Строки и столбцы

В линейной алгебре пространство столбца (также называемое диапазоном или изображением ) матрицы A является пролетом ( набор всех возможных линейных комбинаций ) векторов столбцов . Пространство столбца матрицы - это изображение или диапазон соответствующего матричного преобразования .

Позволять $F$ быть поле . Пространство колонны $матрицы M \times N$ с компонентами из $F$ является линейным M -пространства подпространством $F^{m}$ Полем Размер пространства столбца называется рангом матрицы и составляет большую часть $мин (M, N)$ . ^{[ 1 ]} Определение матриц над кольцом $R$ также возможно .

Пространство строки определяется аналогичным образом.

Пространство строки и пространство столбца матрицы $А$ обозначаются как $C (иногда Т)$ и $C (а)$ соответственно. ^{[ 2 ]}

В этой статье рассматриваются матрицы реальных чисел . Стоки строк и столбцов являются подпространствами реальных пространств $\mathbb {R} ^{n}$ и $\mathbb {R} ^{m}$ соответственно. ^{[ 3 ]}

Обзор

Пусть $-$ матрица $m$ -by $-n$ . Затем

$ранг (a) = dim (rowsp (a)) = dim (colsp (a))$ , ^{[ 4 ]}
$ранг (a)$ = количество поворотов эшелона $в любой форме$ ,
$ранг (a)$ = максимальное количество линейно независимых строк или столбцов $а$ . ^{[ 5 ]}

Если матрица представляет линейное преобразование , пространство столбца матрицы равняется изображению этого линейного преобразования.

Пространство столбца матрицы $A$ набором всех линейных комбинаций столбцов в $A.$ является Если $a = [a 1 \dots a n]$ , то $colsp (a) = span ({a 1, ..., a n})$ .

Учитывая матрицу $А$ , действие матрицы $А$ на вектор $x$ возвращает линейную комбинацию столбцов $А$ с координатами $x$ в качестве коэффициентов; То есть столбцы матрицы генерируют пространство столбца.

Пример

Дал матрицу $J$ :

J={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\-1&-2&1&0&5\\1&6&2&2&2\\3&6&2&5&1\end{bmatrix}}

ряды есть $\mathbf {r} _{1}={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\end{bmatrix}}$ , $\mathbf {r} _{2}={\begin{bmatrix}-1&-2&1&0&5\end{bmatrix}}$ , $\mathbf {r} _{3}={\begin{bmatrix}1&6&2&2&2\end{bmatrix}}$ , $\mathbf {r} _{4}={\begin{bmatrix}3&6&2&5&1\end{bmatrix}}$ Полем Следовательно, пространство ряда $J$ является подпространством $\mathbb {R} ^{5}$ охватывается ${r 1, r 2, r 3, r 4}$ . Поскольку эти четыре ряда векторов линейно независимы , пространство строк 4-мерное. Более того, в этом случае видно, что все они ортогональны вектору $n = [6, -1, 4, -4, 0]$ ( $n$ - элемент ядра j ) $это$ , поэтому можно вывести, что Сторочное пространство состоит из всех векторов в $\mathbb {R} ^{5}$ которые ортогональны для $n$ .

Колоночное пространство

Определение

Пусть $K$ - поле скаляров . Пусть $A$ - $матрица M \times N$ , с столбцами векторов $V 1, V 2, ..., V n$ . Линейная комбинация этих векторов - это любой вектор формы

c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n},

где $c 1, c 2, ..., c n$ - скаляры. Набор всех возможных линейных комбинаций $, ..., V N$ называется пространством столбца A. $1$ V То есть пространство столбца $A$ - это промежуток векторов $v 1, ..., v n$ .

