Периодическая последовательность

В математике ( периодическая последовательность иногда называемая циклом или орбитой ) — это последовательность , для которой одни и те же члены повторяются снова и снова:

а ₁ , а ₂ , ..., а _р , а ₁ , а ₂ , ..., а _р , а ₁ , а ₂ , ..., а _р , ...

Число p повторяющихся членов называется периодом ( периодом ). ^[1]

Определение

последовательность (Чисто) периодическая (с периодом p ) или p- периодическая последовательность — это последовательность a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... удовлетворяющая

а _{н + р} = а _н

для всех значений n . ^[1]^[2]^[3] Если последовательность рассматривать как функцию , областью определения которой является множество натуральных чисел , то периодическая последовательность — это просто особый тип периодической функции . ^{[ нужна ссылка ]} Наименьшее значение p , при котором периодическая последовательность является p -периодической, называется ее наименьшим периодом. ^[1] или точный период .

Примеры

Любая постоянная функция 1-периодична.

Последовательность $1,2,1,2,1,2\dots$ является периодическим с наименьшим периодом 2.

Последовательность цифр в десятичном разложении 1/7 является периодической с периодом 6:

{\frac {1}{7}}=0.142857\,142857\,142857\,\ldots

В более общем смысле, последовательность цифр в десятичном разложении любого рационального числа в конечном итоге является периодической (см. Ниже). ^[4]

Последовательность степеней −1 является периодической с периодом два:

-1,1,-1,1,-1,1,\ldots

В более общем смысле последовательность степеней любого корня из единицы является периодической. То же самое справедливо и для степеней любого элемента конечного порядка в группе .

Периодической точкой для функции $f : X \to X$ является точка $x$ которой , орбита

x,\,f(x),\,f(f(x)),\,f^{3}(x),\,f^{4}(x),\,\ldots

представляет собой периодическую последовательность. Здесь, $f^{n}(x)$ означает $n$ -кратную композицию , $f$ примененную к $x$ . Периодические точки играют важную роль в теории динамических систем . Каждая функция из конечного множества в себя имеет периодическую точку; Обнаружение цикла — это алгоритмическая задача поиска такой точки.

Личности

Частичные суммы

\sum _{n=1}^{kp+m}a_{n}=k*\sum _{n=1}^{p}a_{n}+\sum _{n=1}^{m}a_{n}

Где k и m<p — натуральные числа.

Частичные продукты

\prod _{n=1}^{kp+m}a_{n}=({\prod _{n=1}^{p}a_{n}})^{k}*\prod _{n=1}^{m}a_{n}

Где k и m<p — натуральные числа.

Периодические последовательности 0, 1

Любую периодическую последовательность можно построить путем поэлементного сложения, вычитания, умножения и деления периодических последовательностей, состоящих из нулей и единиц. Периодические последовательности нуля и единицы можно выразить как суммы тригонометрических функций:

\sum _{k=1}^{1}\cos \left(-\pi {\frac {n(k-1)}{1}}\right)/1=1,1,1,1,1,1,1,1,1,\cdots

\sum _{k=1}^{2}\cos \left(2\pi {\frac {n(k-1)}{2}}\right)/2=0,1,0,1,0,1,0,1,0,\cdots

\sum _{k=1}^{3}\cos \left(2\pi {\frac {n(k-1)}{3}}\right)/3=0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,\cdots

\cdots

\sum _{k=1}^{N}\cos \left(2\pi {\frac {n(k-1)}{N}}\right)/N=0,0,0,\cdots ,1,\cdots \quad {\text{sequence with period }}N

Один из стандартных подходов к доказательству этих тождеств — применить формулу Де Муавра к соответствующему корню из единицы . Такие последовательности являются основополагающими при изучении теории чисел .

Обобщения

Последовательность является в конечном итоге периодической или в конечном итоге периодической. ^[1] если его можно сделать периодическим, исключив из начала некоторое конечное число членов. Эквивалентно последнее условие можно сформулировать как $a_{k+r}=a_{k}$ для некоторого r и достаточно большого k . Например, последовательность цифр в десятичном представлении 1/56 в конечном итоге является периодической:

1 / 56 = 0 . 0 1 7 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 ...

Последовательность является асимптотически периодической , если ее члены приближаются к членам периодической последовательности. То есть последовательность x ₁ , x ₂ , x ₃ , ... является асимптотически периодической, если существует периодическая последовательность a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... для которой

\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}-a_{n}=0.

^[3]

Например, последовательность

1 / 3, 2 / 3, 1 / 4, 3 / 4, 1 / 5, 4 / 5, ...

является асимптотически периодической, поскольку ее члены приближаются к членам периодической последовательности 0, 1, 0, 1, 0, 1, ....

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д «Предельно периодическая последовательность» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
^ Босма, Виб. «Сложность периодических последовательностей» (PDF) . www.math.ru.nl. Проверено 13 августа 2021 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Янглаев, Клара; Шмейдель, Ева (14 ноября 2012 г.). «Периодичность решений неоднородных линейных разностных уравнений» . Достижения в разностных уравнениях . 2012 (1): 195. doi : 10.1186/1687-1847-2012-195 . ISSN 1687-1847 . S2CID 122892501 .
^ Хош, Уильям Л. (1 июня 2018 г.). «Рациональное число» . Британская энциклопедия . Проверено 13 августа 2021 г.

[:0-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д «Предельно периодическая последовательность» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

[2] Босма, Виб. «Сложность периодических последовательностей» (PDF) . www.math.ru.nl. Проверено 13 августа 2021 г.

[:2-3] Перейти обратно: ^а ^б Янглаев, Клара; Шмейдель, Ева (14 ноября 2012 г.). «Периодичность решений неоднородных линейных разностных уравнений» . Достижения в разностных уравнениях . 2012 (1): 195. doi : 10.1186/1687-1847-2012-195 . ISSN 1687-1847 . S2CID 122892501 .

[4] Хош, Уильям Л. (1 июня 2018 г.). «Рациональное число» . Британская энциклопедия . Проверено 13 августа 2021 г.

[1]

[2]

[3]

[4]