Продукт (математика)

В математике произведение — это результат умножения или выражение , определяющее объекты (числа или переменные ), подлежащие умножению, называемые факторами . Например, 21 — это произведение 3 и 7 (результат умножения), а $x\cdot (2+x)$ является продуктом $x$ и $(2+x)$ (указывая на то, что эти два фактора следует умножить вместе).Когда один множитель является целым числом , произведение называется кратным .

Порядок умножения действительных или комплексных чисел не влияет на результат; это известно как коммутативный закон умножения. Когда умножаются матрицы или члены различных других ассоциативных алгебр , произведение обычно зависит от порядка множителей. Например, умножение матриц некоммутативно, как и умножение в других алгебрах в целом.

В математике существует много разных видов произведений: помимо возможности умножать только числа, полиномы или матрицы, можно также определять произведения для множества различных алгебраических структур .

Произведение двух чисел

Первоначально произведение было и остается результатом умножения двух или более чисел . Например, $15$ — это произведение $3$ и $5$ . Основная теорема арифметики гласит, что каждое составное число является произведением простых чисел , которое уникально с точностью до порядка множителей.

С введением математических обозначений и переменных в конце XV века стало обычным рассматривать умножение чисел, которые либо не указаны ( коэффициенты и параметры ), либо подлежат нахождению ( неизвестные ). Эти умножения, которые невозможно эффективно выполнить, называются произведениями . Например, в линейном уравнении $ax+b=0,$ термин $ax$ обозначает произведение коэффициента $a$ и неизвестное $x.$

Позже, по существу, начиная с 19-го века, были введены новые бинарные операции , которые вообще не связаны с числами и были названы продуктами ; например, скалярное произведение . Большая часть этой статьи посвящена таким нечисловым продуктам.

Продукт последовательности

Оператор произведения для произведения последовательности обозначается заглавной греческой буквой пи Π (по аналогии с использованием заглавной сигмы Σ в качестве символа суммирования ). ^[1] Например, выражение $\textstyle \prod _{i=1}^{6}i^{2}$ это другой способ записи ⁠ $1\cdot 4\cdot 9\cdot 16\cdot 25\cdot 36$ ⁠ . ^[2]

Произведение последовательности, состоящей только из одного числа, и есть само это число; произведение вообще без множителей называется пустым произведением и равно 1.

Коммутативные кольца

Коммутативные кольца имеют операцию произведения.

Классы вычетов целых чисел

Классы вычетов в кольцах $\mathbb {Z} /N\mathbb {Z}$ можно добавить:

(a+N\mathbb {Z} )+(b+N\mathbb {Z} )=a+b+N\mathbb {Z}

и умножается:

(a+N\mathbb {Z} )\cdot (b+N\mathbb {Z} )=a\cdot b+N\mathbb {Z}

Свертка

Две функции из вещественного числа в себя можно перемножить другим способом, называемым сверткой .

Если

\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|\,\mathrm {d} t<\infty \qquad {\mbox{and}}\qquad \int \limits _{-\infty }^{\infty }|g(t)|\,\mathrm {d} t<\infty ,

тогда интеграл

(f*g)(t)\;:=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cdot g(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau

корректно определен и называется сверткой.

При преобразовании Фурье свертка превращается в поточечное умножение функций.

Полиномиальные кольца

Произведение двух полиномов определяется следующим образом:

\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}

с

c_{k}=\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}

Произведения по линейной алгебре

В линейной алгебре существует много разных видов произведений. Некоторые из них имеют схожие до степени смешения имена ( внешний продукт , внешний продукт ) с совершенно разными значениями, в то время как другие имеют совершенно разные названия (внешний продукт, тензорный продукт, продукт Кронекера), но, тем не менее, передают по существу одну и ту же идею. Их краткий обзор представлен в следующих разделах.

Скалярное умножение

По самому определению векторного пространства можно образовать произведение любого скаляра на любой вектор, давая карту $\mathbb {R} \times V\rightarrow V$ .

Скалярное произведение

Скалярное произведение представляет собой билинейное отображение:

\cdot :V\times V\rightarrow \mathbb {R}

со следующими условиями, что $v\cdot v>0$ для всех $0\not =v\in V$ .

Из скалярного произведения можно определить норму , полагая $\|v\|:={\sqrt {v\cdot v}}$ .

Скалярное произведение также позволяет определить угол между двумя векторами:

\cos \angle (v,w)={\frac {v\cdot w}{\|v\|\cdot \|w\|}}

В $n$ В -мерном евклидовом пространстве стандартное скалярное произведение (называемое скалярным произведением ) определяется выражением:

\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\,\beta _{i}

Перекрестное произведение в трехмерном пространстве

Векторное произведение двух векторов в трех измерениях представляет собой вектор, перпендикулярный двум факторам, длина которого равна площади параллелограмма, натянутого на эти два фактора.