Любая линейная комбинация векторов столбцов матрицы $А$ может быть записана как продукт $с вектором$ столбца:

{\begin{array}{rcl}A{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}&=&{\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}a_{11}+\cdots +c_{n}a_{1n}\\\vdots \\c_{1}a_{m1}+\cdots +c_{n}a_{mn}\end{bmatrix}}=c_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+\cdots +c_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}\\&=&c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{array}}

Следовательно, пространство столбца $состоит$ из всех возможных продуктов $a x$ , для $x \in K не$ Полем Это то же самое, что и изображение (или диапазон ) соответствующего матричного преобразования .

Пример

Если $A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\2&0\end{bmatrix}}$ , тогда векторы столбца $v 1 = [1, 0, 2] Т$ и $v 2 = [0, 1, 0] Т$ Полем Линейная комбинация V ₁ и V ₂ - это любой вектор формы $c_{1}{\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\2c_{1}\end{bmatrix}}$ Набор всех таких векторов - это пространство $столбца$ . В этом случае пространство столбцов является именно набором векторов $(x, y, z) \in R 3$ Удовлетворяя уравнение $z = 2 x$ (используя декартовые координаты , этот набор- плоскость через начало трехмерного пространства ).

Основа

Столбцы $простирают$ пространство столбца, но они могут не сформировать основу, если векторы столбца не являются линейно независимыми . К счастью, операции элементарных строк не влияют на отношения зависимости между векторами столбца. Это позволяет использовать сокращение строк , чтобы найти основу для пространства столбцов.

Например, рассмотрим матрицу

A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}.

Столбцы этой матрицы охватывают пространство столбцов, но они не могут быть линейно независимыми , и в этом случае некоторое подмножество их будет образовывать основу. Чтобы найти эту основу, мы уменьшаем $А$ -уменьшенную форму эшелона ряда :

{\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\0&1&1&1\\0&2&2&-3\\0&-1&-1&4\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&1\\0&1&1&1\\0&0&0&-5\\0&0&0&5\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.

^{[ 6 ]}

На этом этапе ясно, что первые, вторые и четвертые столбцы линейно независимы, в то время как третий столбец представляет собой линейную комбинацию первых двух. (В частности, $v 3 = -2 В 1 + V 2.$ ) Следовательно, первые, вторые и четвертые столбцы исходной матрицы являются основой для пространства столбцов:

{\begin{bmatrix}1\\2\\1\\1\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}3\\7\\5\\2\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}4\\9\\1\\8\end{bmatrix}}.

Обратите внимание, что независимыми столбцами формы эшелона с уменьшенной строкой являются именно столбцы с шарнирами . Это позволяет определить, какие столбцы линейно независимы, уменьшая только форму эшелона .

Приведенный выше алгоритм может быть использован в целом для поиска отношений зависимости между любым набором векторов и для выбора основы из любого набора охват. Также обнаружение основы для пространства столбца $А$ эквивалентно поиску основы для строки пространства транспонированной матрицы $А Т$ .

Чтобы найти основу в практической обстановке (например, для больших матриц), разложение единственной стоимости обычно используется .

Измерение

Размер пространства столбца называется ранг матрицы. Ранг равен количеству осадков в форме уменьшенного эшелона строк и является максимальным количеством линейно независимых столбцов, которые можно выбрать из матрицы. Например, матрица 4 × 4 в приведенном выше примере имеет третье место.

Поскольку пространство столбца является изображением соответствующего матричного преобразования , ранг матрицы совпадает с измерением изображения. Например, преобразование $\mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4}$ описано матрицей выше карт всех $\mathbb {R} ^{4}$ к некоторому трехмерному подпространству .

Нулетность пространства матрицы - это измерение нулевого и равна количеству столбцов в форме эшелона с уменьшенной строкой, которые не имеют шарниров. ^{[ 7 ]} Ранг и недействительность матрицы $A$ с $N$ столбцами связаны с уравнением:

\operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n.\,

Это известно как теорема ранга .

