Godunov's scheme

В численном анализе и гидродинамике вычислительной схема Годунова представляет собой консервативную численную схему , предложенную Сергеем Годуновым в 1959 году. ^{[ 1 ]} для решения уравнений в частных производных . Этот метод можно рассматривать как консервативный метод конечного объема , который решает точные или приближенные задачи Римана на каждой границе между ячейками. В своей базовой форме метод Годунова имеет первый порядок точности как в пространстве, так и во времени, но может использоваться в качестве базовой схемы для разработки методов более высокого порядка.

Базовая схема

Следуя классической схеме метода конечных объемов , мы стремимся отслеживать конечный набор дискретных неизвестных: $Q_{i}^{n}={\frac {1}{\Delta x}}\int _{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}}q(t^{n},x)\,dx$ где $x_{i-1/2}=x_{\text{low}}+\left(i-1/2\right)\Delta x$ и $t^{n}=n\Delta t$ образуют дискретный набор точек для гиперболической задачи: $q_{t}+(f(q))_{x}=0,$ где индексы $t$ и $x$ укажите производные во времени и пространстве соответственно. Если мы проинтегрируем гиперболическую задачу по контрольному объему $[x_{i-1/2},x_{i+1/2}],$ мы получаем формулировку метода линий (MOL) для пространственных средних ячеек: ${\frac {\partial }{\partial t}}Q_{i}(t)=-{\frac {1}{\Delta x}}\left(f(q(t,x_{i+1/2}))-f(q(t,x_{i-1/2}))\right),$ что представляет собой классическое описание метода конечных объемов первого порядка с намоткой вверх. ^{[ 2 ]}

Точное интегрирование по времени приведенной выше формулы от времени $t=t^{n}$ ко времени $t=t^{n+1}$ дает точную формулу обновления: $Q_{i}^{n+1}=Q_{i}^{n}-{\frac {1}{\Delta x}}\int _{t^{n}}^{t^{n+1}}\left(f(q(t,x_{i+1/2}))-f(q(t,x_{i-1/2}))\right)\,dt.$

Метод Годунова заменяет интеграл по времени каждого $\int _{t^{n}}^{t^{n+1}}f(q(t,x_{i-1/2}))\,dt$ с прямым методом Эйлера , который дает полностью дискретную формулу обновления для каждого из неизвестных $Q_{i}^{n}$ . То есть мы аппроксимируем интегралы с помощью $\int _{t^{n}}^{t^{n+1}}f(q(t,x_{i-1/2}))\,dt\approx \Delta tf^{\downarrow }\left(Q_{i-1}^{n},Q_{i}^{n}\right),$ где $f^{\downarrow }\left(q_{l},q_{r}\right)$ является приближением к точному решению задачи Римана. Для последовательности предполагается, что $f^{\downarrow }(q_{l},q_{r})=f(q_{l})\quad {\text{ if }}\quad q_{l}=q_{r},$ и это $f^{\downarrow }$ увеличивается по первому аргументу и уменьшается по второму аргументу. Для скалярных задач, где $f'(q)>0$ можно использовать простую схему Upwind , которая определяет $f^{\downarrow }(q_{l},q_{r})=f(q_{l})$ .

Полная схема Годунова требует определения приближенного или точного решателя Римана , но в своей самой базовой форме она имеет вид: $Q_{i}^{n+1}=Q_{i}^{n}-\lambda \left({\hat {f}}_{i+1/2}^{n}-{\hat {f}}_{i-1/2}^{n}\right),\quad \lambda ={\frac {\Delta t}{\Delta x}},\quad {\hat {f}}_{i-1/2}^{n}=f^{\downarrow }\left(Q_{i-1}^{n},Q_{i}^{n}\right)$

Линейная задача

В случае линейной задачи, когда $f(q)=aq$ , и без ограничения общности будем считать, что $a>0$ , обратный метод Годунова дает: $Q_{i}^{n+1}=Q_{i}^{n}-\nu \left(Q_{i}^{n}-Q_{i-1}^{n}\right),\quad \nu =a{\frac {\Delta t}{\Delta x}},$ что дает классическую схему конечного объема первого порядка, направленную против намотки, устойчивость которой требует $\nu =\left|a{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\right|\leq 1$ .

