Коэффициент конечной разности

В математике для аппроксимации производной до произвольного порядка точности можно использовать конечную разность . Конечная разность может быть центральной , прямой или обратной .

Центральная конечная разность

В этой таблице приведены коэффициенты центральных разностей для нескольких порядков точности и с равномерным шагом сетки:

Производная	Точность	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5
1	2					−1/2	0	1/2
	4				1/12	−2/3	0	2/3	−1/12
	6			−1/60	3/20	−3/4	0	3/4	−3/20	1/60
	8		1/280	−4/105	1/5	−4/5	0	4/5	−1/5	4/105	−1/280
2	2					1	−2	1
	4				−1/12	4/3	−5/2	4/3	−1/12
	6			1/90	−3/20	3/2	−49/18	3/2	−3/20	1/90
	8		−1/560	8/315	−1/5	8/5	−205/72	8/5	−1/5	8/315	−1/560
3	2				−1/2	1	0	−1	1/2
	4			1/8	−1	13/8	0	−13/8	1	−1/8
	6		−7/240	3/10	−169/120	61/30	0	−61/30	169/120	−3/10	7/240
4	2				1	−4	6	−4	1
	4			−1/6	2	−13/2	28/3	−13/2	2	−1/6
	6		7/240	−2/5	169/60	−122/15	91/8	−122/15	169/60	−2/5	7/240
5	2			−1/2	2	−5/2	0	5/2	−2	1/2
	4		1/6	−3/2	13/3	−29/6	0	29/6	−13/3	3/2	−1/6
	6	−13/288	19/36	−87/32	13/2	−323/48	0	323/48	−13/2	87/32	−19/36	13/288
6	2			1	−6	15	−20	15	−6	1
	4		−1/4	3	−13	29	−75/2	29	−13	3	−1/4
	6	13/240	−19/24	87/16	−39/2	323/8	−1023/20	323/8	−39/2	87/16	−19/24	13/240

Например, третья производная со вторым порядком точности равна

$f'''(x_{0})\approx {\frac {-{\frac {1}{2}}f(x_{-2})+f(x_{-1})-f(x_{+1})+{\frac {1}{2}}f(x_{+2})}{h_{x}^{3}}}+O\left(h_{x}^{2}\right),$

где $h_{x}$ представляет собой равномерный интервал сетки между каждым интервалом конечной разности, и $x_{n}=x_{0}+nh_{x}$.

Для $m$-я производная с точностью $n$, есть $2p+1=2\left\lfloor {\frac {m+1}{2}}\right\rfloor -1+n$ центральные коэффициенты $a_{-p},a_{-p+1},...,a_{p-1},a_{p}$. Они даются решением системы линейных уравнений

${\begin{pmatrix}1&1&...&1&1\\-p&-p+1&...&p-1&p\\(-p)^{2}&(-p+1)^{2}&...&(p-1)^{2}&p^{2}\\...&...&...&...&...\\...&...&...&...&...\\...&...&...&...&...\\(-p)^{2p}&(-p+1)^{2p}&...&(p-1)^{2p}&p^{2p}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{-p}\\a_{-p+1}\\a_{-p+2}\\...\\...\\...\\a_{p}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\...\\m!\\...\\0\end{pmatrix}},$

где единственное ненулевое значение в правой части находится в $(m+1)$-бросать.

Доступна реализация с открытым исходным кодом для расчета коэффициентов конечной разности произвольных производных и порядка точности в одном измерении.
Учитывая, что левая часть матрицы $\mathbf {J} ^{T}$ представляет собой транспонированную матрицу Вандермонда , перестановка показывает, что коэффициенты в основном вычисляются путем подгонки и получения $2p$Полином -го порядка к окну $2p+1$ точки. Следовательно, коэффициенты также можно вычислить как $m$Производная -го порядка полностью определенного фильтра Савицкого – Голея полиномиальной степени $2p$ и размер окна $2p+1$. Для этого также доступны реализации с открытым исходным кодом. Есть два возможных определения, которые различаются порядком коэффициентов: фильтр для фильтрации посредством дискретной свертки или через произведение матрицы-вектора . Коэффициенты, приведенные в таблице выше, соответствуют последнему определению.

Теория полиномов Лагранжа дает явные формулы для конечно-разностных коэффициентов. Для первых шести производных имеем следующее:

Производная	$a_{0}$	$a_{p}(p\neq 0)$
1	$0$	${\frac {(-1)^{p+1}(n!)^{2}}{p(n-p)!(n+p)!}}$
2	$-2H_{n,2}$	${\frac {2(-1)^{p+1}(n!)^{2}}{p^{2}(n-p)!(n+p)!}}$
3	$0$	${\frac {6(-1)^{p+1}(n!)^{2}}{p^{3}(n-p)!(n+p)!}}(1-p^{2}H_{n,2})$
4	$12(H_{n,2}^{2}-H_{n,4})$	${\frac {24(-1)^{p+1}(n!)^{2}}{p^{4}(n-p)!(n+p)!}}(1-p^{2}H_{n,2})$
5	$0$	${\frac {120(-1)^{p+1}(n!)^{2}}{p^{5}(n-p)!(n+p)!}}\left(1-p^{2}H_{n,2}+{\frac {p^{4}}{2}}(H_{n,2}^{2}-H_{n,4})\right)$
6	$-120H_{n,2}^{3}+360H_{n,2}H_{n,4}-120H_{n,6}$	${\frac {720(-1)^{p+1}(n!)^{2}}{p^{6}(n-p)!(n+p)!}}\left(1-p^{2}H_{n,2}+{\frac {p^{4}}{2}}(H_{n,2}^{2}-H_{n,4})\right)$

где $H_{n,m}$ являются обобщенными гармоническими числами .

