Двойной (теория категорий)

Общие понятия двойственности в математике см. в разделе Двойственность (математика) .

В теории категорий , разделе математики , двойственность — это соответствие между свойствами категории C и двойственными свойствами противоположной категории C. ^на . Учитывая утверждение относительно категории C , путем замены источника и цели каждого морфизма , а также замены порядка составления двух морфизмов, соответствующее двойственное утверждение получается относительно противоположной категории C. ^на . Двойственность как таковая — это утверждение, что истина инвариантна относительно этой операции над утверждениями. Другими словами, если утверждение истинно относительно C , то его двойственное утверждение верно и относительно C. ^на . Кроме того, если утверждение ложно относительно C , то его двойственное утверждение должно быть ложным относительно C. ^на .

Учитывая конкретную категорию C , часто бывает, что противоположная категория C ^на само по себе является абстрактным. С ^на не обязательно должна быть категорией, возникающей из математической практики. В этом случае другая категория D также называется находящейся в двойственности с C, если D и C ^на эквивалентны как категории .

В случае, когда C и его противоположность C ^на эквивалентны, такая категория самодуальна.

Формальное определение

Мы определяем элементарный язык теории категорий как двусортный язык первого порядка , в котором объекты и морфизмы представляют собой отдельные виды, а отношения объекта являются источником или целью морфизма и символом для составления двух морфизмов.

Пусть σ — любое утверждение на этом языке. Образуем двойственный σ ^на следующее:

1. Поменяйте местами каждое появление «источника» в σ на «цель».
2. Поменяйте местами порядок составления морфизмов. То есть заменить каждое вхождение $g\circ f$ с $f\circ g$

Неформально эти условия гласят, что двойственное утверждение формируется путем перестановки стрелок и композиций .

Двойственность — это наблюдение, что σ истинно для некоторой категории C тогда и только тогда, когда σ ^на верно для C ^на .

Примеры

• Морфизм $f\colon A\to B$ является мономорфизмом , если $f\circ g=f\circ h$ подразумевает $g=h$. Выполняя двойную операцию, получаем утверждение, что $g\circ f=h\circ f$ подразумевает $g=h.$ Для морфизма $f\colon B\to A$, именно это и означает, что f является эпиморфизмом . Короче говоря, свойство быть мономорфизмом двойственно свойству быть эпиморфизмом.

Применяя двойственность, это означает, что морфизм в некоторой категории C является мономорфизмом тогда и только тогда, когда обратный морфизм в противоположной категории C ^на является эпиморфизмом.

• Примером может служить изменение направления неравенств в частичном порядке . Таким образом, если X — множество и ≤ отношение частичного порядка, мы можем определить новое отношение частичного порядка ≤ _new с помощью

x ≤ _new y тогда и только тогда, когда y ≤ x .

Этот пример с порядками является особым случаем, поскольку частичные заказы соответствуют определенному виду категории, в которой Hom( A , B ) может иметь не более одного элемента. В приложениях к логике это выглядит как очень общее описание отрицания (то есть доказательства идут в противоположном направлении). Например, если мы возьмем противоположность решетке , мы обнаружим, что встречи и соединения поменялись ролями. Это абстрактная форма законов Де Моргана или двойственности, примененная к решеткам.

• Пределы и копределы — двойственные понятия.
• Расслоения и корасслоения — примеры двойственных понятий в алгебраической топологии и теории гомотопий . В этом контексте двойственность часто называют двойственностью Экмана – Хилтона .

См. также

• Сопряженный функтор
• Двойной объект
• Двойственность (математика)
• Противоположная категория
• Площадь Пуляции

Ссылки

• «Двойная категория» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Принцип двойственности» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Двойственность» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Мак Лейн, Сондерс (1978). Категории для работающего математика (второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. п. 33. ISBN  1441931236 . OCLC   851741862 .
• Аводи, Стив (2010). Теория категорий (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр. 53–55. ISBN  978-0199237180 . OCLC   740446073 .