Числовая цифра

Десять цифр арабских цифр в порядке их значения.

( Числовая цифра часто сокращается до просто цифры ) или цифра — это одиночный символ, используемый отдельно (например, «1») или в комбинациях (например, «15») для обозначения чисел в позиционной системе счисления. Название «цифра» происходит от того, что десять цифр ( лат. digiti означает пальцы) рук соответствуют десяти символам десятичной системы счисления , то есть десятичной дроби (древнее латинское прилагательное decem, означающее десять). цифры.

Для данной системы счисления с целочисленным основанием количество требуемых различных цифр определяется абсолютным значением основания. Например, десятичная система (основание 10) требует десяти цифр (от 0 до 9), тогда как двоичная система (основание 2) требует двух цифр (0 и 1).

Обзор

В базовой цифровой системе цифра представляет собой последовательность цифр, которая может иметь произвольную длину. Каждая позиция в последовательности имеет значение места , а каждая цифра имеет значение. Значение числа вычисляется путем умножения каждой цифры последовательности на ее разряд и суммирования результатов.

Цифровые значения

Каждая цифра в системе счисления представляет собой целое число. Например, в десятичной системе цифра «1» представляет целое число , а в шестнадцатеричной системе буква «А» представляет число десять . Позиционная система счисления имеет одну уникальную цифру для каждого целого числа от нуля до основания системы счисления, но не включая его.

Таким образом, в позиционной десятичной системе числа от 0 до 9 могут быть выражены с использованием соответствующих цифр от «0» до «9» в крайнем правом положении «единиц». Число 12 может быть выражено цифрой «2» в позиции единиц и цифрой «1» в позиции «десяток» слева от «2», а число 312 может быть выражено тремя цифрами: «3» в позиции «сотни», «1» в позиции «десятки» и «2» в позиции «единицы».

Вычисление значений мест

В десятичной системе счисления используется десятичный разделитель , обычно точка в английском языке или запятая в других европейских языках. для обозначения «места единиц» или «места единиц», который имеет разрядность один. Каждое последующее место слева от этого имеет значение места, равное значению места предыдущей цифры, умноженному на основание . Аналогично, каждая последующая позиция справа от разделителя имеет позиционное значение, равное позиционному значению предыдущей цифры, разделенной на основание. Например, в числе 10,34 (записанном по базе 10 ),

0 находится сразу слева от разделителя, поэтому он находится на месте единиц или единиц и называется цифрой единиц или цифрой единиц ;

1 цифрой слева от единицы находится в разряде десятков и называется десятков ;

3 ; находится справа от единицы, поэтому она находится на десятом месте и называется десятых цифрой

4 цифрой справа от десятого места находится в сотом месте и называется сотых .

Суммарное значение числа составляет 1 десяток, 0 единиц, 3 десятых и 4 сотых. Ноль, который не вносит никакого значения в число, указывает, что 1 стоит в разряде десятков, а не единиц.

Позиционное значение любой цифры в числе может быть задано путем простого расчета, который сам по себе является дополнением к логике систем счисления. Расчет включает умножение данной цифры на основание, возведенное в показатель степени n - 1 , где n представляет собой положение цифры от разделителя; значение n положительное (+), но это только в том случае, если цифра находится слева от разделителя. А справа цифра умножается на основание, поднятое на отрицательный (-) n . Например, в числе 10,34 (записанном по десятичной системе счисления):

1 — это вторая цифра слева от разделителя, поэтому, согласно расчетам, ее значение равно:

$n-1=2-1=1$

$1\times 10^{1}=10$

цифра 4 стоит второй справа от разделителя, поэтому, согласно расчетам, ее значение равно:

$n=-2$

$4\times 10^{-2}={\frac {4}{100}}$

История

Основная статья: История индуистско-арабской системы счисления

Западный арабский	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Восточный арабский	٠	١	٢	٣	٤	٥	٦	٧	٨	٩
персидский	۰	۱	۲	۳	۴	۵	۶	۷	۸	۹
Деванагари	०	१	२	३	४	५	६	७	८	९

Первой настоящей письменной позиционной системой счисления считается индуистско-арабская система счисления . Эта система была создана в VII веке в Индии. но еще не имел своей современной формы, поскольку использование цифры ноль еще не получило широкого распространения. Иногда вместо нуля цифры обозначались точками для обозначения их значения или в качестве заполнителя использовался пробел. Первое широко признанное использование нуля произошло в 876 году. Первоначальные цифры были очень похожи на современные, вплоть до глифов, используемых для обозначения цифр.

Цифры системы счисления майя

К 13 веку западно-арабские цифры были приняты в европейских математических кругах ( Фибоначчи использовал их в своей Liber Abaci ). В общий обиход они начали входить в 15 веке. К концу 20-го века практически все некомпьютеризированные вычисления в мире производились с использованием арабских цифр, которые заменили родные системы счисления в большинстве культур.

