Топологии операторов

В математической области функционального анализа существует несколько стандартных топологий заданных алгебре $B(X)$ ограниченных линейных операторов в банаховом пространстве $X.$ ,

Введение

Позволять $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ — последовательность линейных операторов в банаховом пространстве $X$ . Рассмотрим утверждение, что $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ сходится к некоторому оператору $T$ на $X$ . Это может иметь несколько разных значений:

Если $\|T_{n}-T\|\to 0$ , то есть операторная норма $T_{n}-T$ (верхняя граница $\|T_{n}x-Tx\|_{X}$ , где $x$ пробегает единичный шар в $X$ ), сходится к 0, мы говорим, что $T_{n}\to T$ в единой операторной топологии .
Если $T_{n}x\to Tx$ для всех $x\in X$ , тогда мы говорим $T_{n}\to T$ в топологии сильного оператора .
Наконец, предположим, что для всех $x \in X$ имеем $T_{n}x\to Tx$ в топологии X $.$ слабой Это означает, что $F(T_{n}x)\to F(Tx)$ для всех непрерывных линейных функционалов $F$ на $X$ . В этом случае мы говорим, что $T_{n}\to T$ в слабой операторной топологии .

Список топологий на B( H )

Схема отношений между топологиями в пространстве $B(X)$ ограниченных операторов

можно определить множество топологий $на B(X)$ Помимо использованных выше, ; большинство из них сначала определяются только тогда, когда $X = H$ является гильбертовым пространством, хотя во многих случаях существуют соответствующие обобщения. Все перечисленные ниже топологии локально выпуклы, что означает, что они определяются семейством полунорм .

В анализе топологию называют сильной, если она имеет много открытых множеств, и слабой, если открытых множеств мало, так что соответствующие способы сходимости являются соответственно сильными и слабыми. (В собственно топологии эти термины могут иметь противоположное значение, поэтому сильный и слабый заменяются соответственно тонким и грубым.) Диаграмма справа представляет собой сводку отношений со стрелками, указывающими от сильного к слабому.

Если $H$ — гильбертово пространство, линейное пространство гильбертова пространства операторов $B(X)$ имеет (единственный) предуальный $B(H)_{*}$ , состоящий из операторов ядерного класса, двойственным которому является $B(X)$ . Полунорма $p w (x)$ для w, положительного в предуальном, определяется как $B(ш, х * х) 1/2$ .

Если $B$ — векторное пространство линейных отображений на векторном пространстве $A$ , то $σ(A, B)$ определяется как самая слабая топология на $A$ такая, что все элементы $B$ непрерывны.

Нормальная топология , или равномерная топология , или равномерная операторная топология определяется обычной нормой || х || на $B(H)$ . Она сильнее всех остальных топологий, представленных ниже.
Слабая топология (банахово пространство) — это $σ(B(H), B(H) *)$ , другими словами, слабейшая топология такая, что все элементы двойственной $B(H) *$ являются непрерывными. Это слабая топология банахова пространства $B(H)$ . Она сильнее, чем топологии сверхслабых и слабых операторов. (Предупреждение: слабую топологию банахового пространства, слабую операторную топологию и сверхслабую топологию иногда называют слабой топологией, но они разные.)
Топология Макки или топология Аренса-Макки — это сильнейшая локально выпуклая топология на $B(H),$ такая, что двойственная топология есть $B(H) *$ , а также топология равномерной сходимости на $Bσ(B(H) *$ , $B(H)$ -компактные выпуклые подмножества $B(H) *$ Это сильнее всех топологий ниже.
σ -сильный- ^* топология или сверхсильная ^* топология — это слабейшая топология, более сильная, чем сверхсильная топология, такая, что присоединенное отображение непрерывно. Он определяется семейством полунорм $p w (x)$ и $p w (x *)$ для положительных элементов $w$ из $B(H) *$ . Она сильнее всех приведенных ниже топологий.
σ -строгая топология , или ультрасильная топология , или сильнейшая топология , или сильнейшая операторная топология определяется семейством полунорм $p w (x)$ для положительных элементов $w$ из $B(H) *$ . Она сильнее всех приведенных ниже топологий, кроме сильной ^* топология. Предупреждение: несмотря на название «самая сильная топология», она слабее стандартной топологии.)
σ -слабая топология или сверхслабая топология или слабо- ^* операторная топология , или слабая топология , или слабая топология , или $топология σ(B(H), B(H) *$ ) определяется семейством полунорм |( w , x )| для элементов w из $B(H) *$ . Она сильнее, чем топология слабого оператора. (Предупреждение: слабую топологию банахового пространства, слабую операторную топологию и сверхслабую топологию иногда называют слабой топологией, но они разные.)
Сильный-  ^* операторная топология или строгая ^* топология определяется полунормами || Икс ( час )|| и || х ^*( час )|| для $h \in H$ . Это сильнее, чем сильные и слабые операторные топологии.
Сильная операторная топология (SOT) или сильная топология определяется полунормами || Икс ( час )|| для $h \in H$ . Она сильнее, чем топология слабого оператора.
Слабая операторная топология (WOT) или слабая топология определяется полунормами |( x ( h ₁ ), h ₂ )| для $час 1, час 2 \in ЧАС$ . (Предупреждение: слабую топологию банахового пространства, слабую операторную топологию и сверхслабую топологию иногда называют слабой топологией, но они разные.)

