Схема While

В вычислительной физике термин схема адвекции относится к классу методов численной дискретизации для решения гиперболических дифференциальных уравнений в части . В так называемых схемах подветренной стороны , как правило , так называемые переменные вверх используются для расчета производных в поле потока. То есть производные оцениваются с использованием набора точек данных, смещенных, чтобы быть более «подветренной» точки запроса в отношении направления потока. Исторически, происхождение методов подветренной стороны можно проследить до работы Куранта , Исааксона и Риса, которые предложили метод CIR. ^{[ 1 ]}

Модель уравнения

Чтобы проиллюстрировать метод, рассмотрите следующее одномерное уравнение линейной адвекции

{\frac {\partial u}{\partial t}}+a{\frac {\partial u}{\partial x}}=0

который описывает волну, распространяющуюся вдоль $x$ -Ка со скоростью $a$ Полем Это уравнение также является математической моделью для одномерной линейной адвекции . Рассмотрим типичную сетку $i$ в домен. В одномерном домене есть только два направления, связанных с точкой $i$ - слева (к негативной бесконечности) и справа (к положительной бесконечности). Если $a$ является положительным, привитое волновое решение уравнения выше распространяется вправо, левая сторона называется стороной с ветром , а правая сторона - сторона по ветру . Точно так же, если $a$ является отрицательным. Решение движущейся волны распространяется влево, левая сторона называется стороной по ветру , а правая сторона - это сторона с ветром . Если схема конечных различий для пространственного производного, $\partial u/\partial x$ Содержит больше очков в стороне подветренной стороны, схема называется схемой с подветренной или просто схемой подветренной стороны .

Схема первого порядка

Моделирование схемы подветренной стороны первого порядка, в которой a = sin ( t ).

Самая простая схема подветренной стороны-это схема первого порядка. Это дано ^{[ 2 ]}

{\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{for}}\quad a>0

( 1 )

{\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{for}}\quad a<0

( 2 )

где $n$ относится к $t$ измерение и $i$ относится к $x$ измерение. (Для сравнения, центральная разница в этом сценарии будет выглядеть как

{\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}}{2\Delta x}}=0,

независимо от признака $a$ .)

Компактная форма

Определение

a^{+}={\text{max}}(a,0)\,,\qquad a^{-}={\text{min}}(a,0)

и

u_{x}^{-}={\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}\,,\qquad u_{x}^{+}={\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}

Два условных уравнения ( 1 ) и ( 2 ) могут быть объединены и записаны в компактной форме как

u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-\Delta t\left[a^{+}u_{x}^{-}+a^{-}u_{x}^{+}\right]

( 3 )

Уравнение (3) является общим способом написания любых схем типа подветренного типа.

Стабильность

Схема подветренной стороны стабильна следующее условие Куранта -Фридрихс -Левии (CFL). , если выполняется ^{[ 3 ]}

Влияние числа Куранта, C на стабильность численной схемы вверх первого порядка.

c=\left|{\frac {a\Delta t}{\Delta x}}\right|\leq 1

и

0\leq a

.

Анализ серии Taylor серии схемы подветренной стороны, обсуждаемая выше, покажет, что она точна первого порядка в пространстве и времени. Модифицированный анализ волнового числа показывает, что схема подветренного ветра первого порядка вводит тяжелую численную диффузию /рассеивание в растворе, где существуют большие градиенты из-за необходимости высоких волновых средств для представления острых градиентов.

Схема подвижного ветра второго порядка

Пространственная точность схемы подветренной стороны первого порядка может быть улучшена, включив 3 точки данных вместо 2, что предлагает более точный трафарет конечных разностей для приближения пространственной производной. Для схемы подветренной стороны второго порядка, $u_{x}^{-}$ становится трехточечной обратной разницей в уравнении ( 3 ) и определяется как

u_{x}^{-}={\frac {3u_{i}^{n}-4u_{i-1}^{n}+u_{i-2}^{n}}{2\Delta x}}

и $u_{x}^{+}$ Является ли разница в 3 пункта, определяется как

u_{x}^{+}={\frac {-u_{i+2}^{n}+4u_{i+1}^{n}-3u_{i}^{n}}{2\Delta x}}

Эта схема менее диффузионная по сравнению с точной схемой первого порядка и называется схемой линейной дифференцировки (LUD) с линейной веткой.

Смотрите также

Ссылки

^ Курант, Ричард; Исааксон, E; Рис, М. (1952). «О решении нелинейных гиперболических дифференциальных уравнений с помощью конечных различий». Коммуникация Чистое приложение. Математика 5 (3): 243..255. doi : 10.1002/cpa.3160050303 .
^ Патанкар, SV (1980). Численная теплопередача и поток жидкости . Тейлор и Фрэнсис . ISBN 978-0-89116-522-4 .
^ Хирш, С. (1990). Численное вычисление внутренних и внешних потоков . Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-0-471-92452-4 .

[1] Курант, Ричард; Исааксон, E; Рис, М. (1952). «О решении нелинейных гиперболических дифференциальных уравнений с помощью конечных различий». Коммуникация Чистое приложение. Математика 5 (3): 243..255. doi : 10.1002/cpa.3160050303 .

[2] Патанкар, SV (1980). Численная теплопередача и поток жидкости . Тейлор и Фрэнсис . ISBN 978-0-89116-522-4 .

[3] Хирш, С. (1990). Численное вычисление внутренних и внешних потоков . Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-0-471-92452-4 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]