Стоячая волна

Анимация стоячей волны ( красная ), созданная в результате суперпозиции бегущей левой ( синяя ) и правой бегущей ( зеленой ) волны.

В физике , стоячая волна также известная как стоячая волна , представляет собой волну , которая колеблется во времени, но профиль пиковой амплитуды которой не перемещается в пространстве. Пиковая амплитуда волновых колебаний в любой точке пространства постоянна во времени, а колебания в разных точках волны синфазны . Места, в которых абсолютное значение амплитуды минимально, называются узлами , а места, где абсолютное значение амплитуды максимально, называются пучностями.

Стоячие волны были впервые описаны с научной точки зрения Майклом Фарадеем в 1831 году. Фарадей наблюдал стоячие волны на поверхности жидкости в вибрирующем контейнере . Франц Мельде придумал термин «стоячая волна» (нем. stehende Welle или Stehwelle ) около 1860 года и продемонстрировал это явление в своем классическом эксперименте с вибрирующими струнами.

Это явление может возникнуть из-за того, что среда движется в направлении, противоположном движению волны, либо возникнуть в неподвижной среде в результате интерференции двух волн, бегущих в противоположных направлениях. Наиболее распространенной причиной стоячих волн является явление резонанса , при котором стоячие волны возникают внутри резонатора резонатора из-за интерференции волн, отражающихся вперед и назад на резонансной частоте .

Для волн одинаковой амплитуды , распространяющихся в противоположных направлениях, в среднем суммарное распространение энергии отсутствует .

Движущаяся среда

• Каякеры катаются на стоячей волне в парке Грейт-Фолс
• Продолжительность: 7 секунд. 0:07
  Устье реки Кармель . Стоячие волны образуются там, где река Кармель впадает в Тихий океан.

Пример первого типа: при определенных метеорологических условиях в атмосфере с подветренной стороны горных хребтов образуются стоячие волны. Такие волны часто эксплуатируют планеристы .

Стоячие волны и гидравлические скачки также образуются на быстрых речных порогах и приливных течениях, таких как Сальтстраумен водоворот . Требованием для этого в речных течениях является проточная вода с небольшой глубиной, в которой инерция воды преодолевает ее силу тяжести из-за сверхкритической скорости потока ( число Фруда : 1,7–4,5, превышение 4,5 приводит к прямой стоячей волне). ) и поэтому препятствие не замедляет его существенно и не отталкивает в сторону. Многие стоячие речные волны являются популярным местом для серфинга на реке .

Противостоящие волны

Стоячие волны

Стоячая волна в неподвижной среде. Красные точки представляют собой волновые узлы . Стоячая волна (черная), изображаемая как сумма двух распространяющихся волн, движущихся в противоположных направлениях (красная и синяя).

Вектор электрической силы (E) и вектор магнитной силы (H) стоячей волны. Стоячие волны в струне – основная мода и первые 5 гармоник .

Стоячая волна на круглой мембране , пример стоячих волн в двух измерениях. Это основной режим. Стоячая волна высшей гармоники на диске с двумя узловыми линиями, пересекающимися в центре.

В качестве примера второго типа стоячая волна в линии передачи представляет собой волну, в которой распределение тока , напряжения или напряженности поля формируется в результате суперпозиции двух волн одинаковой частоты, распространяющихся в противоположных направлениях. Эффект представляет собой серию узлов (нулевое смещение ) и пучностей (максимальное смещение ) в фиксированных точках вдоль линии передачи. Такая стоячая волна может образоваться, когда волна передается на один конец линии передачи и отражается от другого конца из-за импедансов несоответствия , т. е . разрыва, такого как обрыв цепи или короткое замыкание . Неспособность линии передавать мощность на частоте стоячей волны обычно приводит к искажениям затухания .

На практике потери в линии передачи и других компонентах означают, что идеальное отражение и чистая стоячая волна никогда не достигаются. В результате получается частичная стоячая волна , которая представляет собой суперпозицию стоячей и бегущей волны. Степень, в которой волна напоминает чистую стоячую волну или чистую бегущую волну, измеряется коэффициентом стоячей волны (КСВ).

Другой пример — стоячие волны в открытом океане, образованные волнами одинакового периода волн, движущимися в противоположных направлениях. Они могут образовываться вблизи центров штормов или в результате отражения зыби от берега и являются источником микробаром и микросейсм .