Вперед конечная разность

В этой таблице приведены коэффициенты прямых разностей для нескольких порядков точности и с одинаковым шагом сетки:

Производная	Точность	0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	−1	1
	2	−3/2	2	−1/2
	3	−11/6	3	−3/2	1/3
	4	−25/12	4	−3	4/3	−1/4
	5	−137/60	5	−5	10/3	−5/4	1/5
	6	−49/20	6	−15/2	20/3	−15/4	6/5	−1/6
2	1	1	−2	1
	2	2	−5	4	−1
	3	35/12	−26/3	19/2	−14/3	11/12
	4	15/4	−77/6	107/6	−13	61/12	−5/6
	5	203/45	−87/5	117/4	−254/9	33/2	−27/5	137/180
	6	469/90	−223/10	879/20	−949/18	41	−201/10	1019/180	−7/10
3	1	−1	3	−3	1
	2	−5/2	9	−12	7	−3/2
	3	−17/4	71/4	−59/2	49/2	−41/4	7/4
	4	−49/8	29	−461/8	62	−307/8	13	−15/8
	5	−967/120	638/15	−3929/40	389/3	−2545/24	268/5	−1849/120	29/15
	6	−801/80	349/6	−18353/120	2391/10	−1457/6	4891/30	−561/8	527/30	−469/240
4	1	1	−4	6	−4	1
	2	3	−14	26	−24	11	−2
	3	35/6	−31	137/2	−242/3	107/2	−19	17/6
	4	28/3	−111/2	142	−1219/6	176	−185/2	82/3	−7/2
	5	1069/80	−1316/15	15289/60	−2144/5	10993/24	−4772/15	2803/20	−536/15	967/240

Например, первая производная с точностью третьего порядка и вторая производная с точностью второго порядка равны

$\displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {-{\frac {11}{6}}f(x_{0})+3f(x_{+1})-{\frac {3}{2}}f(x_{+2})+{\frac {1}{3}}f(x_{+3})}{h_{x}}}+O\left(h_{x}^{3}\right),$

$\displaystyle f''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {2f(x_{0})-5f(x_{+1})+4f(x_{+2})-f(x_{+3})}{h_{x}^{2}}}+O\left(h_{x}^{2}\right),$

а соответствующие обратные приближения имеют вид

$\displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {{\frac {11}{6}}f(x_{0})-3f(x_{-1})+{\frac {3}{2}}f(x_{-2})-{\frac {1}{3}}f(x_{-3})}{h_{x}}}+O\left(h_{x}^{3}\right),$

$\displaystyle f''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {2f(x_{0})-5f(x_{-1})+4f(x_{-2})-f(x_{-3})}{h_{x}^{2}}}+O\left(h_{x}^{2}\right),$

Обратная конечная разность

Чтобы получить коэффициенты обратных приближений от коэффициентов прямых, всем нечетным производным, перечисленным в таблице предыдущего раздела, присвойте противоположный знак, тогда как для четных производных знаки остаются прежними.Следующая таблица иллюстрирует это:

Производная	Точность	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0
1	1								−1	1
	2							1/2	−2	3/2
	3						−1/3	3/2	−3	11/6
2	1							1	−2	1
	2						−1	4	−5	2
3	1						−1	3	−3	1
	2					3/2	−7	12	−9	5/2
4	1					1	−4	6	−4	1
	2				−2	11	−24	26	−14	3

Произвольные точки трафарета

Для заданных произвольных точек шаблона $\displaystyle s$ длины $\displaystyle N$ с порядком производных $\displaystyle d<N$, конечно-разностные коэффициенты могут быть получены путем решения линейных уравнений

${\begin{pmatrix}s_{1}^{0}&\cdots &s_{N}^{0}\\\vdots &\ddots &\vdots \\s_{1}^{N-1}&\cdots &s_{N}^{N-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}=d!{\begin{pmatrix}\delta _{0,d}\\\vdots \\\delta _{i,d}\\\vdots \\\delta _{N-1,d}\end{pmatrix}},$

где $\delta _{i,j}$ – дельта Кронекера , равная единице, если $i=j$, и ноль в противном случае.

Пример, для $s=[-3,-2,-1,0,1]$, порядок дифференцирования $d=4$:

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\\a_{5}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\-3&-2&-1&0&1\\9&4&1&0&1\\-27&-8&-1&0&1\\81&16&1&0&1\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\24\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-4\\6\\-4\\1\end{pmatrix}}.$

Порядок точности аппроксимации принимает обычный вид $O\left(h_{x}^{(N-d)}\right)$.

См. также

• Метод конечных разностей
• Конечная разница
• Пятиточечный трафарет
• Числовое дифференцирование