Пространства строк и столбцов

В линейной алгебре пространство столбцов (также называемое диапазоном или изображением ) матрицы A представляет собой диапазон (набор всех возможных линейных комбинаций ) ее векторов-столбцов . Пространство столбца матрицы — это изображение или диапазон соответствующего матричного преобразования .

Позволять $F$ быть полем . Пространство столбцов $матрицы размера m \times n$ с компонентами из $F$ является линейным m -пространства подпространством $F^{m}$ . Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы и не превышает $min(m, n)$ . ^[1] Определение матриц над кольцом $R$ тоже возможно .

Пространство строк определяется аналогично.

Пространство строк и пространство столбцов матрицы $A$ иногда обозначаются как $C (A Т)$ и $C (A)$ соответственно. ^[2]

В данной статье рассматриваются матрицы действительных чисел . Пространства строк и столбцов являются подпространствами реальных пространств. $\mathbb {R} ^{n}$ и $\mathbb {R} ^{m}$ соответственно. ^[3]

Обзор

Пусть $A$ будет $mxn$ размером $матрицей$ . Затем

$ранг(A) = dim(rowsp(A)) = dim(colsp(A))$ , ^[4]
$ранг(A)$ = количество опорных точек в любой форме эшелона $A$ ,
$Rank(A)$ = максимальное количество линейно независимых строк или столбцов $A$ . ^[5]

Если матрица представляет собой линейное преобразование , пространство столбцов матрицы равно изображению этого линейного преобразования.

Пространство столбцов матрицы $A$ — это набор всех линейных комбинаций столбцов $A.$ матрицы Если $A = [a 1 \dots a n]$ , то $colsp(A) = span({a 1, ..., a n})$ .

Учитывая матрицу $A$ , действие матрицы $A$ на вектор $x$ возвращает линейную комбинацию столбцов $A$ с координатами $x$ в качестве коэффициентов; то есть столбцы матрицы создают пространство столбцов.

Пример

Учитывая матрицу $J$ :

J={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\-1&-2&1&0&5\\1&6&2&2&2\\3&6&2&5&1\end{bmatrix}}

строки $\mathbf {r} _{1}={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\end{bmatrix}}$ , $\mathbf {r} _{2}={\begin{bmatrix}-1&-2&1&0&5\end{bmatrix}}$ , $\mathbf {r} _{3}={\begin{bmatrix}1&6&2&2&2\end{bmatrix}}$ , $\mathbf {r} _{4}={\begin{bmatrix}3&6&2&5&1\end{bmatrix}}$ .Следовательно, пространство строк $J$ является подпространством $\mathbb {R} ^{5}$ охватывает ${р 1, р 2, р 3, р 4}$ . Поскольку эти четыре вектора-строки линейно независимы , пространство строк является 4-мерным. Более того, в этом случае видно, что все они ортогональны вектору $n = [6, -1, 4, -4, 0]$ ) $,$ поэтому можно вывести $( n — элемент ядра J$ , что пространство строк состоит из всех векторов в $\mathbb {R} ^{5}$ которые ортогональны $n$ .

Колонка пространства

Определение

Пусть $K$ — поле скаляров . Пусть $A —$ матрица $размера m \times n$ с векторами-столбцами $v 1, v 2, ..., v n$ . Линейной комбинацией этих векторов является любой вектор вида

c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n},

где $c 1, c 2, ..., c n$ — скаляры. Набор всех возможных линейных комбинаций $1, ..., v n$ называется пространством столбцов A $v$ . То есть пространство столбцов $A$ представляет собой диапазон векторов $v 1, ..., v n$ .

Любую линейную комбинацию векторов-столбцов матрицы $A$ можно записать как произведение $A$ на вектор-столбец:

{\begin{array}{rcl}A{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}&=&{\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}a_{11}+\cdots +c_{n}a_{1n}\\\vdots \\c_{1}a_{m1}+\cdots +c_{n}a_{mn}\end{bmatrix}}=c_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+\cdots +c_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}\\&=&c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{array}}

Следовательно, пространство столбцов $A$ состоит из всех возможных произведений $A x$ , для $x \in K н$ . Это то же самое, что изображение (или диапазон ) соответствующего матричного преобразования .

