Двумерное пространство

Двумерное пространство — это математическое пространство с двумя измерениями , то есть точки имеют две степени свободы : их местоположение может быть локально описано двумя координатами или они могут двигаться в двух независимых направлениях. Общие двумерные пространства часто называют плоскостями или, в более общем смысле, поверхностями .

Евклидово пространство имеет параллельные линии, которые простираются бесконечно, оставаясь при этом равноудаленными. В неевклидовых пространствах прямые, перпендикулярные обходу, либо сходятся, либо расходятся.

Самый простой пример — плоская евклидова плоскость , идеализация плоской поверхности в физическом пространстве, такой как лист бумаги или классная доска. На евклидовой плоскости любые две точки можно соединить единственной прямой, по которой расстояние можно измерить . Пространство плоское, потому что любые две линии, пересекаемые третьей линией, перпендикулярной им обеим, параллельны , то есть они никогда не пересекаются и остаются на одинаковом расстоянии друг от друга.

Двумерные пространства также могут быть искривленными , например сфера и гиперболическая плоскость , достаточно малые части которых выглядят как плоская плоскость, но на которых локально параллельные прямые линии не остаются на равном расстоянии друг от друга, а в конечном итоге сходятся или расходятся. , соответственно. Двумерные пространства с локально евклидовым понятием расстояния, но которые могут иметь неоднородную кривизну , называются римановыми поверхностями . Некоторые поверхности встроены в трехмерное евклидово пространство или какое-то другое окружающее пространство и наследуют от него свою структуру; например, линейчатые поверхности, такие как цилиндр и конус, содержат прямую линию, проходящую через каждую точку, а минимальные поверхности локально минимизируют свою площадь, как это физически происходит с помощью мыльных пленок .

Лоренцевы поверхности локально выглядят как двумерный срез релятивистского пространства-времени с одним пространственным и одним временным измерениями; примерами постоянной кривизны являются плоская лоренцева плоскость (двумерное подпространство пространства Минковского ) и изогнутые плоскости де Ситтера и анти-де Ситтера .

Другие типы математических плоскостей и поверхностей изменяют или уничтожают структуры, определяющие евклидову плоскость. Например, в аффинной плоскости есть понятие параллельных линий, но нет понятия расстояния; однако знаковые области можно осмысленно сравнивать, как и в более общей симплектической поверхности. Проективная плоскость устраняет как расстояние, так и параллельность. В двумерном метрическом пространстве есть некоторое понятие расстояния, но оно не обязательно должно соответствовать евклидовой версии. можно Топологическую поверхность растягивать, скручивать или изгибать без изменения ее основных свойств. Алгебраическая поверхность — это двумерный набор решений системы полиномиальных уравнений .

Некоторые математические пространства имеют дополнительную арифметическую структуру, связанную с их точками. Векторная плоскость — это аффинная плоскость, точки которой, называемые векторами , включают в себя специально назначенный начальный или нулевой вектор. Векторы можно суммировать или масштабировать по числу, а также при необходимости использовать евклидову, лоренцеву или галилееву концепцию расстояния. Комплексная плоскость , гиперболическая числовая плоскость и двойственная числовая плоскость имеют точки, которые сами считаются числами, и их можно складывать и умножать. Поверхность Римана или поверхность Лоренца локально выглядят как комплексная плоскость или гиперболическая числовая плоскость соответственно.

Математические пространства часто определяются или представляются с использованием чисел, а не геометрических аксиом . Одним из наиболее фундаментальных двумерных пространств является вещественное координатное пространство , обозначаемое $\mathbb {R} ^{2},$ состоящая из пар вещественных координат. Иногда пространство представляет собой произвольные величины, а не геометрические позиции, как в пространстве параметров математической модели или пространстве конфигураций физической системы.

В более общем смысле в качестве координат можно использовать другие типы чисел. Комплексная плоскость является двумерной, если считать ее сформированной из координат вещественных чисел, но одномерной с точки зрения координат комплексных чисел . Двумерное комплексное пространство, такое как двумерное комплексное координатное пространство , комплексная проективная плоскость или комплексная поверхность , имеет два комплексных измерения, которые поочередно могут быть представлены с использованием четырех действительных измерений. — Двумерная решетка это бесконечная сетка точек, которую можно представить с помощью целочисленных координат. Некоторые двумерные пространства, такие как конечные плоскости , имеют только конечный набор элементов.

Дальнейшее чтение

• Хартшорн, Робин (2000). Геометрия: Евклид и не только . Спрингер. дои : 10.1007/978-0-387-22676-7 . ISBN  0-387-98650-2 .
• Кинси, Лаура Кристин (1993). Топология поверхностей . Спрингер. дои : 10.1007/978-1-4612-0899-0 . ISBN  0-387-94102-9 .
• Нидэм, Тристан (2021). Визуальная дифференциальная геометрия и формы . Принстон. ISBN  0-691-20370-9 .
• Стиллвелл, Джон (1992). Геометрия поверхностей . Спрингер. дои : 10.1007/978-1-4612-0929-4 . ISBN  0-387-97743-0 .
• Яглом, Исаак Моисеевич (1968) [1963]. Комплексные числа в геометрии . Перевод Примроуза, Eric JF Academic Press. LCCN   66-26269 .