Колебания

Недемпфированная система пружина-масса является колебательной системой.

Колебания — это повторяющиеся или периодические изменения, обычно во времени , некоторой меры относительно центрального значения (часто точки равновесия ) или между двумя или более различными состояниями. Знакомые примеры колебаний включают качающийся маятник и переменный ток . Колебания можно использовать в физике для аппроксимации сложных взаимодействий, например, между атомами.

Колебания происходят не только в механических системах, но и в динамических системах практически во всех областях науки: например, биение человеческого сердца (для кровообращения), деловые циклы в экономике , хищник-жертва циклы популяций в экологии , геотермальные гейзеры в геологии , вибрация струн гитары и других струнных инструментов , периодическое возбуждение нервных клеток мозга и периодическое набухание переменных звезд цефеид в астрономии . Термин «вибрация» используется именно для описания механических колебаний.

Колебания, особенно быстрые колебания, могут быть нежелательным явлением в управлении процессами и теории управления (например, в управлении скользящим режимом ), где целью является сходимость к устойчивому состоянию . В этих случаях это называется дребезжанием или хлопаньем, как в случае с дребезгом клапана и хлопаньем маршрута .

Простое гармоническое колебание

Простейшая механическая колебательная система представляет собой груз, прикрепленный к линейной пружине, на которую действуют только вес и натяжение . Такую систему можно аппроксимировать на воздушном столе или поверхности льда. Система находится в равновесном состоянии, когда пружина неподвижна. Если система выведена из равновесия, на массу действует чистая восстанавливающая сила , стремящаяся вернуть ее в равновесие. Однако, перемещая массу обратно в положение равновесия, она приобретает импульс , который заставляет ее двигаться за пределы этого положения, создавая новую восстанавливающую силу в противоположном направлении. Если к системе добавляется постоянная сила , такая как гравитация , точка равновесия смещается. Время, необходимое для возникновения колебаний, часто называют периодом колебаний .

Системы, в которых возвращающая сила, действующая на тело, прямо пропорциональна его смещению, такие как динамика системы пружина-масса, математически описываются простым гармоническим осциллятором , а регулярное периодическое движение известно как простое гармоническое движение . В системе пружина-масса колебания происходят потому, что при статическом равновесном смещении масса обладает кинетической энергией , которая преобразуется в потенциальную энергию, запасаемую в пружине в крайних точках ее пути. Система пружина-масса иллюстрирует некоторые общие черты колебаний, а именно существование равновесия и наличие возвращающей силы, которая становится тем сильнее, чем дальше система отклоняется от равновесия.

В случае системы пружина-масса закон Гука гласит, что восстанавливающая сила пружины равна: $F=-kx$

Используя второй закон Ньютона , можно вывести дифференциальное уравнение: ${\ddot {x}}=-{\frac {k}{m}}x=-\omega ^{2}x,$ где ${\textstyle \omega ={\sqrt {k/m}}}$

Решение этого дифференциального уравнения дает синусоидальную функцию положения: $x(t)=A\cos(\omega t-\delta )$

где $ω$ — частота колебания, $A$ — амплитуда, $δ$ — фазовый сдвиг функции. Они определяются начальными условиями системы. Поскольку косинус колеблется между 1 и -1 бесконечно, наша система пружина-масса будет вечно колебаться между положительной и отрицательной амплитудой без трения.

Двумерные осцилляторы

В двух или трех измерениях гармонические осцилляторы ведут себя аналогично одномерному. Простейшим примером этого является изотропный осциллятор, в котором восстанавливающая сила пропорциональна смещению от равновесия с одинаковой восстановительной постоянной во всех направлениях. ${\vec {F}}=-k{\vec {r}}$

Это дает аналогичное решение, но теперь для каждого направления существуют разные уравнения. ${\begin{aligned}x(t)&=A_{x}\cos(\omega t-\delta _{x}),\\y(t)&=A_{y}\cos(\omega t-\delta _{y}),\\&\;\,\vdots \end{aligned}}$

Анизотропные генераторы

У анизотропных осцилляторов разные направления имеют разные константы восстанавливающих сил. Решение аналогично изотропным осцилляторам, но в каждом направлении используется разная частота. Изменение частот относительно друг друга может дать интересные результаты. Например, если частота в одном направлении вдвое больше, чем в другом, образуется рисунок восьмерки. Если соотношение частот иррационально, движение квазипериодическое . Это движение периодично по каждой оси, но не периодично по r и никогда не повторится. ^[1]

