Ядро (линейная алгебра)

В математике ядро , линейного отображения также известное как нулевое пространство или нулевое пространство , представляет собой часть области , которая отображается в нулевой вектор совместной области; ядро всегда является линейным подпространством области. ^[1] То есть, если задано линейное отображение $L : V \to W$ между двумя векторными пространствами $V$ и $W$ , ядро $L$ является векторным пространством всех элементов $v$ из $V$ таких, что $L (v) = 0$ , где $0$ обозначает нулевой вектор в $В$ , ^[2] или более символично: $\ker(L)=\left\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}=L^{-1}(\mathbf {0} ).$

Характеристики

Ядро $L$ является линейным подпространством области $V$ . ^[3]^[2]На линейной карте $L:V\to W,$ два элемента $V$ имеют одинаковый образ в $W$ тогда и только тогда, когда их разница лежит в ядре $L$ , т. е. $L\left(\mathbf {v} _{1}\right)=L\left(\mathbf {v} _{2}\right)\quad {\text{ if and only if }}\quad L\left(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\right)=\mathbf {0} .$

образ $L$ изоморфен Отсюда следует , фактору V по $что$ ядру: $\operatorname {im} (L)\cong V/\ker(L).$ В случае, когда $,$ из V конечномерно этого следует теорема о ранге-нулевости : $\dim(\ker L)+\dim(\operatorname {im} L)=\dim(V).$ где термин ранг относится к размерности изображения $L$ , $\dim(\operatorname {im} L),$ пока нуль относится к размерности ядра $L$ , $\dim(\ker L).$ ^[4] То есть, $\operatorname {Rank} (L)=\dim(\operatorname {im} L)\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {Nullity} (L)=\dim(\ker L),$ так что теорему о ранге-нулевости можно переформулировать как $\operatorname {Rank} (L)+\operatorname {Nullity} (L)=\dim \left(\operatorname {domain} L\right).$

Когда $V$ — пространство внутреннего продукта , фактор $V/\ker(L)$ можно отождествить с дополнением в $V$ ортогональным $\ker(L)$ . Это обобщение линейных операторов пространства строк или кообраза матрицы.

Обобщение на модули

Понятие ядра также имеет смысл для гомоморфизмов модулей , , которые являются обобщениями векторных пространств, где скаляры являются элементами кольца а не поля . Областью отображения является модуль, ядро которого представляет собой подмодуль . Здесь понятия ранга и недействительности не обязательно применимы.

В функциональном анализе

Если $V$ и $W$ — топологические векторные пространства такие, что $W$ конечномерно, то линейный оператор $L : V \to W$ непрерывен тогда и только тогда, когда ядро $L$ является замкнутым подпространством $V$ .

Представление в виде умножения матриц

Рассмотрим линейную карту, представленную в виде $размером m \times n$ матрицы $A$ с коэффициентами в поле $K$ (обычно $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ ), который работает с векторами-столбцами $x$ с $n$ компонентами над $K$ .Ядром этого линейного отображения является множество решений уравнения $A x = 0$ , где $под 0$ понимается нулевой вектор . Размерность ядра A называется нульностью A . В обозначениях построителя множеств , $\operatorname {N} (A)=\operatorname {Null} (A)=\operatorname {ker} (A)=\left\{\mathbf {x} \in K^{n}\mid A\mathbf {x} =\mathbf {0} \right\}.$ Матричное уравнение эквивалентно однородной системе линейных уравнений : $A\mathbf {x} =\mathbf {0} \;\;\Leftrightarrow \;\;{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0{\text{.}}\\\end{alignedat}}$ Таким образом, ядро A такое же, как и набор решений приведенных выше однородных уравнений.

Свойства подпространства

Ядро $размера m \times n$ матрицы $A$ над полем $K$ является линейным подпространством в $K н$ . То есть ядро $A$ , множество $Null(A)$ , имеет следующие три свойства:

$Null(A)$ всегда содержит нулевой вектор , поскольку $A 0 = 0$ .
Если $x \in Null(A)$ и $y \in Null(A)$ , то $x + y \in Null(A)$ . Это следует из дистрибутивности умножения матриц над сложением.
Если $x \in Null(A)$ и $c$ скаляр x $c \in K$ , то $c x \in Null(),$ поскольку $A (c x) = c (A A) = c 0 = 0$ .

Пространство строк матрицы

Произведение A x можно записать через скалярное произведение векторов следующим образом: $A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}}.$

Здесь $a 1, ... , am обозначают$ строки матрицы $A$ . Отсюда следует, что $x$ находится в ядре $A$ тогда и только тогда, когда $x$ ортогонален . (или перпендикулярен) каждому из векторов-строок $A$ (поскольку ортогональность определяется как наличие скалярного произведения, равного 0)

Пространство строк или кообраз матрицы $A$ — это диапазон векторов-строк $A.$ матрицы По приведенным выше рассуждениям ядро $A$ является ортогональным дополнением к пространству строк. То есть вектор $x$ лежит в ядре $A$ тогда и только тогда, когда он перпендикулярен каждому вектору в пространстве строк $A$ .