Отношения между топологиями

Непрерывные линейные функционалы на $B(H)$ для слабого, сильного и сильного ^* (операторные) топологии одинаковы и представляют собой конечные линейные комбинации линейных функционалов ( Икс час ₁ , час ₂ ) для $час 1, час 2 \in ЧАС$ . Непрерывные линейные функционалы на $B(H)$ для сверхслабых, сверхсильных, сверхсильных ^* и топологии Аренса-Макки одинаковы и являются элементами предуала $B(H) *$ .

По определению, непрерывные линейные функционалы в топологии нормы такие же, как и в топологии слабого банахового пространства. Этот дуал представляет собой довольно большое пространство со множеством патологических элементов.

На ограниченных по норме множествах $B(H)$ слабая (операторная) и ультраслабая топологии совпадают. В этом можно убедиться, например, с помощью теоремы Банаха–Алаоглу . По сути, по той же причине сверхсильный топология аналогична сильной топологии на любом (нормально) ограниченном подмножестве $B(H)$ . То же самое верно и для топологии Аренса-Макки, сверхсильной ^*, и сильный ^* топология.

В локально-выпуклых пространствах замыкание выпуклых множеств можно охарактеризовать непрерывными линейными функционалами. Следовательно, для выпуклого подмножества $K$ в $B(H)$ условия $замкнутости K$ в сверхсильном ^*, сверхсильная и сверхслабая топологии эквивалентны, а также эквивалентны условиям, для всех $r > 0$ K $имеет$ замкнутое пересечение с замкнутым шаром радиуса $r$ в сильном ^*, сильная или слабая (операторная) топологии.

Нормальная топология метризуема, а остальные нет; на самом деле они не могут быть счетными по началу . Однако, когда $H$ сепарабельна, все приведенные выше топологии метризуемы, если они ограничены единичным шаром (или любым подмножеством, ограниченным по норме).

Топология для использования

Наиболее часто используемые топологии — это нормальная, сильная и слабая топологии операторов. Топология слабого оператора полезна для аргументов в пользу компактности, поскольку единичный шар компактен по теореме Банаха – Алаоглу . Нормальная топология является фундаментальной, поскольку она превращает $B(H)$ в банахово пространство, но она слишком сильна для многих целей; например, $B(H)$ не сепарабельна в этой топологии. Топология сильного оператора может быть наиболее часто используемой.

Сверхслабые и сверхсильные топологии ведут себя лучше, чем топологии слабых и сильных операторов, но их определения более сложны, поэтому их обычно не используют, если их лучшие свойства действительно не нужны. Например, двойственное пространство к $B(H)$ в топологии слабого или сильного оператора слишком мало, чтобы иметь большое аналитическое содержание.

Сопряженное отображение не является непрерывным в сильной операторной и сверхсильной топологии, тогда как сильная* и сверхсильная* топологии являются модификациями, так что сопряженное становится непрерывным. Их используют не очень часто.

Топология Аренса–Макки и топология слабого банахового пространства используются относительно редко.

Подводя итог, можно сказать, что тремя основными топологиями на $B(H)$ являются нормальная, сверхсильная и сверхслабая топологии. Топологии слабых и сильных операторов широко используются как удобные аппроксимации сверхслабых и сверхсильных топологий. Другие топологии относительно неясны.

См. также

Ограниченный оператор - линейное преобразование между топологическими векторными пространствами.
Непрерывный линейный оператор
Гильбертово пространство - тип топологического векторного пространства.
Список топологий - Список конкретных топологий и топологических пространств.
Способы конвергенции - свойство последовательности или ряда.
Норма (математика) – Длина в векторном пространстве.
Топологии на пространствах линейных отображений
Неясная топология
Слабая сходимость (гильбертово пространство) - тип сходимости в гильбертовых пространствах.

Ссылки

Функциональный анализ Рида и Саймона. ISBN 0-12-585050-6
Теория операторных алгебр I М. Такесаки (особенно глава II.2) ISBN 3-540-42248-X