Затухающие колебания

Все реальные колебательные системы термодинамически необратимы . Это означает, что существуют диссипативные процессы, такие как трение или электрическое сопротивление , которые постоянно преобразуют часть энергии, запасенной в генераторе, в тепло в окружающей среде. Это называется демпфированием. Таким образом, колебания имеют тенденцию затухать со временем, если в системе нет какого-либо чистого источника энергии. Простейшее описание этого процесса затухания можно проиллюстрировать на примере затухания колебаний гармонического осциллятора.

Затухающие осцилляторы создаются при введении силы сопротивления, которая зависит от первой производной положения или, в данном случае, скорости. Дифференциальное уравнение, созданное вторым законом Ньютона, добавляет к этой силе сопротивления произвольную константу $b$ . В этом примере предполагается линейная зависимость от скорости. $m{\ddot {x}}+b{\dot {x}}+kx=0$

Это уравнение можно переписать, как и раньше: ${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0,$ где ${\textstyle 2\beta ={\frac {b}{m}}}$ .

Это дает общее решение: $x(t)=e^{-\beta t}\left(C_{1}e^{\omega _{1}t}+C_{2}e^{-\omega _{1}t}\right),$ где ${\textstyle \omega _{1}={\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}$ .

Экспоненциальный член вне скобок представляет собой функцию затухания , а $β$ — коэффициент затухания. Существует 3 категории затухающих генераторов: недостаточно затухающие, где $β < ω 0$ ; сверхзатухающий, где $β > ω 0$ ; и критически затухающий, где $β = ω 0$ .

Ведомые колебания

Кроме того, колебательная система может подвергаться воздействию некоторой внешней силы, например, когда цепь переменного тока подключена к внешнему источнику питания. В этом случае говорят, что колебания вызваны .

Простейшим примером этого является система пружина-масса с синусоидальной движущей силой. ${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=f(t),$ где $f(t)=f_{0}\cos(\omega t+\delta ).$

Это дает решение: $x(t)=A\cos(\omega t-\delta )+A_{tr}\cos(\omega _{1}t-\delta _{tr}),$ где $A={\sqrt {\frac {f_{0}^{2}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+4\beta ^{2}\omega ^{2}}}}$ и $\delta =\tan ^{-1}\left({\frac {2\beta \omega }{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}\right)$

Второй член $x (t)$ является переходным решением дифференциального уравнения. Переходное решение можно найти, используя начальные условия системы.

Некоторые системы могут возбуждаться за счет передачи энергии из окружающей среды. Этот перенос обычно происходит, когда системы погружены в поток жидкости . Например, явление флаттера в аэродинамике возникает, когда сколь угодно малое смещение самолета крыла (от его равновесия) приводит к увеличению угла атаки крыла на поток воздуха и, как следствие, к увеличению коэффициента подъемной силы , что приводит к еще большее смещение. При достаточно больших смещениях жесткость крыла доминирует, обеспечивая восстанавливающую силу, обеспечивающую колебание.

Резонанс

Резонанс возникает в затухающем ведомом генераторе, когда ω = ω ₀ , то есть когда возбуждающая частота равна собственной частоте системы. При этом знаменатель амплитуды минимизируется, что максимизирует амплитуду колебаний.

Связанные колебания

Два маятника с одинаковым периодом, закрепленные на струне, действуют как пара связанных осцилляторов. Колебания чередуются между ними.

Гармонический осциллятор и моделируемые им системы имеют единственную степень свободы . Более сложные системы имеют больше степеней свободы, например две массы и три пружины (каждая масса прикреплена к неподвижным точкам и друг к другу). В таких случаях поведение каждой переменной влияет на поведение других. Это приводит к связи колебаний отдельных степеней свободы. Например, два маятниковых часа (одинаковой частоты), установленные на общей стене, будут стремиться синхронизироваться. Это явление впервые наблюдал Христиан Гюйгенс в 1665 году. ^[2] Кажущееся движение сложных колебаний обычно кажется очень сложным, но более экономичное, вычислительно простое и концептуально более глубокое описание дается путем разделения движения на нормальные моды .

