Отсталый потенциал

В электродинамике замедленные потенциалы являются электромагнитными потенциалами для электромагнитного поля, генерируемого изменяющимся во времени электрического тока или распределения заряда в прошлом. Поля распространяются со скоростью света C , поэтому задержка полей, соединяющих причину и следствие в более ранние и более поздние времена, является важным фактором: сигнал требует конечного времени для распространения из точки в распределении заряда или тока (точка причины) к другой точке в пространстве (где измеряется эффект) см. Рисунок ниже.

В калипе Лоренца

Основные статьи: уравнения Максвелла и математические описания электромагнитного поля

Векторы положения r и r ', используемые в расчете

Отправной точкой являются уравнения Максвелла в потенциальной формулировке с использованием датчика Лоренца :

$\Box \varphi ={\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}\,,\quad \Box \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J}$

где φ ( r , t ) является электрическим потенциалом , а A ( r , t ) - магнитный векторный потенциал , для произвольного источника плотности заряда ρ ( r , t ) и плотности тока J ( r , t ) и $\Box$ это оператор D'Alembert . Решение их дает замедленные потенциалы ниже (все в единицах Si ).

Для зависимых от времени полей

Для зависимых от времени полей отсталых потенциалов:

$\mathrm {\varphi } (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '$

$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.$

где r - это точка в космосе, t - время,

$t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}$

Забавно время , и D ³ R ' - это мера интеграции с использованием R' .

Из φ ( r , t) и a ( r , t ) поля E ( r , t ) и B ( r , t ) могут быть рассчитаны с использованием определений потенциалов:

$-\mathbf {E} =\nabla \varphi +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,.$

И это приводит к уравнениям Джефименко . Соответствующие продвинутые потенциалы имеют идентичную форму, за исключением усовершенствованного времени

$t_{a}=t+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}$

Заменяет замедление времени.

По сравнению со статическими потенциалами для независимых от времени полей

В случае поля зависят от времени ( электростатические и магнитостатические поля), временные производные в $\Box$ операторы полей равны нулю, а уравнения Максвелла уменьшаются до

$\nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}\,,\quad \nabla ^{2}\mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} \,,$

где ∇ ² это лапласиан , который принимает форму уравнения Пуассона в четырех компонентах (один для φ и три для а ), а решения:

$\mathrm {\varphi } (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '$

$\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.$

Они также следуют непосредственно из отсталых потенциалов.

В кулоновском манометре

В кулоновском датчике уравнения Максвелла

$\nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

$\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} +{\dfrac {1}{c^{2}}}\nabla \left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)\,,$

Хотя решения контрастируют выше, так как A является замедлительным потенциалом, но φ мгновенно изменяется , дано:

$\varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '$

$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\nabla \times \int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r'} \int _{0}^{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|/c}\mathrm {d} t_{r}{\dfrac {t_{r}\mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t-t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\,.$

и недостаток кулоновского манометра Это дает . преимущество Однако при условии, что мы требуем, чтобы потенциалы исчезали при бесконечности, они могут быть выражены аккуратно с точки зрения областей:

$\varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '$

$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '$

В линеаризованной гравитации

Забавный потенциал в линеаризованной общей теории относительности тесно аналогичен электромагнитному случаю. Тенсор с обновлением трассировки ${\textstyle {\tilde {h}}_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }h}$ играет роль четырех-векторного потенциала, гармонического датчика ${\tilde {h}}^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0$ заменяет электромагнитный датчик Лоренца, уравнения поля $\Box {\tilde {h}}_{\mu \nu }=-16\pi GT_{\mu \nu }$, и решение задержки $${\tilde {h}}_{\mu \nu }(\mathbf {r} ,t)=4G\int {\frac {T_{\mu \nu }(\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '.$$ Используя единицы Si, выражение должно быть разделено на $c^{4}$, как можно подтвердить путем размерного анализа.

Появление и применение

Теория многих тел, которая включает в себя среднее значение замедленного и усовершенствованного потенциала Лиенарда-Вихерта, -это теория поглотителя Уилера-Фейнман, также известная как составляющая временной теории Уилера-Фейнман.

Пример

Потенциал заряда с равномерной скоростью на прямой линии имеет инверсию в точке , которая находится в недавней позиции. Потенциал не изменяется в направлении движения.

Смотрите также

• Уравнения Максвелла
• Потенциальный потенциал
• Закон Ленца