Отношение к левому нулевому пространству

Левое нулевое пространство A $такой$ - это набор всех векторов $x,$ , что $x Т A = 0 Т$ Полем Это то же самое, пространство транспонирования нулевое что $.$ и Продукт матрицы $А Т$ и вектор $x$ может быть написан в терминах точечного продукта векторов:

A^{\mathsf {T}}\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {v} _{n}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},

Потому векторы строк $что Т$ транспонируют столбцы векторы $V K$ of $a$ . Таким образом $а Т x = 0$ тогда и только тогда, когда $x$ является ортогональным (перпендикулярно) для каждого из векторов столбца $а$ .

Из этого следует, что левое нулевое пространство (нулевое $пространство Т$ ) является ортогональным дополнением к пространству $колонны$ .

Для матрицы $A$ пространство столбца, пространство строк, ноль пространство и левое ночное пространство иногда называют четырьмя фундаментальными подпространствами .

Для матриц над кольцом

Точно так же пространство столбца (иногда неоднозначное как пространство правого столбца) может быть определена для матриц над кольцом $k$ как

\sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}c_{k}

любого $c 1, ..., c n$ , с заменой вектора $m$ -пространства « правым модулем », который изменяет порядок скалярного умножения вектора $V,$ к скалярному $c Для$ так что он записан в необычный вектор порядка - скаляр . ^{[ 8 ]}

Рядное пространство

Определение

Пусть $K$ - поле скаляров . Пусть $A$ - $матрица M \times N$ векторами строк $R 1, R 2, ..., R M.$ , с Линейная комбинация этих векторов - это любой вектор формы

c_{1}\mathbf {r} _{1}+c_{2}\mathbf {r} _{2}+\cdots +c_{m}\mathbf {r} _{m},

где $C 1, C 2, ..., C M$ - скаляры. Набор всех возможных линейных комбинаций $1, ..., r m$ называется рядным пространством a $r$ . То есть пространство ряда $-$ это промежуток векторов $r 1, ..., r m$ .

Например, если

A={\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\end{bmatrix}},

Тогда векторы строки $r 1 = [1, 0, 2]$ и $r 2 = [0, 1, 0]$ . Линейная комбинация $R 1$ и $R 2$ - это любой вектор формы

c_{1}{\begin{bmatrix}1&0&2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}&2c_{1}\end{bmatrix}}.

Набор всех таких векторов - это пространство $ряд$ . В этом случае пространство строки является именно набором векторов $(x, y, z) \in K 3$ Удовлетворяя уравнение $z = 2 x$ (используя декартовые координаты , этот набор- плоскость через начало трехмерного пространства ).

Для матрицы, которая представляет собой гомогенную систему линейных уравнений , пространство строк состоит из всех линейных уравнений, которые следуют от тех, кто находится в системе.

столбца $А$ равно строительству $Пространство Т$ .

Основа

На пространство строки не влияет операции элементарных строк . Это позволяет использовать сокращение строк , чтобы найти основу для места строки.

Например, рассмотрим матрицу

A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}.

Ряды этой матрицы охватывают пространство строки, но они не могут быть линейно независимыми , и в этом случае ряды не будут основой. Чтобы найти основу, мы уменьшаем $строк$ форму эшелона :

$R 1$ , $R 2$ , $R 3$ представляет ряды.

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}&\xrightarrow {\mathbf {r} _{2}-2\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{2}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\1&5&2\end{bmatrix}}\xrightarrow {\mathbf {r} _{3}-\,\,\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{3}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&2&0\end{bmatrix}}\\&\xrightarrow {\mathbf {r} _{3}-2\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{3}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {\mathbf {r} _{1}-3\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{1}} {\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

Как только матрица находится в форме эшелона, ненулевые ряды становятся основой для строки. В этом случае основа - ${[1, 3, 2], [2, 7, 4]}$ . Другая возможная основа ${[1, 0, 2], [0, 1, 0]}$ происходит от дальнейшего сокращения. ^{[ 9 ]}

Этот алгоритм может быть использован в целом, чтобы найти основу для пролета набора векторов. Если матрица дополнительно упрощена до уменьшенной формы эшелона ряда , то полученная основа уникально определяется пространством строки.