Перекрестное произведение также можно выразить как формальное ^[а] определитель :

\mathbf {u\times v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\end{vmatrix}}

Композиция линейных отображений

Линейное отображение можно определить как функцию f между двумя векторными пространствами V и W с базовым полем F , удовлетворяющую условиям ^[3]

f(t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2})=t_{1}f(x_{1})+t_{2}f(x_{2}),\forall x_{1},x_{2}\in V,\forall t_{1},t_{2}\in \mathbb {F} .

Если рассматривать только конечномерные векторные пространства, то

f(\mathbf {v} )=f\left(v_{i}\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)=v_{i}f\left(\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)={f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j},

котором b _V и b _W обозначают основания V и W , vi _{обозначает} компонент а v в на b _V^яи соглашение Эйнштейна о суммировании применяется .

Теперь рассмотрим композицию двух линейных отображений конечномерных векторных пространств. Пусть линейное отображение отображает V в W , а линейное отображение g отображает W в U. f Тогда можно получить

g\circ f(\mathbf {v} )=g\left({f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j}\right)={g^{j}}_{k}{f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{U}} ^{k}.

Или в матричной форме:

g\circ f(\mathbf {v} )=\mathbf {G} \mathbf {F} \mathbf {v} ,

в котором элемент i- строки и j -столбца F , обозначаемый F _ij , равен f ^дж_я и G _ij =g ^дж_я .

Композиция более чем двух линейных отображений аналогичным образом может быть представлена цепочкой умножения матриц.

Произведение двух матриц

Даны две матрицы

A=(a_{i,j})_{i=1\ldots s;j=1\ldots r}\in \mathbb {R} ^{s\times r}

и

B=(b_{j,k})_{j=1\ldots r;k=1\ldots t}\in \mathbb {R} ^{r\times t}

их продукт определяется

B\cdot A=\left(\sum _{j=1}^{r}a_{i,j}\cdot b_{j,k}\right)_{i=1\ldots s;k=1\ldots t}\;\in \mathbb {R} ^{s\times t}

Состав линейных функций как матричного произведения

Существует связь между составом линейных функций и произведением двух матриц. Чтобы убедиться в этом, пусть r = dim(U), s = dim(V) и t = dim(W) — (конечные) размерности векторных пространств U, V и W. Пусть ${\mathcal {U}}=\{u_{1},\ldots ,u_{r}\}$ быть основой U, ${\mathcal {V}}=\{v_{1},\ldots ,v_{s}\}$ быть основой V и ${\mathcal {W}}=\{w_{1},\ldots ,w_{t}\}$ — базис W. В терминах этого базиса пусть $A=M_{\mathcal {V}}^{\mathcal {U}}(f)\in \mathbb {R} ^{s\times r}$ матрица, представляющая f : U → V и $B=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {V}}(g)\in \mathbb {R} ^{r\times t}$ — матрица, представляющая g : V → W. Тогда

B\cdot A=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {U}}(g\circ f)\in \mathbb {R} ^{s\times t}

матрица, представляющая $g\circ f:U\rightarrow W$ .

Другими словами: матричное произведение – это описание в координатах композиции линейных функций.

Тензорное произведение векторных пространств

Учитывая два конечномерных векторных пространства V и W , их тензорное произведение можно определить как (2,0)-тензор, удовлетворяющий:

V\otimes W(v,m)=V(v)W(w),\forall v\in V^{*},\forall w\in W^{*},

где В ^* и Вт ^* обозначают двойственные пространства к V и W . ^[4]

Для бесконечномерных векторных пространств также есть:

Тензорное произведение, внешнее произведение и произведение Кронекера выражают одну и ту же общую идею. Различия между ними заключаются в том, что произведение Кронекера представляет собой просто тензорное произведение матриц относительно заранее фиксированного базиса, тогда как тензорное произведение обычно дается в его внутреннем определении . Внешний продукт — это просто произведение Кронекера, ограниченное векторами (а не матрицами).

Класс всех объектов с тензорным произведением

В общем, всякий раз, когда у вас есть два математических объекта , которые можно объединить таким образом, чтобы вести себя как тензорное произведение линейной алгебры, то в наиболее общем виде это можно понимать как внутренний продукт моноидальной категории . То есть моноидальная категория точно отражает смысл тензорного произведения; он точно отражает представление о том, почему тензорные произведения ведут себя именно так. Точнее, моноидальная категория — это класс всех вещей (данного типа ), имеющих тензорное произведение.

