Моноидальная категория

В математике ( моноидальная категория или тензорная категория ) — это категория $\mathbf {C}$ оснащен бифунктором

\otimes :\mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C}

который ассоциативен с точностью до , естественного изоморфизма и объект I, который является одновременно левым и правым тождеством для ⊗, опять же с точностью до естественного изоморфизма. Соответствующие естественные изоморфизмы подчиняются определенным условиям связности , которые гарантируют, что все соответствующие диаграммы коммутируют .

Обычное тензорное произведение превращает векторные пространства , абелевы группы , R -модули или R -алгебры в моноидальные категории. Моноидальные категории можно рассматривать как обобщение этих и других примеров. Каждую ( маленькую ) моноидальную категорию можно также рассматривать как « категоризацию » лежащего в основе моноида , а именно моноида, элементы которого являются классами изоморфизма объектов категории и чья бинарная операция задается тензорным произведением категории.

Совсем другое применение, для которого моноидальные категории можно считать абстракцией, — это система типов данных , замкнутая в конструкторе типов , который принимает два типа и создает совокупный тип. Типы служат объектами, а ⊗ — агрегатным конструктором. Тогда ассоциативность с точностью до изоморфизма является способом выражения различных способов агрегирования одних и тех же данных, таких как $((a,b),c)$ и $(a,(b,c))$ — хранить одну и ту же информацию, даже если совокупные значения не обязательно должны быть одинаковыми. Агрегатный тип может быть аналогичен операции сложения (тип сумма) или умножения (тип произведение). Для типа продукта объектом идентификации является единица $()$ , поэтому существует только один обитатель типа, и поэтому произведение с ним всегда изоморфно другому операнду. Для типа sum объектом идентичности является тип void , который не хранит никакой информации и к нему невозможно обратиться к жителю. Концепция моноидальной категории не предполагает, что значения таких агрегатных типов можно разобрать; напротив, она обеспечивает основу, объединяющую классическую и квантовую теорию информации. ^[1]

В теории категорий моноидальные категории могут использоваться для определения понятия моноидного объекта и связанного с ним действия на объекты категории. Они также используются при определении расширенной категории .

Моноидальные категории имеют множество применений за пределами собственно теории категорий. Они используются для определения моделей мультипликативного фрагмента интуиционистской линейной логики . Они также образуют математическую основу топологического порядка в физике конденсированного состояния . Плетеные моноидальные категории находят приложения в квантовой информации , квантовой теории поля и теории струн .

Формальное определение

Моноидальная категория – это категория $\mathbf {C}$ имеют моноидальную конструкцию. Моноидальная структура состоит из:

бифунктор $\otimes \colon \mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C}$ называется моноидальным произведением , ^[2] или тензорное произведение ,
объект $I$ называется моноидальной единицей , ^[2] объект единицы или объект идентификации ,
три естественных изоморфизма, подчиняющихся определенным условиям связности, выражающим тот факт, что тензорная операция:
- ассоциативен: существует естественный (в каждом из трех аргументов) $A$ , $B$ , $C$ ) изоморфизм $\alpha$ , называемый ассоциатором , с компонентами $\alpha _{A,B,C}\colon A\otimes (B\otimes C)\cong (A\otimes B)\otimes C$ ,
- имеет $I$ как левая и правая идентичность: существует два естественных изоморфизма $\lambda$ и $\rho$ , называемые соответственно левым и правым унитором , с компонентами $\lambda _{A}\colon I\otimes A\cong A$ и $\rho _{A}\colon A\otimes I\cong A$ .

Обратите внимание, что хороший способ запомнить, как $\lambda$ и $\rho$ действие осуществляется аллитерацией; Лямбда , $\lambda$ , отменяет тождество слева , а Ро , $\rho$ , отменяет личность справа .

Условиями согласованности этих естественных преобразований являются:

для всех $A$ , $B$ , $C$ и $D$ в $\mathbf {C}$ , пятиугольная диаграмма

ездит на работу ;

для всех $A$ и $B$ в $\mathbf {C}$ , диаграмма треугольника

Это одна из диаграмм, используемых при определении моноидальной категории. Он заботится о случае, когда между двумя объектами существует экземпляр идентичности. — This is one of the diagrams used in the definition of a monoidal cateogory. It takes care of the case for when there is an instance of an identity between two objects.

