Сопоставимость

В математике два элемента x и y множества P называются сравнимыми относительно бинарного отношения ≤, если хотя бы один из x ≤ y или y ≤ x истинен. Их называют несравнимыми , если они несравнимы.

Строгое определение [ править ]

Бинарное отношение на множестве $P$ по определению является любым подмножеством $R$ из $P\times P.$ Данный $x,y\in P,$ $xRy$ пишется тогда и только тогда, когда $(x,y)\in R,$ в таком случае $x$ говорят, что это связано с $y$ к $R.$ Элемент $x\in P$ Говорят, что это $R$ -сопоставимый , или сравнимый ( по отношению к $R$ ), к элементу $y\in P$ если $xRy$ или $yRx.$ Часто используется символ, обозначающий сравнение, например $\,<\,$ (или $\,\leq \,,$ $\,>,\,$ $\geq ,$ и многие другие) используется вместо $R,$ в таком случае $x<y$ пишется вместо $xRy,$ поэтому используется термин «сопоставимый».

Сопоставимость по $R$ индуцирует каноническое бинарное отношение на $P$ ; в частности, отношение сравнимости, индуцированное $R$ определяется как множество всех пар $(x,y)\in P\times P$ такой, что $x$ сравнимо с $y$ ; то есть такой, что хотя бы один из $xRy$ и $yRx$ правда. Аналогично, соотношение несравнимости на $P$ индуцированный $R$ определяется как множество всех пар $(x,y)\in P\times P$ такой, что $x$ несравнимо с $y;$ то есть такой, что ни $xRy$ ни $yRx$ правда.

Если символ $\,<\,$ используется вместо $\,\leq \,$ тогда сравнимость по $\,<\,$ иногда обозначается символом ${\overset {<}{\underset {>}{=}}}$ , а несравнимость – символом ${\cancel {\overset {<}{\underset {>}{=}}}}\!$ . ^[1] Таким образом, для любых двух элементов $x$ и $y$ частично упорядоченного множества, ровно одно из $x\ {\overset {<}{\underset {>}{=}}}\ y$ и $x{\cancel {\overset {<}{\underset {>}{=}}}}y$ правда.

Пример [ править ]

множество Полностью упорядоченное — это частично упорядоченное множество, в котором любые два элемента сравнимы. Теорема о расширении Шпильрайна утверждает, что каждый частичный порядок содержится в полном порядке. Интуитивно, теорема гласит, что любой метод сравнения элементов, который оставляет некоторые пары несравнимыми, может быть расширен таким образом, что каждая пара станет сравнимой.

Свойства [ править ]

Оба отношения сравнимости и несравнимости симметричны , т.е. $x$ сравнимо с $y$ если и только если $y$ сравнимо с $x,$ то же самое и о несравнимости.

Графики сопоставимости [ править ]

Граф сравнимости частично упорядоченного множества $P$ имеет в качестве вершин элементы $P$ и имеет ребрами именно эти пары $\{x,y\}$ элементов, для которых $x\ {\overset {<}{\underset {>}{=}}}\ y$ . ^[2]

Классификация [ править ]

При классификации математических объектов (например, топологических пространств ) два критерия называются сравнимыми, когда объекты, подчиняющиеся одному критерию, составляют подмножество объектов, подчиняющихся другому, то есть когда они сравнимы в частичном порядке ⊂. Например, критерии Т ₁ и Т ₂ сопоставимы, а критерии Т ₁ и трезвости — нет.

См. также [ править ]

Строгий слабый порядок — математическое ранжирование набора. , частичный порядок, в котором несравнимость является транзитивным отношением.

Ссылки [ править ]

^ Троттер, Уильям Т. (1992), Комбинаторика и частично упорядоченные множества: теория размерности , Университет Джонса Хопкинса. Пресс, с. 3
^ Гилмор, ПК; Хоффман, AJ (1964), «Характеристика графиков сопоставимости и интервальных графиков» , Canadian Journal of Mathematics , 16 : 539–548, doi : 10.4153/CJM-1964-055-5 , заархивировано из оригинала 08.2017 г. -02 , получено 1 января 2010 г.

Внешние ссылки [ править ]

«ПланетаМатематика: частичный порядок» . Архивировано из оригинала 11 июля 2012 года . Проверено 6 апреля 2010 г.

[1] Троттер, Уильям Т. (1992), Комбинаторика и частично упорядоченные множества: теория размерности , Университет Джонса Хопкинса. Пресс, с. 3

[2] Гилмор, ПК; Хоффман, AJ (1964), «Характеристика графиков сопоставимости и интервальных графиков» , Canadian Journal of Mathematics , 16 : 539–548, doi : 10.4153/CJM-1964-055-5 , заархивировано из оригинала 08.2017 г. -02 , получено 1 января 2010 г.

[1]

[2]

v т Это Теория порядка
Topics Glossary Category
Key concepts	Binary relation Boolean algebra Cyclic order Lattice Partial order Preorder Total order Weak ordering
Results	Boolean prime ideal theorem Cantor–Bernstein theorem Cantor's isomorphism theorem Dilworth's theorem Dushnik–Miller theorem Hausdorff maximal principle Knaster–Tarski theorem Kruskal's tree theorem Laver's theorem Mirsky's theorem Szpilrajn extension theorem Zorn's lemma
Properties & Types (list)	Antisymmetric Asymmetric Boolean algebra topics Completeness Connected Covering Dense Directed (Partial) Equivalence Foundational Heyting algebra Homogeneous Idempotent Lattice Bounded Complemented Complete Distributive Join and meet Reflexive Partial order Chain-complete Graded Eulerian Strict Prefix order Preorder Total Semilattice Semiorder Symmetric Total Tolerance Transitive Well-founded Well-quasi-ordering (Better) (Pre) Well-order
Constructions	Composition Converse/Transpose Lexicographic order Linear extension Product order Reflexive closure Series-parallel partial order Star product Symmetric closure Transitive closure
Topology & Orders	Alexandrov topology & Specialization preorder Ordered topological vector space Normal cone Order topology Order topology Topological vector lattice Banach Fréchet Locally convex Normed
Related	Antichain Cofinal Cofinality Comparability Graph Duality Filter Hasse diagram Ideal Net Subnet Order morphism Embedding Isomorphism Order type Ordered field Positive cone of an ordered field Ordered vector space Partially ordered Positive cone of an ordered vector space Riesz space Partially ordered group Positive cone of a partially ordered group Upper set Young's lattice