Квадратичная функция

В математике квадратичный многочлен — это многочлен второй степени от одной или нескольких переменных. Квадратичная функция — это полиномиальная функция, определяемая квадратичным многочленом. До 20-го века различие между полиномом и связанной с ним полиномиальной функцией было неясным; поэтому «квадратичный полином» и «квадратичная функция» были почти синонимами. Это до сих пор имеет место во многих начальных курсах, где оба термина часто сокращаются как «квадратичные».

Квадратичный многочлен с двумя действительными корнями (пересечения *оси x* ) и, следовательно, без комплексных корней. Некоторые другие квадратичные многочлены имеют минимум выше *оси x* , и в этом случае нет действительных корней и есть два комплексных корня.

Например, квадратичная функция с одной переменной (одной переменной) имеет вид ^[1]

f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0,

где $x$ — его переменная. График , одномерной квадратичной функции представляет собой параболу , кривую которой ось симметрии параллельна $оси y$ .

Если квадратичную функцию приравнять нулю, то в результате получится квадратное уравнение . Решениями квадратного уравнения являются нули соответствующей квадратичной функции.

Двумерный y случай в терминах переменных $x$ и $вид$ имеет

f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f,

хотя бы один из $a, b, c$ не равен нулю. Нулями этой квадратичной функции является, вообще говоря (то есть, если определенное выражение коэффициентов не равно нулю), коническое сечение ( окружность или другой эллипс , парабола или гипербола ).

Квадратичная функция от трех переменных $x$ , $y$ и $z$ содержит исключительно члены $x 2$ , $и 2$ , $С 2$ , $xy, xz, yz, x, y, z$ и константа:

f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j,

где хотя бы один из коэффициентов $a, b, c, d, e, f$ членов второй степени не равен нулю.

Квадратичная функция может иметь сколь угодно большое количество переменных. Множество ее нулей образуют квадрику , которая является поверхностью в случае трех переменных и гиперповерхностью в общем случае.

Этимология

Прилагательное «квадратичный» происходит от латинского слова «квадрат» (« квадрат »). Член, возведенный во вторую степень, например $x 2$ В алгебре называется квадратом, потому что это площадь квадрата со стороной $x$ .

Терминология

Коэффициенты

Коэффициентами , и квадратичной функции часто считаются действительные или комплексные числа , но их можно взять в любом кольце в этом случае областью определения и кодоменом является это кольцо (см. полиномиальную оценку ).

Степень

Используя термин «квадратичный полином», авторы иногда имеют в виду «имеющий степень ровно 2», а иногда «имеющий степень не более 2». Если степень меньше 2, это можно назвать « вырожденным случаем ». Обычно контекст определяет, какое из двух слов имеется в виду.

Иногда слово «порядок» используется в значении «степень», например, полином второго порядка. Однако там, где «степень многочлена» относится к наибольшей степени ненулевого члена многочлена, более типично «порядок» относится к наименьшей степени ненулевого члена степенного ряда .

Переменные

Квадратичный полином может включать одну переменную x (одномерный случай) или несколько переменных, таких как x , y и z (многомерный случай).

Случай с одной переменной

Любой квадратичный полином с одной переменной можно записать как

ax^{2}+bx+c,

где x — переменная, а a , b и c представляют коэффициенты . Такие многочлены часто возникают в квадратном уравнении $ax^{2}+bx+c=0.$ Решения этого уравнения называются корнями и могут быть выражены через коэффициенты в виде квадратной формулы . Каждому квадратичному многочлену соответствует квадратичная функция, график которой представляет собой параболу .

Двумерные и многомерные случаи

Любой квадратичный многочлен с двумя переменными можно записать как

ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f,

где $x$ и $y$ — переменные, а $a, b, c, d, e, f$ — коэффициенты, а один из $a$ , $b$ и $c$ не равен нулю. Такие многочлены имеют фундаментальное значение для изучения конических сечений , поскольку неявное уравнение конического сечения получается путем приравнивания нулю квадратичного многочлена, а нули квадратичной функции образуют (возможно, вырожденное) коническое сечение.

Точно так же квадратичные многочлены с тремя или более переменными соответствуют квадратичным поверхностям или гиперповерхностям .

Квадратичные многочлены, имеющие только члены второй степени, называются квадратичными формами .

Формы одномерной квадратичной функции

Одномерную квадратичную функцию можно выразить в трех форматах: ^[2]

$f(x)=ax^{2}+bx+c$ называется стандартной формой ,
$f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})$ называется факторизованной формой , где $r 1$ и $r 2$ — корни квадратичной функции и решения соответствующего квадратного уравнения.
$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ называется формой вершины , где $h$ и $k$ — $координаты x$ и $y$ вершины соответственно.

Коэффициент $a$ имеет одно и то же значение во всех трех формах. Чтобы преобразовать стандартную форму в факторизованную форму , достаточно квадратной формулы для определения двух корней $r 1$ и $r 2$ . Чтобы преобразовать стандартную форму в форму вершины , необходим процесс, называемый завершением квадрата . Чтобы преобразовать факторизованную форму (или форму вершины) в стандартную форму, необходимо умножить, разложить и/или распределить факторы.