v т и банахового пространства Темы
Types of Banach spaces	Asplund Banach list Banach lattice Grothendieck Hilbert Inner product space Polarization identity (Polynomially) Reflexive Riesz L-semi-inner product (B Strictly Uniformly) convex Uniformly smooth (Injective Projective) Tensor product (of Hilbert spaces)
Banach spaces are:	Barrelled Complete F-space Fréchet tame Locally convex Seminorms/Minkowski functionals Mackey Metrizable Normed norm Quasinormed Stereotype
Function space Topologies	Banach–Mazur compactum Dual Dual space Dual norm Operator Ultraweak Weak polar operator Strong polar operator Ultrastrong Uniform convergence
Linear operators	Adjoint Bilinear form operator sesquilinear (Un)Bounded Closed Compact on Hilbert spaces (Dis)Continuous Densely defined Fredholm kernel operator Hilbert–Schmidt Functionals positive Pseudo-monotone Normal Nuclear Self-adjoint Strictly singular Trace class Transpose Unitary
Operator theory	Banach algebras C-algebras Operator space Spectrum C-algebra radius Spectral theory of ODEs Spectral theorem Polar decomposition Singular value decomposition
Theorems	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Banach–Mazur Banach–Saks Banach–Schauder (open mapping) Banach–Steinhaus (Uniform boundedness) Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Closed graph Closed range Eberlein–Šmulian Freudenthal spectral Gelfand–Mazur Gelfand–Naimark Goldstine Hahn–Banach hyperplane separation Kakutani fixed-point Krein–Milman Lomonosov's invariant subspace Mackey–Arens Mazur's lemma M. Riesz extension Parseval's identity Riesz's lemma Riesz representation Robinson-Ursescu Schauder fixed-point
Analysis	Abstract Wiener space Banach manifold bundle Bochner space Convex series Differentiation in Fréchet spaces Derivatives Fréchet Gateaux functional holomorphic quasi Integrals Bochner Dunford Gelfand–Pettis regulated Paley–Wiener weak Functional calculus Borel continuous holomorphic Measures Lebesgue Projection-valued Vector Weakly / Strongly measurable function
Types of sets	Absolutely convex Absorbing Affine Balanced/Circled Bounded Convex Convex cone (subset) Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx)) Linear cone (subset) Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric Zonotope
Subsets / set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Bounding points Convex hull Extreme point Interior Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Examples	Absolute continuity AC $ba(\Sigma )$ c space Banach coordinate BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Birnbaum–Orlicz Bounded variation BV Bs space Continuous C(K) with K compact Hausdorff Hardy H^p Hilbert H Morrey–Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ^p $\ell ^{\infty }$ L^p $L^{\infty }$ weighted Schwartz $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Segal–Bargmann F Sequence space Sobolev W^k,p Sobolev inequality Triebel–Lizorkin Wiener amalgam $W(X,L^{p})$
Applications	Differential operator Finite element method Mathematical formulation of quantum mechanics Ordinary Differential Equations (ODEs) Validated numerics

v т и гильбертовы пространства
Basic concepts	Adjoint Inner product and L-semi-inner product Hilbert space and Prehilbert space Orthogonal complement Orthonormal basis
Main results	Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Riesz representation
Other results	Hilbert projection theorem Parseval's identity Polarization identity (Parallelogram law)
Maps	Compact operator on Hilbert space Densely defined Hermitian form Hilbert–Schmidt Normal Self-adjoint Sesquilinear form Trace class Unitary
Examples	Cⁿ(K) with K compact & n<∞ Segal–Bargmann F

v т и Двойственность и пространства линейных отображений
Basic concepts	Dual space Dual system Dual topology Duality Operator topologies Polar set Polar topology Topologies on spaces of linear maps
Topologies	Norm topology Dual norm Ultraweak/Weak-* Weak polar operator in Hilbert spaces Mackey Strong dual polar topology operator Ultrastrong
Main results	Banach–Alaoglu Mackey–Arens
Maps	Transpose of a linear map
Subsets	Saturated family Total set
Other concepts	Biorthogonal system

v т и Топологические векторные пространства (ТВП)
Basic concepts	Banach space Completeness Continuous linear operator Linear functional Fréchet space Linear map Locally convex space Metrizability Operator topologies Topological vector space Vector space
Main results	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Closed graph theorem F. Riesz's Hahn–Banach (hyperplane separation Vector-valued Hahn–Banach) Open mapping (Banach–Schauder) Bounded inverse Uniform boundedness (Banach–Steinhaus)
Maps	Bilinear operator form Linear map Almost open Bounded Continuous Closed Compact Densely defined Discontinuous Topological homomorphism Functional Linear Bilinear Sesquilinear Norm Seminorm Sublinear function Transpose
Types of sets	Absolutely convex/disk Absorbing/Radial Affine Balanced/Circled Banach disks Bounding points Bounded Complemented subspace Convex Convex cone (subset) Linear cone (subset) Extreme point Pre-compact/Totally bounded Prevalent/Shy Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric
Set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Convex hull Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Types of TVSs	Asplund B-complete/Ptak Banach (Countably) Barrelled BK-space (Ultra-) Bornological Brauner Complete Convenient (DF)-space Distinguished F-space FK-AK space FK-space Fréchet tame Fréchet Grothendieck Hilbert Infrabarreled Interpolation space K-space LB-space LF-space Locally convex space Mackey (Pseudo)Metrizable Montel Quasibarrelled Quasi-complete Quasinormed (Polynomially Semi-) Reflexive Riesz Schwartz Semi-complete Smith Stereotype (B Strictly Uniformly) convex (Quasi-) Ultrabarrelled Uniformly smooth Webbed With the approximation property
Category