Другие исторические системы счисления, использующие цифры

Точный возраст цифр майя неясен, но возможно, что они старше индуистско-арабской системы. Система была двадцатеричной (основание 20), поэтому в ней двадцать цифр. Майя использовали символ ракушки для обозначения нуля. Цифры писались вертикально, единицы располагались внизу. не У майя было эквивалента современного десятичного разделителя , поэтому их система не могла представлять дроби.

Тайская система счисления идентична индуистско-арабской системе счисления, за исключением символов, используемых для обозначения цифр. Использование этих цифр в Таиланде менее распространено , чем раньше, но они по-прежнему используются наряду с арабскими цифрами.

Стержневые цифры, письменная форма счетных палочек, когда-то использовавшаяся китайскими и японскими математиками, представляют собой десятичную позиционную систему, способную представлять не только ноль, но и отрицательные числа. Сами счетные стержни появились еще до появления индуистско-арабской системы счисления. Цифры Сучжоу представляют собой варианты стержневых цифр.

Стержневые цифры (вертикальные)

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
–0	–1	–2	–3	–4	–5	–6	–7	–8	–9

Современные цифровые системы

В информатике

Двоичная шестнадцатеричная ), восьмеричная (по основанию 8) и (по основанию 2 (по основанию 16) системы, широко используемые в информатике , следуют правилам индийско-арабской системы счисления . В двоичной системе используются только цифры «0» и «1», а в восьмеричной системе используются цифры от «0» до «7». Шестнадцатеричная система использует все цифры десятичной системы, а также буквы от «A» до «F», которые представляют числа от 10 до 15 соответственно. Когда используется двоичная система, термин «бит(ы)» обычно используется в качестве альтернативы термину «цифра(ы)», который является разновидностью термина «двоичная цифра».

Необычные системы

тройная системы . и сбалансированная тройная Иногда использовались Обе системы имеют основание 3.

Сбалансированная троичная система необычна тем, что имеет цифровые значения 1, 0 и –1. Оказалось, что сбалансированная тройная система обладает некоторыми полезными свойствами, и эта система использовалась в экспериментальных российских компьютерах «Сетунь» .

Несколько авторов за последние 300 лет отметили возможность позиционной записи , которая представляет собой модифицированное десятичное представление . Приводятся некоторые преимущества использования числовых цифр, представляющих отрицательные значения. В 1840 году Огюстен-Луи Коши выступал за использование знаково-цифрового представления чисел, а в 1928 году Флориан Каджори представил свою коллекцию ссылок на отрицательные цифры . Концепция представления цифр со знаком также была использована в компьютерном дизайне .

Цифры в математике

Несмотря на важную роль цифр в описании чисел, они относительно неважны для современной математики . Тем не менее, существует несколько важных математических концепций, в которых используется представление числа в виде последовательности цифр.

Цифровые корни

Основная статья: Цифровой корень

Цифровой корень — это однозначное число, полученное суммированием цифр данного числа, затем суммированием цифр результата и так далее, пока не будет получено однозначное число.

Выбрасывание девяток

Основная статья: Выбрасывание девяток

Выбрасывание девяток – это процедура проверки арифметики, выполняемая вручную. Чтобы описать это, позвольте $f(x)$ представляют собой цифровой корень $x$, как описано выше. При выбрасывании девяток используется тот факт, что если $A+B=C$, затем $f(f(A)+f(B))=f(C)$. В процессе выбрасывания девяток вычисляются обе части последнего уравнения , и если они не равны, значит, исходное сложение было ошибочным.

Повторы и повторы

Основная статья: Репунит

Повторные единицы — это целые числа, которые представлены только цифрой 1. Например, 1111 (одна тысяча сто одиннадцать) — это повторная единица. Репдигиты - это обобщение повторов; они представляют собой целые числа, представленные повторяющимися экземплярами одной и той же цифры. Например, 333 — это повторная цифра. Простота репунитов представляет интерес для математиков.

Палиндромные числа и числа Лишрела

Основная статья: Палиндромное число

Палиндромные числа — это числа, которые читаются одинаково, если их цифры поменять местами. — Число Лишрела это положительное целое число, которое никогда не дает палиндромного числа при итеративном процессе сложения самого себя с перевернутыми цифрами. Вопрос о том, существуют ли числа Лишрела по основанию 10, является открытой проблемой развлекательной математики ; самый маленький кандидат - 196 .