Пример

Если $A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\2&0\end{bmatrix}}$ , то векторы-столбцы равны $v 1 = [1, 0, 2] Т$ и $v 2 = [0, 1, 0] Т$ .Линейной комбинацией v ₁ и v ₂ является любой вектор вида $c_{1}{\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\2c_{1}\end{bmatrix}}$ Набор всех таких векторов представляет собой пространство столбцов $A$ . В этом случае пространство столбцов — это в точности набор векторов $(x, y, z) \in R 3$ удовлетворяющее уравнению $z = 2 x$ (используя декартовы координаты , это множество представляет собой плоскость, проходящую через начало координат в трехмерном пространстве ).

Основа

Столбцы $A$ охватывают пространство столбцов, но они не могут образовывать основу, если векторы-столбцы не являются линейно независимыми . К счастью, элементарные операции над строками не влияют на отношения зависимости между векторами-столбцами. Это позволяет использовать сокращение строк , чтобы найти основу для пространства столбцов.

Например, рассмотрим матрицу

A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}.

Столбцы этой матрицы охватывают пространство столбцов, но они не могут быть линейно независимыми , и в этом случае некоторое их подмножество будет формировать основу. Чтобы найти этот базис, мы приводим $A$ к уменьшенной форме эшелона строк :

{\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\0&1&1&1\\0&2&2&-3\\0&-1&-1&4\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&1\\0&1&1&1\\0&0&0&-5\\0&0&0&5\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.

^[6]

На этом этапе ясно, что первый, второй и четвертый столбцы линейно независимы, а третий столбец представляет собой линейную комбинацию первых двух. (В частности, $v 3 = -2 v 1 + v 2$ .) Следовательно, первый, второй и четвертый столбцы исходной матрицы являются основой пространства столбцов:

{\begin{bmatrix}1\\2\\1\\1\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}3\\7\\5\\2\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}4\\9\\1\\8\end{bmatrix}}.

Обратите внимание, что независимые столбцы сокращенной формы эшелона строк — это именно столбцы с поворотными точками . Это дает возможность определить, какие столбцы являются линейно независимыми, путем приведения только к эшелонированному виду .

Приведенный выше алгоритм в целом можно использовать для нахождения отношений зависимости между любым набором векторов и для выбора базиса из любого остовного набора. Также поиск базиса для пространства столбцов $A$ эквивалентен поиску базиса для пространства строк транспонированной матрицы $A. Т$ .

Чтобы найти базис в практических условиях (например, для больших матриц), разложение по сингулярным значениям обычно используется .

Измерение

Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы. Ранг равен количеству поворотов в сокращенной форме эшелона строк и представляет собой максимальное количество линейно независимых столбцов, которые можно выбрать из матрицы. Например, матрица 4 × 4 в приведенном выше примере имеет ранг три.

Поскольку пространство столбцов является изображением соответствующего матричного преобразования , ранг матрицы совпадает с размерностью изображения. Например, преобразование $\mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4}$ описанная матрицей выше, отображает все $\mathbb {R} ^{4}$ в некоторое трехмерное подпространство .

Нулевое значение матрицы — это размерность нулевого пространства , равная количеству столбцов в сокращенной форме эшелона строк, которые не имеют поворотных точек. ^[7] Ранг и нуль матрицы $A$ с $n$ столбцами связаны уравнением:

\operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n.\,

Это известно как теорема о ранге-нулевости .

Отношение к левому пустому пространству

Левое нулевое пространство A $x$ — это набор всех векторов $x$ таких, $что Т А = 0 Т$ . Это то же самое, что пространство транспонирования и A $нулевое$ . Произведение матрицы $A Т$ а вектор $x$ можно записать через скалярное произведение векторов:

A^{\mathsf {T}}\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {v} _{n}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},

потому что векторы- строки $A Т$ являются транспонированными вектор-столбцами $v k$ из $A$ . Таким образом, $А Т x = 0$ тогда и только тогда, когда $x$ ортогонален ( перпендикулярен ) каждому из вектор-столбцов $A$ .