Простейшая форма связанных осцилляторов — это система с тремя пружинами и двумя массами, в которой массы и константы пружин одинаковы. Эта проблема начинается с вывода второго закона Ньютона для обеих масс. ${\begin{cases}m_{1}{\ddot {x}}_{1}=-(k_{1}+k_{2})x_{1}+k_{2}x_{2}\\m_{2}{\ddot {x}}_{2}=k_{2}x_{1}-(k_{2}+k_{3})x_{2}\end{cases}}$

Затем уравнения обобщаются в матричную форму. $F=M{\ddot {x}}=kx,$ где $M={\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}$ , $x={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}$ , и $k={\begin{bmatrix}k_{1}+k_{2}&-k_{2}\\-k_{2}&k_{2}+k_{3}\end{bmatrix}}$

Значения $k$ и $m$ можно подставить в матрицы. ${\begin{aligned}m_{1}=m_{2}=m,\;\;k_{1}=k_{2}=k_{3}=k,\\M={\begin{bmatrix}m&0\\0&m\end{bmatrix}},\;\;k={\begin{bmatrix}2k&-k\\-k&2k\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Теперь эти матрицы можно подключить к общему решению. ^{[ нужны разъяснения ]} ${\begin{aligned}\left(k-M\omega ^{2}\right)a&=0\\{\begin{bmatrix}2k-m\omega ^{2}&-k\\-k&2k-m\omega ^{2}\end{bmatrix}}&=0\end{aligned}}$

Определитель этой матрицы дает квадратное уравнение. ${\begin{aligned}&\left(3k-m\omega ^{2}\right)\left(k-m\omega ^{2}\right)=0\\&\omega _{1}={\sqrt {\frac {k}{m}}},\;\;\omega _{2}={\sqrt {\frac {3k}{m}}}\end{aligned}}$

В зависимости от начальной точки масс эта система имеет две возможные частоты (или их комбинацию). Если массы запускаются со смещением в одном направлении, частота будет равна частоте системы с одной массой, поскольку средняя пружина никогда не растягивается. Если две массы движутся в противоположных направлениях, вторая, более высокая частота является частотой системы. ^[1]

Более частными случаями являются связанные генераторы, в которых энергия чередуется между двумя формами колебаний. Хорошо известен маятник Уилберфорса , в котором колебания чередуются между удлинением вертикальной пружины и вращением объекта на конце этой пружины.

Связанные осцилляторы — это обычное описание двух связанных, но разных явлений. В одном случае оба колебания влияют друг на друга взаимно, что обычно приводит к возникновению одного состояния увлеченных колебаний, где оба колеблются с компромиссной частотой . Другой случай — когда одно внешнее колебание влияет на внутреннее колебание, но не подвергается этому влиянию. В этом случае области синхронизации, известные как « Языки Арнольда» , могут привести к очень сложным явлениям, таким как, например, хаотическая динамика.

Приближение малых колебаний

В физике систему с набором консервативных сил и точкой равновесия можно аппроксимировать как гармонический осциллятор вблизи равновесия. Примером этого является потенциал Леннарда-Джонса , где потенциал определяется выражением: $U(r)=U_{0}\left[\left({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{12}-\left({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{6}\right]$

Тогда находятся точки равновесия функции: ${\begin{aligned}{\frac {dU}{dr}}&=0=U_{0}\left[-12r_{0}^{12}r^{-13}+6r_{0}^{6}r^{-7}\right]\\\Rightarrow r&\approx r_{0}\end{aligned}}$

Затем находится вторая производная, которая используется в качестве эффективной потенциальной константы: ${\begin{aligned}\gamma _{\text{eff}}&=\left.{\frac {d^{2}U}{dr^{2}}}\right|_{r=r_{0}}=U_{0}\left[12(13)r_{0}^{12}r^{-14}-6(7)r_{0}^{6}r^{-8}\right]\\[1ex]&={\frac {114U_{0}}{r^{2}}}\end{aligned}}$

Система будет совершать колебания вблизи точки равновесия. Сила, создающая эти колебания, выводится из приведенной выше эффективной потенциальной константы: $F=-\gamma _{\text{eff}}(r-r_{0})=m_{\text{eff}}{\ddot {r}}$

Это дифференциальное уравнение можно переписать в виде простого гармонического осциллятора: ${\ddot {r}}+{\frac {\gamma _{\text{eff}}}{m_{\text{eff}}}}(r-r_{0})=0$