Математическое описание

В этом разделе рассмотрены типичные одно- и двумерные случаи стоячих волн. Во-первых, пример струны бесконечной длины показывает, как одинаковые волны, движущиеся в противоположных направлениях, взаимодействуют, создавая стоячие волны. Далее два примера струн конечной длины с разными граничными условиями демонстрируют, как граничные условия ограничивают частоты, которые могут образовывать стоячие волны. Далее пример звуковых волн в трубе демонстрирует, как те же принципы можно применить к продольным волнам с аналогичными граничными условиями.

Стоячие волны также могут возникать в двух- или трехмерных резонаторах . В случае стоячих волн на двумерных мембранах, таких как барабанные пластинки , показанных на анимации выше, узлы становятся узловыми линиями, линиями на поверхности, на которых нет движения, которые разделяют области, вибрирующие с противоположной фазой. Эти узоры узловых линий называются фигурами Хладни . В трехмерных резонаторах, таких как звуковые коробки музыкальных инструментов и резонаторы микроволновых резонаторов , имеются узловые поверхности. В этот раздел включен двумерный пример стоячей волны с прямоугольной границей, чтобы проиллюстрировать, как распространить эту концепцию на более высокие измерения.

Стоячая волна на струне бесконечной длины

Для начала рассмотрим струну бесконечной длины вдоль оси x , которую можно растягивать в поперечном направлении в направлении y .

Для гармонической волны, бегущей вправо вдоль струны, смещение струны в направлении y в зависимости от положения x и времени t равно

$y_{\text{R}}(x,t)=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right).$

Смещение в направлении y для одинаковой гармонической волны, бегущей влево, равно

$y_{\text{L}}(x,t)=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right),$

где

• y _max – амплитуда смещения струны для каждой волны,
• ω — угловая частота или, что эквивалентно, в 2π раз больше частоты f ,
• λ — длина волны.

Для одинаковых бегущих вправо и влево волн на одной и той же струне полное смещение струны представляет собой сумму y _R и y _L ,

$y(x,t)=y_{\text{R}}+y_{\text{L}}=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right)+y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right).$

Использование тригонометрического тождества суммы и произведения $\sin a+\sin b=2\sin \left({a+b \over 2}\right)\cos \left({a-b \over 2}\right)$,

$y(x,t)=2y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)\cos(\omega t).$ ( 1 )

Уравнение ( 1 ) не описывает бегущую волну. В любом положении x , y ( x , t ) просто колеблется во времени с амплитудой, которая меняется в направлении x как $2y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)$. Анимация в начале этой статьи показывает, что происходит. Поскольку левая синяя волна и правая зеленая волна интерферируют, они образуют стоячую красную волну, которая не движется, а вместо этого колеблется на месте.

Поскольку струна имеет бесконечную длину, у нее нет граничных условий для ее смещения в любой точке вдоль оси x . В результате стоячая волна может образоваться на любой частоте.

В точках на X оси , кратных четверти длины волны,

$x=\ldots ,-{3\lambda \over 2},\;-\lambda ,\;-{\lambda \over 2},\;0,\;{\lambda \over 2},\;\lambda ,\;{3\lambda \over 2},\ldots$

амплитуда всегда равна нулю. Эти места называются узлами . В точках на оси X , которые нечетно кратны четверти длины волны.

$x=\ldots ,-{5\lambda \over 4},\;-{3\lambda \over 4},\;-{\lambda \over 4},\;{\lambda \over 4},\;{3\lambda \over 4},\;{5\lambda \over 4},\ldots$

амплитуда максимальна, ее значение в два раза превышает амплитуду бегущих вправо и влево волн, которые интерферируют, создавая эту структуру стоячей волны. Эти места называются антиузлами . Расстояние между двумя последовательными узлами или пучностями составляет половину длины волны λ /2.

Стоячая волна на струне с двумя закрепленными концами

рассмотрим строку с фиксированными концами в точках x = 0 и x = L. Далее Струна будет иметь некоторое затухание, поскольку она растягивается бегущими волнами, но предположим, что затухание очень мало. Предположим, что к фиксированному концу x = 0 приложена синусоидальная сила, которая перемещает струну вверх и вниз в направлении y с небольшой амплитудой на некоторой частоте f . В этой ситуации движущая сила создает правостороннюю волну. Эта волна отражается от правого фиксированного конца и движется обратно влево, снова отражается от левого фиксированного конца и возвращается вправо и так далее. В конце концов, достигается устойчивое состояние, когда струна имеет одинаковые волны, бегущие вправо и влево, как и в случае бесконечной длины, а мощность, рассеиваемая при затухании в струне, равна мощности, подаваемой движущей силой, поэтому волны имеют постоянную амплитуду.