Иногда вместо этого удобно найти основу для строк из числа рядов исходной матрицы (например, этот результат полезен для того, чтобы дать элементарное доказательство того, что определяющий ранг матрицы равен его ранге). Поскольку операции строк могут повлиять на линейные отношения зависимости векторов строки, такая основа вместо этого обнаруживается косвенно с использованием того факта, что пространство $столбца Т$ равен пространству $ряда$ . Используя пример матрицы $A$ выше, $найдите Т$ и уменьшить его до формы эшелона ряда:

A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&2&1\\3&7&5\\2&4&2\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&2\\0&0&0\end{bmatrix}}.

Пивоты указывают, что первые два $столбца Т$ сформировать основу пространства $столбца Т$ Полем Следовательно, первые два ряда $A$ до любого сокращения строк) также образуют основу пространства строк $A.$ (

Измерение

Измерение пространства строки называется ранг матрицы. Это то же самое, что и максимальное количество линейно независимых строк, которые могут быть выбраны из матрицы, или, эквивалентно количеству шарниров. Например, матрица 3 × 3 в приведенном выше примере имеет второе место. ^{[ 9 ]}

Ранг матрицы также равен измерению пространства столбца . Измерение нулевого пространства называется недействительностью матрицы и связано с рангом следующим уравнением:

\operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n,

где $n$ - количество столбцов матрицы $a$ . Приведенное выше уравнение известно как теорема о ранге .

Отношение к нулевому пространству

Нулевое пространство матрицы $A$ - это набор всех векторов $x,$ для которого $a x = 0$ . Продукт матрицы $A$ и вектор $x$ может быть написан в терминах точечного продукта векторов:

A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {r} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {r} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},

где $r 1, ..., m -$ рядные векторы $.$ r Таким образом, $= x 0,$ и только тогда, что $x$ является ортогональным (перпендикулярно) для каждого из векторов строк $A.$ если

Отсюда следует, что нулевое пространство $А$ является ортогональным дополнением к месту строки. Например, если пространство строки является плоскостью через начало координат в трех измерениях, то нулевое пространство будет перпендикулярной линией через начало начала. Это обеспечивает доказательство теоремы ранга -нерастости (см. Измерение выше).

Сторожное пространство и нулевое пространство представляют собой два из четырех фундаментальных подпространств, связанных с матрицей $А$ (два других - это пространство столбца и левое нулевое пространство ).

Отношение к покрытию

Если $V$ и $W$ являются векторными пространствами , то ядро линейного преобразования $T : V \to W$ - набор векторов $v \in V$ , для которого $t (v) = 0$ . Ядро линейного преобразования аналогично нулевому пространству матрицы.

Если $V$ является внутренним пространством продукта , то ортогональный дополнение к ядру можно рассматривать как обобщение пространства строки. называется покрытием т $Иногда это$ . Трансформация $t$ -один на его покрытии, а карты карты на изображение T. $изоморфически$ является один

Когда $V$ не является внутренним пространством продукта, коаймэ с $T$ может быть определена как коэффициент пространства $V / ker (t)$ .

Смотрите также

Евклидовый подпространство

Ссылки и примечания

^ Линейная алгебра, как обсуждалось в этой статье, представляет собой очень хорошо известную математическую дисциплину, для которой есть много источников. Почти весь материал в этой статье можно найти в Lay 2005, Meyer 2001 и Strang 2005.
^ Странг, Гилберт (2016). Введение в линейную алгебру (пятое изд.). Уэллсли, Массачусетс: Wellesley-Cambridge Press. с. 128, 168. ISBN 978-0-9802327-7-6 Полем OCLC 956503593 .
^ Антон (1987 , стр. 179)
^ Антон (1987 , стр. 183)
^ Beaugegard & Faleigh (1973 , P. 254)
^ В этом вычислении используется Гаусса-Джордан алгоритм снижения строк . Каждый из показанных шагов включает в себя несколько элементарных операций строк.
^ Столбцы без опорных представляют свободные переменные в соответствующей однородной системе линейных уравнений .
^ Важно, только если $k$ не коммутативен . На самом деле, эта форма - просто продукт $A C$ матрицы $A$ к вектору столбца $C$ от $k не$ где порядок факторов сохранился , в отличие от формулы выше .
^ Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} Пример действителен по реальным числам , рациональным числам и другим численным полям . Это не обязательно правильно поля и кольца с ненулевой характеристикой .