График одномерной функции

Независимо от формата график одномерной квадратичной функции $f(x)=ax^{2}+bx+c$ представляет собой параболу (как показано справа). Эквивалентно, это график двумерного квадратного уравнения $y=ax^{2}+bx+c$ .

Если $a > 0$ , парабола открывается вверх.
Если $a < 0$ , парабола открывается вниз.

Коэффициент $а$ контролирует степень кривизны графика; большая величина $a$ придает графику более замкнутый (резко изогнутый) вид.

Коэффициенты $b$ и $a$ вместе определяют расположение оси симметрии параболы (также $координату x$ вершины и параметр h в форме вершины), которая находится в точке

x=-{\frac {b}{2a}}.

Коэффициент $c$ управляет высотой параболы; более конкретно, это высота параболы, где она пересекает $Y.$ ось

Вертекс

Вершина ; параболы — это место ее поворота следовательно, его также называют поворотным моментом . Если квадратичная функция имеет форму вершины, вершина равна $(h, k)$ . Методом завершения квадрата можно превратить стандартную форму

f(x)=ax^{2}+bx+c

в

{\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-h)^{2}+k\\&=a\left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right),\\\end{aligned}}

поэтому вершина $(h, k)$ параболы в стандартной форме равна

\left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).

^{[ нужна ссылка ]}

Если квадратичная функция имеет факторизованную форму

f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})

среднее значение двух корней, т.е.

{\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}

- $координата x$ вершины, и, следовательно, вершина $(h, k)$ равна

\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\right)\right).

Вершина также является точкой максимума, если $a < 0$ , или точкой минимума, если $a > 0$ .

Вертикальная линия

x=h=-{\frac {b}{2a}}

проходящая через вершину также является осью симметрии параболы.

Максимум и минимум баллов

Используя исчисление , вершинную точку, являющуюся максимумом или минимумом функции, можно получить, найдя корни производной :

f(x)=ax^{2}+bx+c\quad \Rightarrow \quad f'(x)=2ax+b

$x$ является корнем $f'(x)$ , если $f'(x) = 0$ в результате чего

x=-{\frac {b}{2a}}

с соответствующим значением функции

f(x)=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c=c-{\frac {b^{2}}{4a}},

и снова координаты точки вершины $(h, k)$ могут быть выражены как

\left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).

Корни одномерной функции

Точные корни

Корни ) (или нули 1 $r 2$ и $r функции$ одномерной квадратичной

{\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-r_{1})(x-r_{2}),\\\end{aligned}}

— значения $x,$ для которых $f (x) = 0$ .

Когда коэффициенты $a$ , $b$ и $c$ действительные , или комплексные корни равны

r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},

r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.

Верхняя граница величины корней

Модуль корней квадратного $ax^{2}+bx+c$ может быть не больше, чем ${\frac {\max(|a|,|b|,|c|)}{|a|}}\times \phi ,$ где $\phi$ это золотое сечение ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.$ ^[4]

Квадратный корень из одномерной квадратичной функции

Квадратный корень одномерной квадратичной функции порождает одно из четырех конических сечений, почти всегда , либо эллипс либо гиперболу .

Если $a>0,$ тогда уравнение $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ описывает гиперболу, что можно увидеть, возведя в квадрат обе ее стороны. Направления осей гиперболы определяются ординатой точки минимума . соответствующей параболы $y_{p}=ax^{2}+bx+c.$ Если ордината отрицательна, то большая ось гиперболы (через ее вершины) горизонтальна, а если ордината положительна, то большая ось гиперболы вертикальна.

Если $a<0,$ тогда уравнение $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ описывает либо круг, либо другой эллипс, либо вообще ничего. Если ордината максимальной точки соответствующей параболы $y_{p}=ax^{2}+bx+c$ положителен, то его квадратный корень описывает эллипс, но если ордината отрицательна, то он описывает пустое множество точек.

Итерация

Чтобы выполнить итерацию функции $f(x)=ax^{2}+bx+c$ , функция применяется повторно, используя выходные данные одной итерации в качестве входных данных для следующей.

Не всегда можно вывести аналитическую форму $f^{(n)}(x)$ , что означает n ^й итерация $f(x)$ . (Верхний индекс может быть расширен до отрицательных чисел, имея в виду итерацию, обратную $f(x)$ если обратное существует.) Но есть некоторые аналитически решаемые случаи.

Например, для итерационного уравнения

f(x)=a(x-c)^{2}+c

у одного есть

f(x)=a(x-c)^{2}+c=h^{(-1)}(g(h(x))),

где

g(x)=ax^{2}

и

h(x)=x-c.

Итак, по индукции

f^{(n)}(x)=h^{(-1)}(g^{(n)}(h(x)))

можно получить, где $g^{(n)}(x)$ можно легко вычислить как

g^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}x^{2^{n}}.