Трехшаговый алгоритм

Следуя за Хиршем, ^{[ 3 ]} Схема включает в себя три отдельных шага для получения решения в $t=(n+1)\Delta t\,$ из известного решения в ${t=n\Delta t}\,$ , следующее:

Определим кусочно-постоянную аппроксимацию решения при ${t=(n+1)\Delta t}\,$ . Поскольку кусочно-постоянная аппроксимация представляет собой среднее решение по ячейке размера ${\Delta x}\,$ , пространственная ошибка имеет порядок ${\Delta x}\,$ , и, следовательно, полученная схема будет иметь первый порядок точности в пространстве. Обратите внимание, что это приближение соответствует представлению метода конечного объема , при котором дискретные значения представляют собой средние значения переменных состояния по ячейкам. Точные соотношения для усредненных значений ячеек можно получить из интегральных законов сохранения.
Получите решение локальной задачи Римана на границах ячеек. Это единственный физический этап всей процедуры. Разрывы на границах раздела разрешаются в суперпозиции волн, локально удовлетворяющих уравнениям сохранения. Оригинальный метод Годунова основан на точном решении задач Римана. Однако в качестве альтернативы можно применить приближенные решения.
Усредните переменные состояния через интервал времени ${\Delta t}\,$ . Переменные состояния, полученные после шага 2, усредняются по каждой ячейке, определяя новую кусочно-постоянную аппроксимацию, возникающую в результате распространения волны в течение интервала времени ${\Delta t}\,$ . Чтобы быть последовательным, временной интервал ${\Delta t}\,$ должна быть ограничена таким образом, чтобы волны, исходящие от границы раздела, не взаимодействовали с волнами, создаваемыми на соседних границах раздела. В противном случае на ситуацию внутри клетки будут влиять взаимодействующие проблемы Римана. Это приводит к КЛЛ. состоянию $|a_{\max }|\Delta t<\Delta x/2\,$ где $|a_{\max }|\,$ — максимальная скорость волны, полученная из собственных значений ячейки локальной Якоби матрицы .

Первый и третий шаги носят исключительно численный характер и могут рассматриваться как этап проекции , независимый от второго, физического шага, этапа эволюции . Следовательно, их можно модифицировать, не влияя на физические входные данные, например, заменяя кусочно-постоянную аппроксимацию кусочно-линейным изменением внутри каждой ячейки, что приводит к определению схем пространственной точности второго порядка, таких как схема MUSCL .

См. также

Ссылки

^ Godunov, S. K. (1959). "Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики" [A Difference Scheme for Numerical Solution of Discontinuous Solution of Hydrodynamic Equations]. Mat. Sbornik . 47 : 271–306. MR 0119433 . Zbl 0171.46204 . Translated US Joint Publ. Res. Service, JPRS 7226, 1969.
^ Левек, Рэнди Дж. (2002). Методы конечных объемов для решения гиперболических задач . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-81087-6 .
^ Хирш, К. (1990). Численный расчет внутренних и внешних потоков . Том. 2. Уайли. ISBN 0-471-92452-0 .

Дальнейшее чтение

Лэйни, Калберт Б. (1998). Вычислительная газодинамика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-57069-7 .
Торо, EF (1999). Решатели Римана и численные методы гидродинамики . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-65966-8 .
Таннехилл, Джон К.; и др. (1997). Вычислительная механика жидкости и теплопередача (2-е изд.). Вашингтон: Тейлор и Фрэнсис. ISBN 1-56032-046-Х .
Весселинг, Питер (2001). Принципы вычислительной гидродинамики . Берлин: Springer Verlag. ISBN 3-540-67853-0 .

[1] Godunov, S. K. (1959). "Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики" [A Difference Scheme for Numerical Solution of Discontinuous Solution of Hydrodynamic Equations]. Mat. Sbornik . 47 : 271–306. MR 0119433 . Zbl 0171.46204 . Translated US Joint Publ. Res. Service, JPRS 7226, 1969.

[2] Левек, Рэнди Дж. (2002). Методы конечных объемов для решения гиперболических задач . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-81087-6 .

[3] Хирш, К. (1990). Численный расчет внутренних и внешних потоков . Том. 2. Уайли. ISBN 0-471-92452-0 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]