ездит на работу.

Строгая моноидальная категория — это категория, для которой естественные изоморфизмы α , λ и ρ являются тождествами. Каждая моноидальная категория моноидально эквивалентна строгой моноидальной категории.

Примеры

Любую категорию с конечными продуктами можно рассматривать как моноидальную, где продукт является моноидальным продуктом, а конечный объект — единицей. Такую категорию иногда называют декартовой моноидальной категорией . Например:
- Set , категория множеств с декартовым произведением, единицей измерения которого является любой конкретный одноэлементный набор.
- Cat , категория небольших категорий с категорией продукта , где единицей является категория с одним объектом и только его идентификационной картой.
Двойственным образом любая категория с конечными копродукциями является моноидальной, где копродукцией является моноидальный продукт, а исходным объектом - единица измерения. Такая моноидальная категория называется кокартовой моноидальной.
R -Mod , категория модулей над коммутативным кольцом R , представляет собой моноидальную категорию, в которой тензорное произведение модулей ⊗ _R служит моноидальным произведением, а кольцо R (рассматриваемое как модуль над самим собой) служит единицей. В качестве особых случаев можно выделить:
- K -Vect — категория векторных пространств над полем K которой является одномерное векторное пространство K. , единицей измерения
- Ab — категория абелевых групп которой является группа целых чисел Z. , единицей
Для любого коммутативного кольца R категория R -алгебр моноидальна с тензорным произведением алгебр в качестве произведения и R в качестве единицы.
Категория точечных пространств ограниченная компактно сгенерированными пространствами ( например, ) является моноидальной, в которой продукт Smash служит продуктом, а заостренная 0-сфера (двухточечное дискретное пространство) служит единицей измерения.
Категория всех эндофункторов в категории C представляет собой строгую моноидальную категорию с композицией функторов в качестве произведения и тождественным функтором в качестве единицы.
Как и для любой категории E , полная подкатегория, охватываемая любым данным объектом, является моноидом. Это тот случай, когда для любой 2-категории E и любого объекта C в Ob( E ) полная 2-подкатегория E , охватываемая { C } — моноидальная категория. В случае E = Cat мы получаем приведенный выше пример эндофункторов .
Ограниченные сверху полурешетки представляют собой строгие симметричные моноидальные категории : произведение соответствует, а тождество является верхним элементом.
Любой обычный моноид $(M,\cdot ,1)$ — небольшая моноидальная категория с множеством объектов $M$ , только тождества для морфизмов , $\cdot$ как тензорное произведение и $1$ в качестве объекта идентичности. И наоборот, множество классов изоморфизма (если это имеет смысл) моноидальной категории является моноидом относительно тензорного произведения.
Любой коммутативный моноид $(M,\cdot ,1)$ может быть реализована как моноидальная категория с одним объектом. Напомним, что категория с единственным объектом — это то же самое, что и обычный моноид. По аргументу Экмана-Хилтона добавление еще одного моноидального произведения на $M$ требует, чтобы произведение было коммутативным.

Свойства и связанные с ними понятия

Из трех определяющих условий когерентности следует, что большой класс диаграмм (т.е. диаграмм, морфизмы которых построены с использованием $\alpha$ , $\lambda$ , $\rho$ , тождества и тензорное произведение) коммутируют: это » Мак Лейна « теорема когерентности . Иногда неточно утверждают, что все такие диаграммы коммутируют.

Существует общее понятие моноидного объекта в моноидальной категории, которое обобщает обычное понятие моноида из абстрактной алгебры . Обычные моноиды — это в точности моноидные объекты в декартовой моноидальной категории Set . Кроме того, любую (маленькую) строгую моноидальную категорию можно рассматривать как моноидный объект в категории категорий Cat (наделенной моноидальной структурой, индуцированной декартовым произведением).

Моноидальные функторы — это функторы между моноидальными категориями, которые сохраняют тензорное произведение, а моноидальные естественные преобразования — это естественные преобразования между теми функторами, которые «совместимы» с тензорным произведением.

Каждую моноидальную категорию можно рассматривать как категорию B (∗, ∗) бикатегории B только с одним объектом, обозначаемым ∗.