Размерность пространства строк $A$ называется рангом A A. ядра $A$ называется нульностью а $размерность$ , Эти величины связаны теоремой о ранге – недействительности ^[4] $\operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n.$

Левое пустое пространство

Левое нулевое пространство , или коядро , матрицы $A$ состоит из всех векторов-столбцов $x$ таких, что $x Т А = 0 Т$ , где T обозначает транспонирование матрицы. Левое нулевое пространство $A$ совпадает с ядром $A. Т$ . Левое нулевое пространство $A$ является ортогональным дополнением к пространству столбцов A $и$ двойственно коядру соответствующего линейного преобразования. Ядро, пространство строк, пространство столбцов и левое нулевое пространство $A$ — это четыре фундаментальных подпространства, с матрицей $A.$ связанных

Неоднородные системы линейных уравнений

Ядро также играет роль при решении неоднородной системы линейных уравнений: $A\mathbf {x} =\mathbf {b} \quad {\text{or}}\quad {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}$ Если $u$ и $v$ — два возможных решения приведенного выше уравнения, то $A(\mathbf {u} -\mathbf {v} )=A\mathbf {u} -A\mathbf {v} =\mathbf {b} -\mathbf {b} =\mathbf {0}$ Таким образом, разность любых двух решений уравнения $A x = b$ лежит в ядре $A$ .

Отсюда следует, что любое решение уравнения $A x = b$ можно выразить как сумму фиксированного решения $v$ и произвольного элемента ядра. То есть решение уравнения $A x = b$ равно $\left\{\mathbf {v} +\mathbf {x} \mid A\mathbf {v} =\mathbf {b} \land \mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)\right\},$ Геометрически это говорит о том, что решение, заданное для $A x = b,$ представляет собой сдвиг ядра $A$ на вектор $v$ . См. также альтернативу Фредгольма и плоскую (геометрию) .

Иллюстрация

Ниже приводится простая иллюстрация вычисления ядра матрицы (см. § Вычисление методом исключения Гаусса ниже, где описаны методы, лучше подходящие для более сложных вычислений). Иллюстрация также затрагивает пространство строк и его связь с ядром.

Рассмотрим матрицу $A={\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.$ Ядро этой матрицы состоит из всех векторов $(x, y, z) \in R 3$ для чего ${\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},$ которую можно выразить как однородную систему линейных уравнений, включающую $x$ , $y$ и $z$ : ${\begin{aligned}2x+3y+5z&=0,\\-4x+2y+3z&=0.\end{aligned}}$

Те же линейные уравнения можно записать и в матричной форме: $\left[{\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right].$

Путем исключения Гаусса–Жордана матрицу можно свести к: $\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&1/16&0\\0&1&13/8&0\end{array}}\right].$

Переписав матрицу в форме уравнения, получим: ${\begin{aligned}x&=-{\frac {1}{16}}z\\y&=-{\frac {13}{8}}z.\end{aligned}}$

Элементы ядра могут быть дополнительно выражены в параметрической векторной форме следующим образом: ${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1/16\\-13/8\\1\end{bmatrix}}\quad ({\text{where }}c\in \mathbb {R} )$

Поскольку $c$ — свободная переменная, охватывающая все действительные числа, это можно одинаково хорошо выразить следующим образом: ${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}.$ Ядро $A$ - это в точности набор решений этих уравнений (в данном случае линия , проходящая через начало координат в $R 3$ ). Здесь, поскольку вектор $(-1,-26,16) Т$ составляет основу ядра $A$ . Нульность $A$ равна 1.

Следующие скалярные произведения равны нулю: ${\begin{bmatrix}2&3&5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\quad \mathrm {and} \quad {\begin{bmatrix}-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0,$ который иллюстрирует, что векторы в ядре $A$ ортогональны каждому из векторов-строок $A$ .

Эти два (линейно независимых) вектора-строки охватывают пространство строк $A$ — плоскость, ортогональную вектору $(-1,-26,16). Т$ .

С рангом 2 $A$ , нульностью 1 $A$ и размерностью 3 $A$ мы имеем иллюстрацию теоремы о недействительности ранга.