Уравнение ( 1 ) по-прежнему описывает структуру стоячей волны, которая может сформироваться на этой струне, но теперь уравнение ( 1 ) подчиняется граничным условиям , где y = 0 при x = 0 и x = L, поскольку струна зафиксирована в точке x = L и потому что мы предполагаем, что движущая сила на фиксированном конце x = 0 имеет небольшую амплитуду. Проверяем значения y на двух концах,

$y(0,t)=0,$

$y(L,t)=2y_{\text{max}}\sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)\cos(\omega t)=0.$

Стоячие волны в струне – основная мода и первые 5 гармоник .

Это граничное условие имеет форму формулировки Штурма – Лиувилля . Последнее граничное условие выполняется, когда $\sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)=0$. L задано, поэтому граничное условие ограничивает длину волны стоячих волн до

$\lambda ={\frac {2L}{n}},$ ( 2 )

$n=1,2,3,\ldots$

Волны могут образовывать стоячие волны на этой струне только в том случае, если их длина волны удовлетворяет этому соотношению с L . Если волны движутся со скоростью v вдоль струны, то, что эквивалентно, частота стоячих волн ограничивается величиной

$f={\frac {v}{\lambda }}={\frac {nv}{2L}}.$

Стоячая волна с n = 1 колеблется на основной частоте и имеет длину волны, в два раза превышающую длину струны. Более высокие целые значения n соответствуют режимам колебаний, называемым гармониками или обертонами . Любая стоячая волна на струне будет иметь n + 1 узел, включая фиксированные концы и n антиузлов.

Чтобы сравнить узлы этого примера с описанием узлов стоячих волн в строке бесконечной длины, уравнение ( 2 ) можно переписать как

$\lambda ={\frac {4L}{n}},$

$n=2,4,6,\ldots$

В этом варианте выражения для длины волны n должно быть четным. Перекрестное умножение мы видим, что, поскольку L является узлом, оно кратно четверти длины волны,

$L={\frac {n\lambda }{4}},$

$n=2,4,6,\ldots$

Этот пример демонстрирует тип резонанса , а частоты, вызывающие стоячие волны, можно назвать резонансными частотами .

Стоячая волна на струне с одним закрепленным концом

Анализ переходных процессов затухающей бегущей волны, отражающейся от границы

Далее рассмотрим ту же строку длины L , но на этот раз она зафиксирована только в точке x = 0 . При x = L струна может свободно перемещаться в направлении y . Например, веревку можно привязать в точке x = L к кольцу, которое может свободно скользить вверх и вниз по шесту. Струна снова имеет небольшое демпфирование и приводится в движение небольшой движущей силой в точке x = 0 .

В этом случае уравнение ( 1 ) по-прежнему описывает структуру стоячей волны, которая может сформироваться на струне, и струна имеет то же граничное условие y = 0 при x = 0 . Однако при x = L , где струна может свободно двигаться, должен быть пучность с максимальной амплитудой y . Эквивалентно, это граничное условие «свободного конца» можно сформулировать как ∂y/∂x = 0 при x = L , что имеет форму формулировки Штурма – Лиувилля . Интуиция для этого граничного условия ∂y/∂x = 0 при x = L заключается в том, что движение «свободного конца» будет следовать за движением точки слева от него.

Рассматривая уравнение ( 1 ), для x = L наибольшая амплитуда y возникает, когда ∂y/∂x = 0 , или

$\cos \left({2\pi L \over \lambda }\right)=0.$

Это приводит к другому набору длин волн, чем в примере с двумя фиксированными концами. Здесь длина стоячей волны ограничена

$\lambda ={\frac {4L}{n}},$

$n=1,3,5,\ldots$

Аналогично, частота ограничена

$f={\frac {nv}{4L}}.$

В этом примере n принимает только нечетные значения. Поскольку L является пучностью, она нечетно кратна четверти длины волны. Таким образом, основная мода в этом примере имеет только одну четверть полного синусоидального цикла – ноль при x = 0 и первый пик при x = L – первая гармоника имеет три четверти полного синусоидального цикла и так далее.