Отсюда следует, что левое нулевое пространство (нулевое пространство $A Т$ ) является ортогональным дополнением к пространству столбцов $A$ .

Для матрицы $A$ пространство столбцов, пространство строк, нулевое пространство и левое нулевое пространство иногда называют четырьмя фундаментальными подпространствами .

Для матриц над кольцом

Аналогично пространство столбцов (иногда обозначаемое как пространство правых столбцов) может быть определено для матриц над кольцом $K$ как

\sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}c_{k}

для любого $c 1, ..., c n$ с заменой векторного $m$ -пространства на « правосвободный модуль », что меняет порядок скалярного умножения вектора $v k$ на скаляр $c k$ такой, что он записывается в необычный вектор порядка – скаляр . ^[8]

Пространство строки

Определение

Пусть $K$ — поле скаляров . Пусть $A$ — $матрица размера m \times n$ с векторами-строками $r 1, r 2, ... rm,$ . Линейной комбинацией этих векторов является любой вектор вида

c_{1}\mathbf {r} _{1}+c_{2}\mathbf {r} _{2}+\cdots +c_{m}\mathbf {r} _{m},

где $c 1, c 2, ..., cm —$ скаляры. Множество всех возможных линейных комбинаций $, ..., rm r$ называется пространством строк A $1$ . То есть пространство строк $A$ представляет собой векторов r $1, ..., rm диапазон$ .

Например, если

A={\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\end{bmatrix}},

тогда векторами-строками являются $r 1 = [1, 0, 2]$ и $r 2 = [0, 1, 0]$ . Линейной комбинацией $r 1$ и $r 2$ является любой вектор вида

c_{1}{\begin{bmatrix}1&0&2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}&2c_{1}\end{bmatrix}}.

Набор всех таких векторов представляет собой пространство строк $A$ . В этом случае пространство строк — это в точности набор векторов $(x, y, z) \in K 3$ удовлетворяющее уравнению $z = 2 x$ (используя декартовы координаты , это множество представляет собой плоскость, проходящую через начало координат в трехмерном пространстве ).

Для матрицы, представляющей однородную систему линейных уравнений , пространство строк состоит из всех линейных уравнений, которые следуют из уравнений в системе.

Пространство столбца $A$ равно пространству строк $A. Т$ .

Основа

На пространство строк не влияют элементарные операции над строками . Это позволяет использовать сокращение строк , чтобы найти основу для пространства строк.

Например, рассмотрим матрицу

A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}.

Строки этой матрицы охватывают пространство строк, но они не могут быть линейно независимыми , и в этом случае строки не будут базисом. Чтобы найти базис, мы приводим $A$ к форме звена строк :

$r 1$ , $r 2$ , $r 3$ представляют строки.

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}&\xrightarrow {\mathbf {r} _{2}-2\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{2}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\1&5&2\end{bmatrix}}\xrightarrow {\mathbf {r} _{3}-\,\,\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{3}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&2&0\end{bmatrix}}\\&\xrightarrow {\mathbf {r} _{3}-2\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{3}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {\mathbf {r} _{1}-3\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{1}} {\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

Когда матрица имеет эшелонированную форму, ненулевые строки становятся основой пространства строк. В данном случае базисом является ${ [1, 3, 2], [2, 7, 4] }$ . Другой возможный базис ${[1, 0, 2], [0, 1, 0] }$ получается в результате дальнейшего сокращения. ^[9]

В целом этот алгоритм можно использовать для поиска основы диапазона набора векторов. Если матрицу дополнительно упростить до уменьшенной формы эшелона строк , то результирующий базис однозначно определяется пространством строк.