История древних чисел

Основная статья: История написания древних чисел

Средства счета, особенно использование частей тела (счет на пальцах), безусловно, использовались в доисторические времена, как и сегодня. Существует множество вариаций. Помимо подсчета десяти пальцев, в некоторых культурах учитывались костяшки пальцев, пространство между пальцами рук и ног, а также сами пальцы. Культура оксапмин Новой Гвинеи использует систему из 27 частей верхней части тела для представления чисел.

Для сохранения числовой информации таблички , вырезанные из дерева, кости и камня. с доисторических времен использовались Культуры каменного века, в том числе древние коренные народы Америки , использовали счета для азартных игр, личных услуг и торговых товаров.

Метод сохранения числовой информации в глине был изобретен шумерами между 8000 и 3500 годами до нашей эры. Делалось это с помощью небольших глиняных жетонов различной формы, которые нанизывались на нитку, как бусины. Начиная примерно с 3500 г. до н. э., глиняные жетоны постепенно заменялись цифровыми знаками, отпечатанными круглым стилусом под разными углами на глиняных табличках (первоначально контейнерах для жетонов), которые затем обжигались. Около 3100 г. до н.э. письменные числа отделились от предметов, которые считались, и стали абстрактными цифрами.

Между 2700 и 2000 годами до нашей эры в Шумере круглый стилус постепенно был заменен тростниковым стилусом, который использовался для вдавливания клинописных знаков в глину. Эти клинописные числовые знаки напоминали знаки круглых чисел, которые они заменили, и сохранили аддитивную запись знака, свойственную знакам круглых чисел. Эти системы постепенно сошлись на общей шестидесятеричной системе счисления; это была система разрядов, состоящая всего из двух отпечатанных знаков: вертикального клина и шеврона, которые также могли обозначать дроби. Эта шестидесятеричная система счисления была полностью разработана в начале периода Старой Вавилонии (около 1950 г. до н.э.) и стала стандартной в Вавилонии.

Шестидесятеричные цифры представляли собой смешанную систему счисления , в которой сохранялись чередующиеся основания 10 и 6 в последовательности клинописных вертикальных клиньев и шевронов. К 1950 году до нашей эры это была позиционная система обозначений . Шестидесятеричные цифры стали широко использоваться в торговле, но также использовались в астрономических и других вычислениях. Эта система была экспортирована из Вавилонии и использовалась по всей Месопотамии, а также всеми средиземноморскими народами, которые использовали стандартные вавилонские единицы измерения и счета, включая греков, римлян и египтян. Шестидесятеричная система счисления в вавилонском стиле до сих пор используется в современном обществе для измерения времени (минуты в час) и углов (градусы).

История современных чисел

В Китае армии и продовольствие подсчитывались с использованием модульного подсчета простых чисел . Уникальное количество войск и количество риса представляют собой уникальные комбинации этих показателей. Большим удобством модульной арифметики является то, что ее легко умножать. Это делает использование модульной арифметики для резервов особенно привлекательным. Обычные счетчики довольно сложно умножать и делить. В наше время модульная арифметика иногда используется при цифровой обработке сигналов .

Древнейшей греческой системой была система аттических цифр . но в IV веке до нашей эры стали использовать квазидесятичную алфавитную систему (см. Греческие цифры ). Евреи начали использовать аналогичную систему ( еврейские цифры ), причем самыми старыми известными примерами являются монеты примерно 100 г. до н.э.

Римская империя использовала записи, написанные на воске, папирусе и камне, и примерно следовала греческому обычаю присваивать буквы различным числам. Система римских цифр оставалась широко распространенной в Европе до тех пор, пока позиционное обозначение . в 16 веке не вошло в обиход

Майя , включая расширенные функции , Центральной Америки использовали смешанную систему счисления с основанием 18 и 20, возможно, унаследованную от ольмеков такие как позиционное обозначение и ноль . Они использовали эту систему для выполнения сложных астрономических расчетов, включая высокоточные расчеты продолжительности солнечного года и орбиты Венеры .

Империя инков управляла крупной командной экономикой, используя кипу — бирки, изготовленные путем завязывания цветных волокон. Знания о кодировке узлов и цветов были подавлены испанскими конкистадорами в 16 веке и не сохранились, хотя простые записывающие устройства, подобные кипу, до сих пор используются в Андском регионе.

Некоторые авторитеты полагают, что позиционная арифметика началась с широкого использования счетных палочек в Китае. Самые ранние письменные записи о положении, по-видимому, представляют собой результаты исчисления стержней в Китае около 400 года. Ноль был впервые использован в Индии в 7 веке нашей эры Брахмагуптой .

Современная позиционная арабская система счисления была разработана математиками в Индии и передана мусульманским математикам вместе с астрономическими таблицами, привезенными в Багдад индийским послом около 773 года.

