Лемма Котлара – Штейна

Лемма Котлара –Стейна о почти ортогональности — математическая лемма в области функционального анализа . Его можно использовать для получения информации об операторной норме оператора , действующего из одного гильбертова пространства в другое, когда оператор можно разложить на почти ортогональные части.

Исходная версия этой леммы (для самосопряженных и взаимно коммутирующих операторов) была доказана Мишей Котларом в 1955 году. и позволило ему прийти к выводу, что преобразование Гильберта является непрерывным линейным оператором в $L^{2}$ без использования преобразования Фурье . Более общую версию доказал Элиас Штейн .

Утверждение леммы

Позволять $E,\,F$ быть двумя гильбертовыми пространствами . Рассмотрим семейство операторов $T_{j}$, $j\geq 1$, с каждым $T_{j}$ ограниченный линейный оператор из $E$ к $F$.

Обозначим

$a_{jk}=\Vert T_{j}T_{k}^{\ast }\Vert ,\qquad b_{jk}=\Vert T_{j}^{\ast }T_{k}\Vert .$

Семья операторов $T_{j}:\;E\to F$, $j\geq 1,$ почти ортогонально, если

$A=\sup _{j}\sum _{k}{\sqrt {a_{jk}}}<\infty ,\qquad B=\sup _{j}\sum _{k}{\sqrt {b_{jk}}}<\infty .$

Лемма Котлара–Стейна утверждает, что если $T_{j}$ почти ортогональны, то ряд $\sum _{j}T_{j}$ сходится в сильной операторной топологии и

$\Vert \sum _{j}T_{j}\Vert \leq {\sqrt {AB}}.$

Доказательство

Если $T_{1},\ldots ,T_{n}$ — конечный набор ограниченных операторов, то

$\displaystyle {\sum _{i,j}|(T_{i}v,T_{j}v)|\leq \left(\max _{i}\sum _{j}\|T_{i}^{*}T_{j}\|^{1 \over 2}\right)\left(\max _{i}\sum _{j}\|T_{i}T_{j}^{*}\|^{1 \over 2}\right)\|v\|^{2}.}$

Итак, по условиям леммы

$\displaystyle {\sum _{i,j}|(T_{i}v,T_{j}v)|\leq AB\|v\|^{2}.}$

Отсюда следует, что

$\displaystyle {\|\sum _{i=1}^{n}T_{i}v\|^{2}\leq AB\|v\|^{2},}$

и это

$\displaystyle {\|\sum _{i=m}^{n}T_{i}v\|^{2}\leq \sum _{i,j\geq m}|(T_{i}v,T_{j}v)|.}$

Следовательно, частичные суммы

$\displaystyle {s_{n}=\sum _{i=1}^{n}T_{i}v}$

образуют последовательность Коши .

Таким образом, сумма абсолютно сходится с пределом, удовлетворяющим указанному неравенству.

Для доказательства приведенного выше неравенства положим

$\displaystyle {R=\sum a_{ij}T_{i}^{*}T_{j}}$

с | эй _​ | ≤ 1 выбрано так, что

$\displaystyle {(Rv,v)=|(Rv,v)|=\sum |(T_{i}v,T_{j}v)|.}$

Затем

$\displaystyle {\|R\|^{2m}=\|(R^{*}R)^{m}\|\leq \sum \|T_{i_{1}}^{*}T_{i_{2}}T_{i_{3}}^{*}T_{i_{4}}\cdots T_{i_{2m}}\|\leq \sum \left(\|T_{i_{1}}^{*}\|\|T_{i_{1}}^{*}T_{i_{2}}\|\|T_{i_{2}}T_{i_{3}}^{*}\|\cdots \|T_{i_{2m-1}}^{*}T_{i_{2m}}\|\|T_{i_{2m}}\|\right)^{1 \over 2}.}$

Следовательно

$\displaystyle {\|R\|^{2m}\leq n\cdot \max \|T_{i}\|\left(\max _{i}\sum _{j}\|T_{i}^{*}T_{j}\|^{1 \over 2}\right)^{2m}\left(\max _{i}\sum _{j}\|T_{i}T_{j}^{*}\|^{1 \over 2}\right)^{2m-1}.}$

Взяв корни 2 m -й степени и устремив m к ∞,

$\displaystyle {\|R\|\leq \left(\max _{i}\sum _{j}\|T_{i}^{*}T_{j}\|^{1 \over 2}\right)\left(\max _{i}\sum _{j}\|T_{i}T_{j}^{*}\|^{1 \over 2}\right),}$

откуда сразу следует неравенство.

Обобщение

Лемма Котлара-Стейна обобщена, суммы заменены интегралами. Пусть X — локально компактное пространство и µ — мера на X. борелевская Пусть T ( x ) — отображение X в ограниченные операторы из E в F , равномерно ограниченное и непрерывное в топологии сильных операторов. Если

$\displaystyle {A=\sup _{x}\int _{X}\|T(x)^{*}T(y)\|^{1 \over 2}\,d\mu (y),\,\,\,B=\sup _{x}\int _{X}\|T(y)T(x)^{*}\|^{1 \over 2}\,d\mu (y),}$

конечны, то функция T ( x ) v интегрируема для каждого v из E с условием

$\displaystyle {\|\int _{X}T(x)v\,d\mu (x)\|\leq {\sqrt {AB}}\cdot \|v\|.}$

Результат можно доказать, заменив суммы интегралами в предыдущем доказательстве или используя суммы Римана для аппроксимации интегралов.

Пример

Вот пример ортогонального семейства операторов. Рассмотрим бесконечномерные матрицы.

$T=\left[{\begin{array}{cccc}1&0&0&\vdots \\0&1&0&\vdots \\0&0&1&\vdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\ddots \end{array}}\right]$

а также

$\qquad T_{1}=\left[{\begin{array}{cccc}1&0&0&\vdots \\0&0&0&\vdots \\0&0&0&\vdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\ddots \end{array}}\right],\qquad T_{2}=\left[{\begin{array}{cccc}0&0&0&\vdots \\0&1&0&\vdots \\0&0&0&\vdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\ddots \end{array}}\right],\qquad T_{3}=\left[{\begin{array}{cccc}0&0&0&\vdots \\0&0&0&\vdots \\0&0&1&\vdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\ddots \end{array}}\right],\qquad \dots .$

Затем $\Vert T_{j}\Vert =1$ для каждого $j$, отсюда и ряд $\sum _{j\in \mathbb {N} }T_{j}$ не сходится в равномерной операторной топологии .

Тем не менее, поскольку $\Vert T_{j}T_{k}^{\ast }\Vert =0$ и $\Vert T_{j}^{\ast }T_{k}\Vert =0$ для $j\neq k$, лемма Котлара – Штейна о почти ортогональности говорит нам, что

$T=\sum _{j\in \mathbb {N} }T_{j}$

сходится в сильной операторной топологии и ограничена единицей.

Ссылки

• Котлар, Миша (1955), «Комбинаторное неравенство и его применение к L ² пространства», Матем. Куяна , 1 :41–55.
• Хёрмандер, Ларс (1994), Анализ операторов с частными производными III: Псевдодифференциальные операторы (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 165–166, ISBN  978-3-540-49937-4
• Кнапп, Энтони В.; Штейн, Элиас (1971), «Операторы переплетения для полупростых групп Ли», Ann. Математика. , 93 : 489–579, номер документа : 10.2307/1970887 , JSTOR   1970887.
• Стейн, Элиас (1993), Гармонический анализ: методы действительных переменных, ортогональность и осциллирующие интегралы , Princeton University Press, ISBN  0-691-03216-5