Этот пример также демонстрирует тип резонанса, а частоты, вызывающие стоячие волны, называются резонансными частотами .

Стоячая волна в трубе

Смотрите также: Акустический резонанс § Резонанс воздушной трубки

Рассмотрим стоячую волну в трубе L. длиной Воздух внутри трубы служит средой для продольных звуковых волн, распространяющихся по трубе вправо или влево. В то время как поперечные волны на струне из предыдущих примеров различаются по своему смещению перпендикулярно направлению движения волны, волны, распространяющиеся по воздуху в трубе, различаются по давлению и продольному смещению вдоль направления движения волны. Волна распространяется путем поочередного сжатия и расширения воздуха в сегментах трубы, что слегка вытесняет воздух из его исходного положения и передает энергию соседним сегментам за счет сил, оказываемых попеременным высоким и низким давлением воздуха. можно записать уравнения, подобные уравнениям для волны на струне Для изменения давления Δp из-за право- или левобегущей волны в трубе .

$\Delta p_{\text{R}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right),$

$\Delta p_{\text{L}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right),$

где

• p _max — амплитуда давления или максимальное увеличение или уменьшение давления воздуха за счет каждой волны,
• ω — угловая частота или, что эквивалентно, в 2π раз больше частоты f ,
• λ — длина волны.

Если по трубе проходят одинаковые бегущие вправо и влево волны, то результирующая суперпозиция описывается суммой

$\Delta p(x,t)=\Delta p_{\text{R}}(x,t)+\Delta p_{\text{L}}(x,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)\cos(\omega t).$

Эта формула для давления имеет ту же форму, что и уравнение ( 1 ), поэтому образуется стационарная волна давления, фиксированная в пространстве и колеблющаяся во времени.

Если конец трубы закрыт, давление максимально, поскольку закрытый конец трубы оказывает силу, ограничивающую движение воздуха. Это соответствует антиузлу давления (который является узлом молекулярных движений, поскольку молекулы вблизи закрытого конца не могут двигаться). Если конец трубы открыт, изменения давления очень малы, что соответствует узлу давления (который является антиузлом для молекулярных движений, поскольку молекулы вблизи открытого конца могут перемещаться свободно). Точное расположение узла давления на открытом конце фактически немного выходит за открытый конец трубы, поэтому эффективная длина трубы с целью определения резонансных частот немного больше, чем ее физическая длина. Эта разница в длине игнорируется в этом примере. Что касается отражений, открытые концы частично отражают волны обратно в трубу, позволяя высвободить некоторую энергию в наружный воздух. В идеале закрытые концы отражают всю волну обратно в другом направлении.

Сначала рассмотрим трубу, открытую с обоих концов, например, открытую органную трубу или блокфлейту . Учитывая, что давление должно быть равно нулю на обоих открытых концах, граничные условия аналогичны струне с двумя закрепленными концами:

$\Delta p(0,t)=0,$

$\Delta p(L,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)\cos(\omega t)=0,$

что происходит только тогда, когда длина волны стоячих волн равна

$\lambda ={\frac {2L}{n}},$

$n=1,2,3,\ldots ,$

или, что то же самое, когда частота

$f={\frac {nv}{2L}},$

где v — скорость звука .

Далее рассмотрим трубу, которая открыта в точке x = 0 (и, следовательно, имеет узел давления) и закрыта в точке x = L (и, следовательно, имеет антиузел давления). Замкнутое граничное условие «свободного конца» для давления при x = L можно сформулировать как ∂(Δp)/∂x = 0 , что имеет форму формулировки Штурма – Лиувилля . Интуитивно понятно, что для этого граничного условия ∂(Δp)/∂x = 0 при x = L давление закрытого конца будет следовать давлению точки слева от него. Примеры такой установки включают бутылку и кларнет . Эта труба имеет граничные условия, аналогичные струне только с одним закрепленным концом. Его стоячие волны имеют длину волны, ограниченную

$\lambda ={\frac {4L}{n}},$

$n=1,3,5,\ldots ,$

или, что то же самое, частота стоячих волн ограничена

$f={\frac {nv}{4L}}.$

В случае, когда один конец закрыт, n принимает только нечетные значения, как и в случае, когда строка зафиксирована только на одном конце.