Примеры

Если $Л : Р м \to Р н$ , то ядро $L$ является множеством решений однородной системы линейных уравнений . Как на рисунке выше, если $L$ — оператор: $L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+3x_{2}+5x_{3},\;-4x_{1}+2x_{2}+3x_{3})$ то ядро $L$ — это множество решений уравнений ${\begin{alignedat}{7}2x_{1}&\;+\;&3x_{2}&\;+\;&5x_{3}&\;=\;&0\\-4x_{1}&\;+\;&2x_{2}&\;+\;&3x_{3}&\;=\;&0\end{alignedat}}$
через $C [0,1]$ Обозначим векторное пространство всех непрерывных вещественнозначных функций на интервале [0,1] и определим $L : C [0,1] \to R$ по правилу $L(f)=f(0.3).$ Тогда ядро $L$ состоит из всех функций $f \in C [0,1]$ , для которых $f (0.3) = 0$ .
Пусть $С \infty (R)$ — векторное пространство всех бесконечно дифференцируемых функций $R \to R$ , и пусть $D : C \infty (р) \to С \infty (R)$ — оператор дифференцирования : $D(f)={\frac {df}{dx}}.$ Тогда ядро $D$ состоит из всех функций из $C \infty (R),$ чьи производные равны нулю, т.е. набор всех постоянных функций .
Пусть $Р \infty$ будет прямым произведением бесконечного числа копий $R$ , и пусть $s : R \infty \to Р \infty$ быть оператором смены $s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ).$ Тогда ядром $s$ является одномерное подпространство, состоящее из всех векторов $(x 1, 0, 0, 0, ...)$ .
Если $V$ — пространство внутреннего произведения , а $W$ — подпространство, ядро ортогональной проекции $V \to W$ является ортогональным дополнением к $W$ в $V$ .

Вычисление методом исключения Гаусса

Базис ядра матрицы может быть вычислен методом исключения Гаусса .

Для этого по $размера m \times n$ матрице $A$ сначала строим дополненную по строкам матрицу ${\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}},$ где $I$ — $n \times n$ единичная матрица размера .

Вычислив ее форму эшелона столбцов методом исключения Гаусса (или любым другим подходящим методом), мы получим матрицу ${\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}.$ Базис ядра $A$ состоит из ненулевых столбцов $C,$ таких, что соответствующий столбец $B$ является нулевым столбцом .

Фактически, вычисление может быть остановлено, как только верхняя матрица примет форму эшелона столбцов: оставшаяся часть вычислений состоит в изменении базиса векторного пространства, порожденного столбцами, верхняя часть которых равна нулю.

Например, предположим, что $A={\begin{bmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}}.$ Затем ${\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.$

Помещение верхней части в форму эшелона столбцов с помощью операций со столбцами на всей матрице дает ${\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&3&-2&8\\0&1&0&-5&1&-4\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&-7&9\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.$

Последние три столбца $B$ являются нулевыми столбцами. Следовательно, три последних вектора $C$ , $\left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\0\\-7\\1\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{array}}\right]$ являются основой ядра $A$ .

Доказательство того, что метод вычисляет ядро: поскольку операции со столбцами соответствуют послеумножению на обратимые матрицы, тот факт, что ${\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}$ сводится к ${\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}$ означает, что существует обратимая матрица $P$ такой, что ${\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}P={\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}},$ с $B$ в форме эшелона столбцов. Таким образом $AP=B$ , $IP=C$ , и $AC=B$ . Вектор-столбец $\mathbf {v}$ принадлежит ядру $A$ (то есть $A\mathbf {v} =\mathbf {0}$ ) тогда и только тогда, когда $B\mathbf {w} =\mathbf {0} ,$ где $\mathbf {w} =P^{-1}\mathbf {v} =C^{-1}\mathbf {v}$ . Как $B$ находится в форме эшелона столбцов, $B\mathbf {w} =\mathbf {0}$ , тогда и только тогда, когда ненулевые записи $\mathbf {w}$ соответствуют нулевым столбцам $B$ . Умножив на $C$ , можно заключить, что это так тогда и только тогда, когда $\mathbf {v} =C\mathbf {w}$ представляет собой линейную комбинацию соответствующих столбцов $C$ .

Численные вычисления

Задача вычисления ядра на компьютере зависит от природы коэффициентов.

Точные коэффициенты

Если коэффициенты матрицы представляют собой точно заданные числа, ступенчатая форма столбцов матрицы может быть вычислена с помощью алгоритма Барейсса более эффективно, чем с помощью исключения Гаусса. Еще эффективнее использовать модульную арифметику и китайскую теорему об остатках , которая сводит задачу к нескольким аналогичным над конечными полями (это позволяет избежать накладных расходов, вызванных нелинейностью вычислительной сложности умножения целых чисел). ^{[ нужна ссылка ]}

Для коэффициентов в конечном поле хорошо работает метод исключения Гаусса, но для больших матриц, которые встречаются в криптографии и вычислениях по базису Грёбнера , известны лучшие алгоритмы, которые имеют примерно ту же вычислительную сложность , но работают быстрее и лучше ведут себя с современным компьютерным оборудованием . ^{[ нужна ссылка ]}