Наконец, у нас есть

f^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}(x-c)^{2^{n}}+c

как решение.

См. «Топологическое сопряжение» для получения более подробной информации о взаимосвязи между f и g . См. также Комплексный квадратичный полином для хаотического поведения на общей итерации.

Логистическая карта

x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}<1

с параметром 2< r <4 можно решить в некоторых случаях, один из которых хаотичен , а другой нет. В хаотическом случае r = 4 решение имеет вид

x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )

где параметр начального состояния $\theta$ дается $\theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})$ . Для рационального $\theta$ , после конечного числа итераций $x_{n}$ отображается в периодическую последовательность. Но почти все $\theta$ иррациональны, а поскольку иррациональны $\theta$ , $x_{n}$ никогда не повторяется – он непериодичен и демонстрирует чувствительную зависимость от начальных условий , поэтому его называют хаотичным.

Решение логистической карты при r =2 равно

$x_{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{2^{n}}$

для $x_{0}\in [0,1)$ . С $(1-2x_{0})\in (-1,1)$ за любую стоимость $x_{0}$ кроме нестабильной фиксированной точки 0, член $(1-2x_{0})^{2^{n}}$ переходит в 0, когда n стремится к бесконечности, поэтому $x_{n}$ переходит в устойчивую фиксированную точку ${\tfrac {1}{2}}.$

Двумерная (две переменные) квадратичная функция

Двумерная квадратичная функция — это полином второй степени вида

f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F,

где A, B, C, D и E — фиксированные коэффициенты , а F — постоянный член.Такая функция описывает квадратичную поверхность . Параметр $f(x,y)$ равное нулю описывает пересечение поверхности с плоскостью $z=0,$ которое является геометрическим местом точек, эквивалентным коническому сечению .

Минимум/максимум

Если $4AB-E^{2}<0,$ функция не имеет максимума и минимума; его график образует гиперболический параболоид .

Если $4AB-E^{2}>0,$ функция имеет минимум, если оба A > 0 и B > 0 , и максимум, если оба A < 0 и B < 0 ; его график образует эллиптический параболоид. В этом случае минимум или максимум приходится на $(x_{m},y_{m}),$ где:

x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}},

y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}.

Если $4AB-E^{2}=0$ и $DE-2CB=2AD-CE\neq 0,$ функция не имеет максимума и минимума; его график образует параболический цилиндр .

Если $4AB-E^{2}=0$ и $DE-2CB=2AD-CE=0,$ функция достигает максимума/минимума на линии — минимума, если A >0, и максимума, если A <0; его график образует параболический цилиндр.

См. также

Ссылки

^ Вайсштейн, Эрик Вольфганг. «Квадратное уравнение» . Математический мир . Архивировано из оригинала 12 марта 2020 г. Проверено 6 января 2013 г.
^ Хьюз Халлетт, Дебора Дж .; Конналли, Эрик ; МакКаллум, Уильям Джордж (2007). Колледж алгебры . John Wiley & Sons Inc. с. 205. ИСБН 9780471271758 .
^ «Сложные корни стали видимыми – забавные факты о математике» . Проверено 1 октября 2016 г.
^ Лорд, Ник (01 ноября 2007 г.). «Золотые границы корней квадратных уравнений» . Математический вестник . 91 (522): 549 – через JSTOR .

Гленко, МакГроу-Хилл. Алгебра 1 . ISBN 9780078250835 .
Саксон, Джон Х. Алгебра 2 . ISBN 9780939798629 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Квадратичный» . Математический мир .

[wolfram-1] Вайсштейн, Эрик Вольфганг. «Квадратное уравнение» . Математический мир . Архивировано из оригинала 12 марта 2020 г. Проверено 6 января 2013 г.

[2] Хьюз Халлетт, Дебора Дж .; Конналли, Эрик ; МакКаллум, Уильям Джордж (2007). Колледж алгебры . John Wiley & Sons Inc. с. 205. ИСБН 9780471271758 .

[3] «Сложные корни стали видимыми – забавные факты о математике» . Проверено 1 октября 2016 г.

[4] Лорд, Ник (01 ноября 2007 г.). «Золотые границы корней квадратных уравнений» . Математический вестник . 91 (522): 549 – через JSTOR .

[1]

[2]

[3]

[4]

v т и Полиномы и полиномиальные функции
По степени	Нулевой полином (степень неопределена или −1 или −∞) Постоянная функция (0) Линейная функция (1) Линейное уравнение Квадратичная функция (2) Квадратное уравнение Кубическая функция (3) Кубическое уравнение Функция четвертой степени (4) Уравнение четвертой степени Квинтическая функция (5) Секстическое уравнение (6) Септическое уравнение (7)
По свойствам	Одномерный Двумерный Многомерный моном Биномиальный Трехчленный Нередуцируемый без квадратов Однородный Квазиоднородный
Инструменты и алгоритмы	Факторизация Наибольший общий делитель Разделение Метод оценки Горнера Проверка полиномиальной идентичности Результирующий Дискриминант База Грёбнер