Из Индии процветающая торговля между исламскими султанами и Африкой привела эту концепцию в Каир . Арабские математики расширили эту систему, включив в нее десятичные дроби , а Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми написал об этом важную работу в 9 веке. Современные арабские цифры были завезены в Европу вместе с переводом этого произведения в XII веке в Испании и с « Леонардо Пизанского » Liber Abaci в 1201 году. В Европе полная индийская система с нулем была заимствована у арабов в 12 веке.

Двоичная система (основание 2) была распространена в 17 веке Готфридом Лейбницем . Лейбниц разработал эту концепцию в начале своей карьеры и вернулся к ней, когда просматривал копию « И Цзин» из Китая. Двоичные числа получили широкое распространение в 20 веке благодаря компьютерным приложениям.

Числа в наиболее популярных системах

Западно-арабский	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Асомия (ассамский); Бенгальский	০	১	২	৩	৪	৫	৬	৭	৮	৯
Деванагари	०	१	२	३	४	५	६	७	८	९
Восточно-арабский	٠	١	٢	٣	٤	٥	٦	٧	٨	٩
персидский	٠	١	٢	٣	۴	۵	۶	٧	٨	٩
Гурмухи	੦	੧	੨	੩	੪	੫	੬	੭	੮	੯
Урду
Китайский (каждый день)	〇	один	два	три	Четыре	пять	шесть	Семь	восемь	Девять
Китайский (традиционный)	ноль	один	два	песня	Четыре	Ву	земля	Семь	восемь	Джиу
Китайский (упрощенный)	ноль	один	два	три	Четыре	Ву	земля	Семь	восемь	Джиу
Китайский (Сучжоу)	〇	〡	〢	〣	〤	〥	〦	〧	〨	〩
Геэз (эфиопский)		፩	፪	፫	፬	፭	፮	፯	፰	፱
Гуджарати	૦	૧	૨	૩	૪	૫	૬	૭	૮	૯
Иероглифический египетский		𓏺	𓏻	𓏼	𓏽	𓏾	𓏿	𓐀	𓐁	𓐂
японский (каждый день)	〇	один	два	три	Четыре	пять	шесть	Семь	восемь	Девять
японский (формальный)	ноль	один	2	женьшень	Четыре	пять	шесть	Семь	восемь	Девять
Каннада	೦	೧	೨	೩	೪	೫	೬	೭	೮	೯
Кхмерский (Камбоджа)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
туберкулез	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Лимбо	᥆	᥇	᥈	᥉	᥊	᥋	᥌	᥍	᥎	᥏
малаялам	൦	൧	൨	൩	൪	൫	൬	൭	൮	൯
Монгольский	᠐	᠑	᠒	᠓	᠔	᠕	᠖	᠗	᠘	᠙
бирманский	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Ория	୦	୧	୨	୩	୪	୫	୬	୭	୮	୯
Роман		я	II	III	IV	V	МЫ	VII	VIII	IX
Шан	႐	႑	че	李明	Люди	й	႖	႗	႘	႙
сингальский		𑇡	𑇢	𑇣	𑇤	𑇥	𑇦	𑇧	𑇨	𑇩
тамильский	௦	௧	௨	௩	௪	௫	௬	௭	௮	௯
телугу	౦	౧	౨	౩	౪	౫	౬	౭	౮	౯
тайский	๐	๑	๒	๓	๔	๕	๖	๗	๘	๙
тибетский	༠	༡	༢	༣	༤	༥	༦	༧	༨	༩
Новое или прочитанное	᧐	᧑	᧒	᧓	᧔	᧕	᧖	᧗	᧘	᧙
яванский	꧐	꧑	꧒	꧓	꧔	꧕	꧖	꧗	꧘	꧙

Дополнительные цифры

	1	5	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	500	1000	10000	10 8
китайский (простой)	один	пять	десять	двадцать	тридцать	сорок	Пятьдесят	шестьдесят	семьдесят	восемьдесят	девяносто	сто	пятьсот	тысяча	Десять тысяч	100 миллионов
китайский (сложный)	один	Ву	подобрать	Двадцать	тридцать	Дерьмо	У Ши	Лу Ши	Семь Ши	Восемнадцать	Девять Ши	сто	У Бай	тысяча	Десять тысяч	100 миллионов
Геэз (эфиопский)	፩	፭	፲	፳	፴	፵	፶	፷	፸	፹	፺	፻	፭፻	፲፻	፼	፼፼
Роман	я	V	Х	ХХ	ХХХ	XL	л	ЛХ	ЛХХ	80	ХС	С	Д	М	Х

См. также

• Список систем счисления
• Список тем о системах счисления
• Двоичная цифра
• Шестнадцатеричная цифра
• Естественная единица информации
• Счеты
• Значительные цифры
• Текстовые цифры
• Алфавитная система счисления