Вычисление с плавающей запятой

Для матриц, элементами которых являются числа с плавающей запятой , проблема вычисления ядра имеет смысл только для матриц, у которых количество строк равно их рангу: из-за ошибок округления матрица с плавающей запятой почти всегда имеет полный ранг. , даже если это аппроксимация матрицы гораздо меньшего ранга. Даже для полноранговой матрицы можно вычислить ее ядро только в том случае, если она хорошо обусловлена , т. е. имеет низкое число обусловленности . ^[5]^{[ нужна ссылка ]}

Даже для хорошо обусловленной матрицы полного ранга метод исключения Гаусса работает неправильно: он вносит ошибки округления, которые слишком велики для получения значимого результата. Поскольку вычисление ядра матрицы является частным случаем решения однородной системы линейных уравнений, ядро может быть вычислено с помощью любого из различных алгоритмов, предназначенных для решения однородных систем. Современным программным обеспечением для этой цели является библиотека Lapack . ^{[ нужна ссылка ]}

См. также

Примечания и ссылки

^ Вайсштейн, Эрик В. «Ядро» . mathworld.wolfram.com . Проверено 9 декабря 2019 г.
^ Jump up to: ^а ^б «Ядро (нулевое пространство) | Блестящая вики по математике и естественным наукам» . блестящий.орг . Проверено 9 декабря 2019 г.
^ Линейная алгебра, как обсуждается в этой статье, — это хорошо зарекомендовавшая себя математическая дисциплина, по которой существует множество источников. Почти весь материал этой статьи можно найти в лэйях Лэя 2005 , Мейера 2001 и лекциях Стрэнга.
^ Jump up to: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о недействительности ранга» . mathworld.wolfram.com . Проверено 9 декабря 2019 г.
^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 29 августа 2017 г. Проверено 14 апреля 2015 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )

Библиография

Экслер, Шелдон Джей (1997), Правильно выполненная линейная алгебра (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0 .
Лэй, Дэвид К. (2005), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 978-0-321-28713-7 .
Мейер, Карл Д. (2001), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8 , заархивировано из оригинала 31 октября 2009 г.
Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: современное введение (2-е изд.), Брукс/Коул, ISBN 0-534-99845-3 .
Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (версия для приложений) (9-е изд.), Wiley International.
Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Пирсон Прентис Холл.
Ланг, Серж (1987). Линейная алгебра . Спрингер. ISBN 9780387964126 .
Трефетен, Ллойд Н.; Бау, Дэвид III (1997), Численная линейная алгебра , SIAM, ISBN 978-0-89871-361-9 .

Внешние ссылки

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Ядро» . mathworld.wolfram.com . Проверено 9 декабря 2019 г.

[:0-2] Jump up to: ^а ^б «Ядро (нулевое пространство) | Блестящая вики по математике и естественным наукам» . блестящий.орг . Проверено 9 декабря 2019 г.

[textbooks-3] Линейная алгебра, как обсуждается в этой статье, — это хорошо зарекомендовавшая себя математическая дисциплина, по которой существует множество источников. Почти весь материал этой статьи можно найти в лэйях Лэя 2005 , Мейера 2001 и лекциях Стрэнга.

[:1-4] Jump up to: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о недействительности ранга» . mathworld.wolfram.com . Проверено 9 декабря 2019 г.

[5] «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 29 августа 2017 г. Проверено 14 апреля 2015 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v т и Линейная алгебра
Контур Глоссарий
Основные понятия	Скаляр Вектор Векторное пространство Скалярное умножение Векторная проекция Линейный пролет Линейная карта Линейная проекция Линейная независимость Линейная комбинация Многолинейная карта Основа Изменение базы Векторы-строки и столбцы Пространства строк и столбцов Ядро Собственные значения и собственные векторы Транспонировать Линейные уравнения
Матрицы	Блокировать Разложение Обратимый Незначительный Умножение Классифицировать Трансформация Правило Крамера Исключение по Гауссу
Билинейный	Ортогональность Скалярное произведение Произведение Адамара Внутреннее пространство продукта Внешний продукт Продукт Кронекера Процесс Грама – Шмидта
Полилинейная алгебра	Определитель Перекрестное произведение Тройной продукт Семимерное векторное произведение Геометрическая алгебра Внешняя алгебра Бивектор Многовекторный Тензор Аутерморфизм
Векторные космические конструкции	Двойной Прямая сумма Функциональное пространство частное Подпространство Тензорное произведение
Числовой	Плавающая точка Численная стабильность Основные подпрограммы линейной алгебры Разреженная матрица Сравнение библиотек линейной алгебры
Категория