Дальнейшее чтение

Антон, Ховард (1987), элементарная линейная алгебра (5 -е изд.), Нью -Йорк: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
Axler, Sheldon Jay (1997), Линейная алгебра, сделанная справа (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
Банерджи, Судипто; Рой, Аниндья (6 июня 2014 г.), Анализ линейной алгебры и матрицы для статистики (1 -е изд.), CRC Press, ISBN 978-1-42-009538-8
Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), первый курс по линейной алгебре: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-х
Лей, Дэвид С. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3 -е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 978-0-321-28713-7
Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7 -е изд.), Pearson Prentice Hall
Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Анализ матрикса и прикладная линейная алгебра , Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8 , архивировано с оригинала 1 марта 2001 года
Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: современное введение (2 -е изд.), Брукс/Коул, ISBN 0-534-99845-3
Стронг, Гилберт (19 июля 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (4 -е изд.), Брукс Коул, ISBN 978-0-03-010567-8

Внешние ссылки

[ReferenceA-1] Линейная алгебра, как обсуждалось в этой статье, представляет собой очень хорошо известную математическую дисциплину, для которой есть много источников. Почти весь материал в этой статье можно найти в Lay 2005, Meyer 2001 и Strang 2005.

[2] Странг, Гилберт (2016). Введение в линейную алгебру (пятое изд.). Уэллсли, Массачусетс: Wellesley-Cambridge Press. с. 128, 168. ISBN 978-0-9802327-7-6 Полем OCLC 956503593 .

[3] Антон (1987 , стр. 179)

[4] Антон (1987 , стр. 183)

[5] Beaugegard & Faleigh (1973 , P. 254)

[6] В этом вычислении используется Гаусса-Джордан алгоритм снижения строк . Каждый из показанных шагов включает в себя несколько элементарных операций строк.

[7] Столбцы без опорных представляют свободные переменные в соответствующей однородной системе линейных уравнений .

[8] Важно, только если $k$ не коммутативен . На самом деле, эта форма - просто продукт $A C$ матрицы $A$ к вектору столбца $C$ от $k не$ где порядок факторов сохранился , в отличие от формулы выше .

[example-9] Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} Пример действителен по реальным числам , рациональным числам и другим численным полям . Это не обязательно правильно поля и кольца с ненулевой характеристикой .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

v Т и Линейная алгебра
Контур Глоссарий
Основные понятия	Скаляр Вектор Векторное пространство Скалярное умножение Векторная проекция Линейный пролет Линейная карта Линейная проекция Линейная независимость Линейная комбинация Многолинейная карта Основа Смена основания Векторы строк и столбцов Строки и столбцы Ядро Собственные значения и собственные векторы Транспонировать Линейные уравнения
Матрицы	Блокировать Разложение Обратимый Незначительный Умножение Классифицировать Трансформация Правило Крамера Гауссовое устранение
Билинеар	Ортогональность Точечный продукт Хадамард продукт Внутреннее пространство продукта Внешний продукт Продукт Кронекера Грамм -шмидт процесс
Многолинейная алгебра	Определяющий Кросс -продукт Тройной продукт Семимерный кросс-продукт Геометрическая алгебра Внешняя алгебра Бивертертор Мультиватор Тензор OUtermorphism
Векторные пространства конструкции	Двойной Прямая сумма Функциональное пространство Коэффициент Подпространство Тенсорный продукт
Числовой	С плавающей точкой Численная стабильность Основные линейные алгебры подпрограммы Разреженная матрица Сравнение библиотек линейной алгебры
Категория