Вместо этого иногда удобно найти основу для пространства строк среди строк исходной матрицы (например, этот результат полезен для элементарного доказательства того, что детерминантный ранг матрицы равен ее рангу). Поскольку операции над строками могут влиять на отношения линейной зависимости векторов-строк, вместо этого такой базис находится косвенно, используя тот факт, что пространство столбцов $A Т$ равно пространству строк $A$ . Используя приведенный выше пример матрицы $A$ , найдите $A Т$ и приведите его к форме эшелона строк:

A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&2&1\\3&7&5\\2&4&2\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&2\\0&0&0\end{bmatrix}}.

Поворотные точки указывают на то, что первые два столбца $A Т$ составляют основу пространства столбцов $A Т$ . Следовательно, первые две строки $A$ (до любых сокращений строк) также образуют основу пространства строк $A$ .

Измерение

Размерность пространства строк называется рангом матрицы. Это то же самое, что максимальное количество линейно независимых строк, которые можно выбрать из матрицы, или, что то же самое, количество поворотов. Например, матрица 3 × 3 в приведенном выше примере имеет второй ранг. ^[9]

Ранг матрицы также равен размерности пространства столбцов . Размерность нулевого пространства называется нулевой матрицей и связана с рангом следующим уравнением:

\operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n,

где $n$ количество столбцов матрицы $A.$ — Уравнение, приведенное выше, известно как теорема о ранге-нулевости .

Отношение к пустому пространству

Нулевое пространство матрицы $A$ — это набор всех векторов $x,$ для которых $A x = 0$ . Произведение матрицы $A$ и вектора $x$ можно записать через скалярное произведение векторов:

A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {r} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {r} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},

где $r 1, ..., rm —$ векторы-строки $A$ . Таким образом, $A x = 0$ тогда и только тогда, когда $x$ ортогонален ( перпендикулярен ) каждому из векторов-строок $A$ .

Отсюда следует, что нулевое пространство $A$ является ортогональным дополнением к пространству строк. Например, если пространство строк представляет собой плоскость, проходящую через начало координат в трех измерениях, то пустое пространство будет перпендикулярной линией, проходящей через начало координат. Это обеспечивает доказательство теоремы о ранге – недействительности (см. размерность выше).

Пространство строк и нулевое пространство — это два из четырех фундаментальных подпространств, связанных с матрицей $A$ (два других — это пространство столбцов и левое нулевое пространство ).

Отношение к изображению

Если $V$ и $W$ — векторные пространства , то ядром линейного преобразования $T : V \to W$ является множество векторов $v \in V$ , для которых $T (v) = 0$ . Ядро линейного преобразования аналогично нулевому пространству матрицы.

Если $V$ — пространство внутреннего продукта , то ортогональное дополнение к ядру можно рассматривать как обобщение пространства строк. называют -образом ко $Т.$ Иногда это Преобразование $T$ взаимно однозначно на своем кообразе, и кообраз отображается на образ T $изоморфно$ .

Когда $V$ не является пространством внутреннего продукта, кообраз $T$ может быть определен как факторпространство $V /ker(T)$ .

См. также

Евклидово подпространство

Ссылки и примечания

^ Линейная алгебра, как обсуждается в этой статье, — это хорошо зарекомендовавшая себя математическая дисциплина, по которой существует множество источников. Почти весь материал этой статьи можно найти в Lay 2005, Meyer 2001 и Strang 2005.
^ Стрэнг, Гилберт (2016). Введение в линейную алгебру (Пятое изд.). Уэлсли, Массачусетс: Wellesley-Cambridge Press. стр. 128, 168. ISBN. 978-0-9802327-7-6 . OCLC 956503593 .
^ Антон (1987 , стр. 179)
^ Антон (1987 , стр. 183)
^ Борегар и Фрели (1973 , стр. 254)
^ В этом вычислении используется Гаусса – Джордана алгоритм сокращения строк . Каждый из показанных шагов включает в себя несколько элементарных операций со строками.
^ Столбцы без опорных точек представляют свободные переменные в связанной однородной системе линейных уравнений .
^ Важно, только если $K$ не коммутативен . На самом деле эта форма представляет собой просто произведение $A c$ матрицы $A$ на вектор-столбец $c$ из $K н$ где порядок факторов сохраняется , в отличие от приведенной выше формулы .
^ Перейти обратно: ^а ^б Пример действителен для действительных чисел , рациональных чисел и других числовых полей . Оно не обязательно корректно над полями и кольцами с ненулевой характеристикой .