Таким образом, частота малых колебаний равна: $\omega _{0}={\sqrt {\frac {\gamma _{\text{eff}}}{m_{\text{eff}}}}}={\sqrt {\frac {114U_{0}}{r^{2}m_{\text{eff}}}}}$

Или в общем виде ^[3] $\omega _{0}={\sqrt {\left.{\frac {d^{2}U}{dr^{2}}}\right\vert _{r=r_{0}}}}$

Это приближение можно лучше понять, посмотрев на потенциальную кривую системы. Думая о потенциальной кривой как о холме, на котором, если поместить мяч в любом месте кривой, мяч будет катиться вниз по наклону потенциальной кривой. Это верно из-за связи между потенциальной энергией и силой. ${\frac {dU}{dt}}=-F(r)$

Размышляя о потенциале таким образом, можно увидеть, что в любом локальном минимуме существует «колодец», в котором шар будет катиться вперед и назад (колебаться) между $r_{\text{min}}$ и $r_{\text{max}}$ . Это приближение также полезно для размышлений об орбитах Кеплера .

Непрерывные системы – волны

Когда число степеней свободы становится сколь угодно большим, система приближается к непрерывности ; примеры включают веревку или поверхность водоема . Такие системы имеют (в классическом пределе ) бесконечное число нормальных мод и их колебания происходят в виде волн, способных характерно распространяться.

Математика

Колебания последовательности (показаны синим цветом) — это разница между верхним и нижним пределом последовательности.

Математика колебаний занимается количественной оценкой величины, на которую последовательность или функция имеет тенденцию перемещаться между крайностями. Есть несколько связанных понятий: колебание последовательности действительных чисел , колебание действительной функции в точке и колебание функции на интервале (или открытом множестве ).

Примеры

Механический

Электрический

Электромеханический

Кварцевый генератор

Оптический

Лазер (колебания электромагнитного поля с частотой порядка 10 ¹⁵ Гц)
Генератор Тода или автопульсация (пульсация выходной мощности лазера на частотах 10 ⁴ Гц – 10 ⁶ Гц в переходном режиме)
Квантовый осциллятор может относиться как к оптическому гетеродину , так и к обычной модели в квантовой оптике .

Биологический

Человеческие колебания

Экономические и социальные

Климат и геофизика

Астрофизика

Квантово-механический

Химическая

Вычисление

Генератор клеточных автоматов

См. также

Антирезонанс
Бит (акустика)
БИБО-стабильность
Критическая скорость
Цикл (музыка)
Динамическая система
Сейсмостойкая инженерия
Обратная связь
Преобразование Фурье для вычисления периодичности в равномерно распределенных данных
Частота
Скрытые колебания
Осцилляция Мэддена – Джулиана
Спектральный анализ методом наименьших квадратов для вычисления периодичности в неравномерно расположенных данных
Фазовый шум генератора
Периодическая функция
Фазовый шум
Квазипериодичность
Возвратно-поступательное движение
Резонатор
Ритм
Сезонность
Автоколебания
Генератор сигналов
Сжимание
Странный аттрактор
Структурная стабильность
Настроенный массовый демпфер
Вибрация
Вибратор (механический)

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Тейлор, Джон Р. (2005). Классическая механика . Милл-Вэлли, Калифорния. ISBN 1-891389-22-Х . OCLC 55729992 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Строгац, Стивен (2003). Синхронизация: новая наука о спонтанном порядке . Гиперион Пресс. стр. 106–109. ISBN 0-786-86844-9 .
^ «23.7: Малые колебания» . Свободные тексты по физике . 01.07.2020 . Проверено 21 апреля 2022 г.

Внешние ссылки

СМИ, связанные с колебанием, на Викискладе?
Вибрации – глава из онлайн-учебника

[:0-1] Jump up to: ^а ^б Тейлор, Джон Р. (2005). Классическая механика . Милл-Вэлли, Калифорния. ISBN 1-891389-22-Х . OCLC 55729992 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[2] Строгац, Стивен (2003). Синхронизация: новая наука о спонтанном порядке . Гиперион Пресс. стр. 106–109. ISBN 0-786-86844-9 .

[3] «23.7: Малые колебания» . Свободные тексты по физике . 01.07.2020 . Проверено 21 апреля 2022 г.

[1]

[2]

[3]