Молекулярное представление стоячей волны с n = 2 для трубы, закрытой с обоих концов. Учитывая продольное смещение, молекулы на концах и молекулы в середине не смещаются волной, представляя собой узлы продольного смещения. На полпути между узлами находятся пучности продольного смещения, где молекулы смещены максимально. С учетом давления молекулы максимально сжаты и расширены на концах и в середине, представляя собой пучности давления. На полпути между пучностями находятся узлы давления, в которых молекулы не сжимаются и не расширяются при движении.

До сих пор волна описывалась в терминах давления как функции положения x и времени. Альтернативно, волну можно описать как продольное перемещение воздуха, при котором воздух в сегменте трубы слегка перемещается взад и вперед в направлении x , когда давление меняется, а волны распространяются в одном или обоих направлениях. Изменение давления Δp и продольное перемещение s связаны соотношением

$\Delta p=-\rho v^{2}{\frac {\partial s}{\partial x}},$

где ρ — плотность воздуха. С точки зрения продольного смещения закрытые концы труб соответствуют узлам, поскольку движение воздуха ограничено, а открытые концы соответствуют антиузлам, поскольку воздух может двигаться свободно. Аналогичное, более простое для визуализации явление имеет место в продольных волнах, распространяющихся вдоль пружины.

Мы также можем рассмотреть трубу, закрытую с обоих концов. В этом случае оба конца будут пучностями давления или, что эквивалентно, оба конца будут узлами смещения. Этот пример аналогичен случаю, когда оба конца открыты, за исключением того, что модель стоячей волны имеет π ⁄ 2 Сдвиг фазы по направлению x для смещения расположения узлов и пучностей. Например, самая длинная резонирующая длина волны (основная мода) снова в два раза превышает длину трубы, за исключением того, что на концах трубы вместо узлов давления имеются пучности давления. Между концами имеется один напорный узел. В случае двух закрытых концов длина волны снова ограничивается

$\lambda ={\frac {2L}{n}},$

$n=1,2,3,\ldots ,$

и частота снова ограничивается

$f={\frac {nv}{2L}}.$

Трубка Рубенса позволяет визуализировать изменения давления стоячих волн в трубке с двумя закрытыми концами.

2D стоячая волна с прямоугольной границей

Далее рассмотрим поперечные волны, которые могут двигаться вдоль двумерной поверхности внутри прямоугольной границы длиной L _x в направлении x и длиной L _y в направлении y . Примерами волн этого типа являются волны на воде в бассейне или волны на туго натянутом прямоугольном листе. Волны смещают поверхность в направлении z , причем z = 0 определяется как высота поверхности, когда она неподвижна.

В двух измерениях и декартовых координатах волновое уравнение имеет вид

${\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}\;=\;c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}\right),$

где

• z ( x , y , t ) — смещение поверхности,
• с — скорость волны.

Чтобы решить это дифференциальное уравнение, давайте сначала решим его преобразование Фурье с помощью

$Z(x,y,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }z(x,y,t)e^{-i\omega t}dt.$

Принимая преобразование Фурье волнового уравнения,

${\frac {\partial ^{2}Z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}Z}{\partial y^{2}}}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}Z(x,y,\omega ).$

Это проблема собственных значений , где частоты соответствуют собственным значениям, которые затем соответствуют частотно-зависимым режимам или собственным функциям. В частности, это форма уравнения Гельмгольца , и ее можно решить, используя разделение переменных . Предполагать

$Z=X(x)Y(y).$

Разделив уравнение Гельмгольца на Z ,

${\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=0.$

Это приводит к двум связанным обыкновенным дифференциальным уравнениям. Член x равен константе по отношению к x , которую мы можем определить как

${\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}=(ik_{x})^{2}.$

Решение для X ( x ),

$X(x)=A_{k_{x}}e^{ik_{x}x}+B_{k_{x}}e^{-ik_{x}x}.$

Эта зависимость от x является синусоидальной, напоминающей формулу Эйлера , с константами A _{k x} и B _{k x,} определяемыми граничными условиями. Аналогично, член y равен константе по отношению к y , которую мы можем определить как

${\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}=(ik_{y})^{2}=k_{x}^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}},$

и поэтому дисперсионное уравнение для этой волны имеет вид

$\omega =c{\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}.$

Решая дифференциальное уравнение для члена y ,

$Y(y)=C_{k_{y}}e^{ik_{y}y}+D_{k_{y}}e^{-ik_{y}y}.$

Умножая эти функции вместе и применяя обратное преобразование Фурье, z ( x , y , t ) представляет собой суперпозицию режимов, где каждый режим является продуктом синусоидальных функций для x , y и t ,