Понятие категории C , обогащенной моноидальной категорией M, заменяет понятие множества морфизмов между парами объектов в C понятием M -объекта морфизмов между любыми двумя объектами в C .

Свободная строгая моноидальная категория

Для каждой категории C свободная ) строгая моноидальная категория Σ( C может быть построена следующим образом:

его объектами являются списки (конечные последовательности) A ₁ ..., An _{объектов} C , ;
есть стрелки между двумя объектами A ₁ , ..., A _m и B ₁ , ..., B _n только в том случае, если m = n , и тогда стрелки представляют собой списки (конечные последовательности) стрелок f ₁ : A ₁ → B ₁ , ..., f _n : A _n → B _n of C ;
тензорное произведение двух объектов A ₁ , ..., An _, и B ₁ , ..., m _{представляет} собой конкатенацию A ₁ , ..., An _, B B ₁ , ... B _m двух списки, и, аналогично, тензорное произведение двух морфизмов задается конкатенацией списков. Объект идентификации — это пустой список.

Эта операция Σ, отображающая категорию C в Σ( C ), может быть расширена до строгой 2- монады на Cat .

Специализации

Если в моноидальной категории $A\otimes B$ и $B\otimes A$ естественно изоморфны способом, совместимым с условиями когерентности, мы говорим о сплетенной моноидальной категории . Если, кроме того, этот естественный изоморфизм является обратным самому себе, мы имеем симметричную моноидальную категорию .
Замкнутая моноидальная категория — это моноидальная категория, в которой функтор $X\mapsto X\otimes A$ имеет правый сопряженный , который называется «внутренним Hom-функтором» $X\mapsto \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(A,X)$ . Примеры включают декартовы закрытые категории, такие как Set , категория множеств, и компактные закрытые категории, такие как FdVect , категория конечномерных векторных пространств.
Автономные категории (или компактные замкнутые категории , или жесткие категории ) — это моноидальные категории, в которых существуют двойственные категории с хорошими свойствами; они абстрагируют идею FdVect .
Кинжаловые симметричные моноидальные категории , оснащенные дополнительным кинжальным функтором, абстрагирующим идею FdHilb , конечномерных гильбертовых пространств. К ним относятся компактные категории кинжалов .
Категории Таннака — это моноидальные категории, обогащенные по полю, которые очень похожи на категории представления линейных алгебраических групп .

Предзаказ моноидов

моноид Предупорядоченный — это моноидальная категория, в которой для каждых двух объектов $c,c'\in \mathrm {Ob} (\mathbf {C} )$ , существует не более одного морфизма $c\to c'$ в С. В контексте предзаказов морфизм $c\to c'$ иногда отмечается $c\leq c'$ . Свойства рефлексивности C и транзитивности порядка, определенные в традиционном смысле, включены в категориальную структуру посредством тождественного морфизма и формулы композиции в соответственно . Если $c\leq c'$ и $c'\leq c$ , то объекты $c,c'$ изоморфны, что обозначается $c\cong c'$ .

Введение моноидальной структуры в предпорядок C предполагает построение

объект $I\in \mathbf {C}$ , называемая моноидальной единицей , и
функтор $\mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C}$ , обозначается " $\;\cdot \;$ ", называемое моноидальным умножением .

$I$ и $\cdot$ должен быть унитарным и ассоциативным с точностью до изоморфизма, то есть:

(c_{1}\cdot c_{2})\cdot c_{3}\cong c_{1}\cdot (c_{2}\cdot c_{3})

и

I\cdot c\cong c\cong c\cdot I

.

Поскольку · является функтором,

если

c_{1}\to c_{1}'

и

c_{2}\to c_{2}'

затем

(c_{1}\cdot c_{2})\to (c_{1}'\cdot c_{2}')

.

Другие условия когерентности моноидальных категорий выполняются через структуру предпорядка, поскольку каждая диаграмма коммутирует в предпорядке.

Натуральные числа являются примером моноидального предзаказа: наличие как моноидной структуры (с использованием + и 0), так и структуры предзаказа (с использованием ≤) образует моноидальный предварительный порядок как $m\leq n$ и $m'\leq n'$ подразумевает $m+m'\leq n+n'$ .