен на все открытые римановы поверхности ( Gamelin 1978 ).

Побочным продуктом работы Карлесона была введена мера Карлесона , которая сама по себе является очень полезным инструментом в современной теории функций. Остается открытым вопрос, существуют ли версии теоремы о короне для каждой плоской области или для областей более высокой размерности.

Заметим, что если в теореме о короне предположить непрерывность до границы, то вывод легко следует из теории коммутативной банаховой алгебры ( Рудин, 1991 ).

См. также

• Корона набор

Ссылки

• Карлесон, Леннарт (1962), «Интерполяции ограниченными аналитическими функциями и проблема короны», Annals of Mathematics , 76 (3): 547–559, doi : 10.2307/1970375 , JSTOR   1970375 , MR   0141789 , Zbl   0112.29702
• Гамелен, Т.В. (1978), Равномерные алгебры и меры Йенсена. , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 32, Кембридж-Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета , стр. iii+162, ISBN  978-0-521-22280-8 , МР   0521440 , Збл   0418.46042
• Гамелен, Т.В. (1980), «Доказательство Вольфа теоремы о короне», Израильский математический журнал , 37 (1–2): 113–119, doi : 10.1007/BF02762872 , MR   0599306 , Zbl   0466.46050
• Какутани, Шизуо (1941). «Конкретное представление абстрактных (М)-пространств. (Характеризация пространства непрерывных функций.)». Энн. математики . Серия 2. 42 (4): 994–1024. дои : 10.2307/1968778 . hdl : 10338.dmlcz/100940 . JSTOR   1968778 . МР   0005778 .
• Кузис, Пол (1980), Введение в H ^п -пространства. С приложением, посвященным доказательству Вольфом теоремы о короне , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 40, Кембридж-Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета , стр. xv+376, ISBN  0-521-23159-0 , МР   0565451 , Збл   0435.30001
• Ньюман, DJ (1959), «Некоторые замечания о максимальной идеальной структуре H ^∞ ", Анналы математики , 70 (2): 438–445, doi : 10.2307/1970324 , JSTOR   1970324 , MR   0106290 , Zbl   0092.11802
• Рудин, Уолтер (1991), Функциональный анализ , с. 279 .
• Шарк, И.Дж. (1961), «Максимальные идеалы в алгебре ограниченных аналитических функций» , Журнал математики и механики , 10 : 735–746, MR   0125442 , Zbl   0139.30402 .