$z(x,y,t)\sim e^{\pm ik_{x}x}e^{\pm ik_{y}y}e^{\pm i\omega t}.$

Константы, определяющие точные синусоидальные функции, зависят от граничных и начальных условий. Чтобы увидеть, как применяются граничные условия, рассмотрим такой пример, как туго натянутый лист, где z ( x , y , t ) должно быть равно нулю по всей границе прямоугольника. Для x зависимости от z ( x , y , t ) должно меняться таким образом, чтобы оно могло быть равно нулю как при x = 0 , так и при x = L _x для всех значений y и t . Как и в одномерном примере струны, закрепленной на обоих концах, синусоидальная функция, удовлетворяющая этому граничному условию, равна

$\sin {k_{x}x},$

с k _x, ограниченным

$k_{x}={\frac {n\pi }{L_{x}}},\quad n=1,2,3,\dots$

Аналогично, y ) от зависимость z ( x , y , t должна быть нулевой как при y = 0 , так и при y = L _y , чему удовлетворяет соотношение

$\sin {k_{y}y},\quad k_{y}={\frac {m\pi }{L_{y}}},\quad m=1,2,3,\dots$

Ограничение волновых чисел этими значениями также ограничивает частоты, которые резонируют с

$\omega =c\pi {\sqrt {\left({\frac {n}{L_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {m}{L_{y}}}\right)^{2}}}.$

Если начальные условия для z ( x , y ,0) и ее производной по времени ż ( x , y ,0) выбраны так, что t -зависимость является косинусоидальной функцией, то стоячие волны для этой системы принимают вид

$z(x,y,t)=z_{\text{max}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {m\pi y}{L_{y}}}\right)\cos \left(\omega t\right).$

$n=1,2,3,\dots \quad m=1,2,3,\dots$

Итак, стоячие волны внутри этой фиксированной прямоугольной границы колеблются во времени на определенных резонансных частотах, параметризованных целыми числами n и m . Поскольку они колеблются во времени, они не перемещаются, и их пространственные изменения являются синусоидальными как в направлениях x , так и в направлениях y, так что они удовлетворяют граничным условиям. Основная мода n = 1 и m = 1 имеет единственный пучность в середине прямоугольника. Варьирование n и m дает сложную, но предсказуемую двумерную структуру узлов и пучностей внутри прямоугольника.

Согласно закону дисперсии, в определенных ситуациях разные моды, то есть разные комбинации n и m, могут резонировать на одной и той же частоте, даже если они имеют разные формы зависимости от x и y . Например, если граница квадратная, L _x = L _y , моды n = 1 и m = 7 , n = 7 и m = 1 , а также n = 5 и m = 5 все резонируют на частоте

$\omega ={\frac {c\pi }{L_{x}}}{\sqrt {50}}.$

Вспоминая, что ω частоты определяет собственное значение в приведенном выше уравнении Гельмгольца, количество мод, соответствующих каждой частоте, связано с кратностью как собственным значением.

Коэффициент стоячей волны, фаза и передача энергии

Основная статья: Коэффициент стоячей волны

Если две бегущие в противоположном направлении волны не имеют одинаковой амплитуды, они не будут полностью компенсироваться в узлах, точках, где волны сдвинуты по фазе на 180 °, поэтому амплитуда стоячей волны не будет равна нулю в узлах. а всего лишь минимум. Коэффициент стоячей волны (КСВ) — это отношение амплитуды в пучности (максимум) к амплитуде в узле (минимум). Чистая стоячая волна будет иметь бесконечный КСВ. Он также будет иметь постоянную фазу в любой точке пространства (но может поворачиваться на 180° каждые полпериода). Конечный ненулевой КСВ указывает на частично стационарную и частично бегущую волну. Такие волны можно разложить на суперпозицию двух волн: компонента бегущей волны и компонента стационарной волны. КСВ, равный единице, указывает на то, что волна не имеет стационарной составляющей – это чисто бегущая волна, поскольку отношение амплитуд равно 1.

Чистая стоячая волна не передает энергию от источника к месту назначения. Однако волна все равно подвержена потерям в среде. Такие потери проявятся в виде конечного КСВ, указывая на то, что компонент бегущей волны покидает источник и компенсирует потери. Несмотря на то, что КСВ теперь конечен, все равно может случиться так, что энергия не достигнет места назначения, потому что движущийся компонент просто компенсирует потери. Однако в среде без потерь конечный КСВ предполагает определенную передачу энергии к месту назначения.