Другие продукты по линейной алгебре

Другие виды продуктов линейной алгебры включают:

Декартово произведение

В теории множеств декартово произведение — это математическая операция , которая возвращает набор (или набор продуктов ) из нескольких наборов. То есть для множеств A и B декартово произведение A × B — это множество всех упорядоченных пар (a, b) , где ∈ A и b ∈ B. a ^[5]

Класс всех вещей (данного типа ), имеющих декартово произведение, называется декартовой категорией . Многие из них являются декартовыми закрытыми категориями . Наборы являются примером таких объектов.

Пустой продукт

Пустое произведение чисел и большинства алгебраических структур имеет значение 1 (единичный элемент умножения), точно так же, как пустая сумма имеет значение 0 (единичный элемент сложения). Однако концепция пустого произведения является более общей и требует специального рассмотрения в логике , теории множеств , компьютерном программировании и теории категорий .

Произведения по другим алгебраическим структурам

Продукты по сравнению с другими видами алгебраических структур включают:

декартово произведение множеств
прямое произведение групп , а также полупрямое произведение , трикотажное изделие и сплетенное произведение.
бесплатный продукт групп
изделие из колец
продукт идеалов
произведение топологических пространств ^[1]
произведение Вика величин случайных
колпачок в , чашка , произведение Мэсси и наклонное произведение алгебраической топологии
смешанное произведение и клиновая сумма (иногда называемая клиновым произведением) в гомотопии

Некоторые из вышеперечисленных продуктов являются примерами общего понятия внутреннего продукта в моноидальной категории ; остальные описываются общим понятием продукта в теории категорий .

Продукты в теории категорий

Все предыдущие примеры являются частными случаями или примерами общего понятия продукта. Для общего рассмотрения понятия продукта см. «Продукт (теория категорий)» , где описывается, как объединить два объекта какого-либо типа для создания объекта, возможно, другого типа. Но также в теории категорий есть:

волокнистый продукт или откат,
категория продукта , категория, которая является продуктом категорий.
ультрапродукт моделей в теории .
внутренний продукт , моноидальной категории отражающий суть тензорного произведения.

Другие продукты

функции Интеграл произведения (как непрерывный эквивалент произведения последовательности или как мультипликативная версия нормального/стандартного/аддитивного интеграла. Интеграл произведения также известен как «непрерывное произведение» или «мультипликативный»).
Комплексное умножение , теория эллиптических кривых.

См. также

Тензорное произведение Делиня абелевых категорий - бельгийский математик.
Неопределенный продукт
Бесконечный продукт
Итерированная бинарная операция – многократное применение операции к последовательности.
Умножение – арифметическая операция

Примечания

^ Здесь «формальный» означает, что это обозначение имеет форму определителя, но не соответствует строго определению; это мнемоника, используемая для запоминания разложения векторного произведения.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Продукт» . mathworld.wolfram.com . Проверено 16 августа 2020 г.
^ «Суммирование и обозначение произведений» . math.illinoisstate.edu . Проверено 16 августа 2020 г.
^ Кларк, Фрэнсис (2013). Функциональный анализ, вариационное исчисление и оптимальное управление . Дордрехт: Спрингер. стр. 9–10. ISBN 978-1447148203 .
^ Бутби, Уильям М. (1986). Введение в дифференцируемые многообразия и риманову геометрию (2-е изд.). Орландо: Академическая пресса. п. 200 . ISBN 0080874398 .
^ Мошовакис, Яннис (2006). Заметки по теории множеств (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. п. 13. ISBN 0387316094 .

Библиография

Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4 . OCLC 8210342 .

[3] Здесь «формальный» означает, что это обозначение имеет форму определителя, но не соответствует строго определению; это мнемоника, используемая для запоминания разложения векторного произведения.

[:0-1] Jump up to: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Продукт» . mathworld.wolfram.com . Проверено 16 августа 2020 г.

[2] «Суммирование и обозначение произведений» . math.illinoisstate.edu . Проверено 16 августа 2020 г.

[4] Кларк, Фрэнсис (2013). Функциональный анализ, вариационное исчисление и оптимальное управление . Дордрехт: Спрингер. стр. 9–10. ISBN 978-1447148203 .

[5] Бутби, Уильям М. (1986). Введение в дифференцируемые многообразия и риманову геометрию (2-е изд.). Орландо: Академическая пресса. п. 200 . ISBN 0080874398 .

[6] Мошовакис, Яннис (2006). Заметки по теории множеств (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. п. 13. ISBN 0387316094 .

[1]

[2]

[а]

[3]

[4]

[5]