Дальнейшее чтение

Антон, Ховард (1987), Элементарная линейная алгебра (5-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
Экслер, Шелдон Джей (1997), Правильно выполненная линейная алгебра (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
Банерджи, Судипто; Рой, Аниндья (6 июня 2014 г.), Линейная алгебра и матричный анализ для статистики (1-е изд.), CRC Press, ISBN 978-1-42-009538-8
Борегар, Раймонд А.; Фрэли, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-Х
Лэй, Дэвид К. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 978-0-321-28713-7
Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Пирсон Прентис Холл
Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8 , заархивировано из оригинала 1 марта 2001 г.
Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: современное введение (2-е изд.), Брукс/Коул, ISBN 0-534-99845-3
Стрэнг, Гилберт (19 июля 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (4-е изд.), Брукс Коул, ISBN 978-0-03-010567-8

Внешние ссылки

[ReferenceA-1] Линейная алгебра, как обсуждается в этой статье, — это хорошо зарекомендовавшая себя математическая дисциплина, по которой существует множество источников. Почти весь материал этой статьи можно найти в Lay 2005, Meyer 2001 и Strang 2005.

[2] Стрэнг, Гилберт (2016). Введение в линейную алгебру (Пятое изд.). Уэлсли, Массачусетс: Wellesley-Cambridge Press. стр. 128, 168. ISBN. 978-0-9802327-7-6 . OCLC 956503593 .

[3] Антон (1987 , стр. 179)

[4] Антон (1987 , стр. 183)

[5] Борегар и Фрели (1973 , стр. 254)

[6] В этом вычислении используется Гаусса – Джордана алгоритм сокращения строк . Каждый из показанных шагов включает в себя несколько элементарных операций со строками.

[7] Столбцы без опорных точек представляют свободные переменные в связанной однородной системе линейных уравнений .

[8] Важно, только если $K$ не коммутативен . На самом деле эта форма представляет собой просто произведение $A c$ матрицы $A$ на вектор-столбец $c$ из $K н$ где порядок факторов сохраняется , в отличие от приведенной выше формулы .

[example-9] Перейти обратно: ^а ^б Пример действителен для действительных чисел , рациональных чисел и других числовых полей . Оно не обязательно корректно над полями и кольцами с ненулевой характеристикой .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

v т и Линейная алгебра
Контур Глоссарий
Основные понятия	Скаляр Вектор Векторное пространство Скалярное умножение Векторная проекция Линейный пролет Линейная карта Линейная проекция Линейная независимость Линейная комбинация Многолинейная карта Основа Изменение базы Векторы-строки и столбцы Пространства строк и столбцов Ядро Собственные значения и собственные векторы Транспонировать Линейные уравнения
Матрицы	Блокировать Разложение Обратимый Незначительный Умножение Классифицировать Трансформация Правило Крамера Исключение по Гауссу
Билинейный	Ортогональность Скалярное произведение Произведение Адамара Внутреннее пространство продукта Внешний продукт Продукт Кронекера Процесс Грама – Шмидта
Полилинейная алгебра	Определитель Перекрестное произведение Тройной продукт Семимерное векторное произведение Геометрическая алгебра Внешняя алгебра Бивектор Многовекторный Тензор Аутерморфизм
Векторные космические конструкции	Двойной Прямая сумма Функциональное пространство частное Подпространство Тензорное произведение
Числовой	Плавающая точка Численная стабильность Основные подпрограммы линейной алгебры Разреженная матрица Сравнение библиотек линейной алгебры
Категория