Примеры

Одним из простых примеров, позволяющих понять стоячие волны, являются два человека, трясущие оба конца скакалки . Если они трясутся синхронно, веревка может образовывать регулярный узор волн, колеблющихся вверх и вниз, со стационарными точками вдоль веревки, где веревка почти неподвижна (узлы), и точками, где дуга веревки максимальна (пучности).

Акустический резонанс

Основная статья: Акустический резонанс

Продолжительность: 8 секунд. 0:08

Первоначально предполагалось , что шестиугольное облако на северном полюсе Сатурна представляет собой стоячие волны Россби . Однако в последнее время это объяснение было оспорено.

Стоячие волны также наблюдаются в физических средах, таких как струны и столбы воздуха. Любые волны, распространяющиеся по среде, отражаются обратно, когда достигают конца. Этот эффект наиболее заметен в музыкальных инструментах, где при различных частотах, кратных вибрирующей струны или столба воздуха собственной частоте , создается стоячая волна, позволяющая гармоники идентифицировать . Узлы встречаются на фиксированных концах, а антиузлы на открытых концах. Если зафиксировано только на одном конце, доступны только нечетные гармоники. На открытом конце трубы антиузел не будет находиться точно на конце, так как он изменяется при контакте с воздухом, поэтому коррекция конца для его точного размещения используется . Плотность струны будет влиять на частоту, на которой будут воспроизводиться гармоники; чем больше плотность, тем ниже должна быть частота, чтобы создать стоячую волну той же гармоники.

Видимый свет

Стоячие волны также наблюдаются в оптических средах, таких как оптические волноводы и оптические резонаторы . В лазерах используются оптические резонаторы в виде пары обращенных зеркал, которые составляют интерферометр Фабри-Перо . Усиливающая среда в резонаторе (например, кристалл излучает свет ) когерентно , возбуждая стоячие волны света в резонаторе. Длина волны света очень коротка (в диапазоне нанометров , 10 ⁻⁹ м), поэтому стоячие волны имеют микроскопические размеры. Одним из применений стоячих световых волн является измерение небольших расстояний с помощью оптических плоскостей .

Рентгеновские лучи

Интерференция между рентгеновскими лучами может образовывать поле стоячей рентгеновской волны (XSW). Из-за короткой длины волны рентгеновских лучей (менее 1 нанометра) это явление можно использовать для измерения событий атомного масштаба на поверхностях материалов . XSW генерируется в области, где рентгеновский луч интерферирует с дифрагированным лучом от почти идеальной поверхности монокристалла или отражением от рентгеновского зеркала . Настраивая геометрию кристалла или длину волны рентгеновского излучения, XSW можно перемещать в пространстве, вызывая сдвиг рентгеновской флуоресценции или выхода фотоэлектронов из атомов вблизи поверхности. Этот сдвиг можно проанализировать, чтобы точно определить расположение определенного вида атомов относительно основной кристаллической структуры или зеркальной поверхности. Метод XSW использовался для уточнения деталей примесей в полупроводниках на атомном уровне. атомная и молекулярная адсорбция на поверхностях, и химические превращения, участвующие в катализе .

Механические волны

Стоячие волны можно механически индуцировать в твердой среде с помощью резонанса. Один простой для понимания пример: два человека трясут оба конца скакалки. Если они трясутся синхронно, веревка образует регулярный узор с узлами и пучностями и будет казаться стационарной, отсюда и название стоячая волна. Аналогичным образом, на консольную балку может быть наложена стоячая волна путем применения базового возбуждения. В этом случае свободный конец перемещается на наибольшее расстояние в поперечном направлении по сравнению с любым местом вдоль балки. Такое устройство можно использовать в качестве датчика для отслеживания изменений частоты или фазы резонанса волокна. Одно из применений — измерительное устройство для размерной метрологии .

Сейсмические волны

Стоячие поверхностные волны на Земле наблюдаются как свободные колебания Земли .

Волны Фарадея

Волна Фарадея представляет собой нелинейную стоячую волну на границе раздела воздух-жидкость, вызванную гидродинамической неустойчивостью. Его можно использовать в качестве шаблона на жидкой основе для сборки микромасштабных материалов.

Каракатица

Сейша — это пример стоячей волны в замкнутом водоеме. Он характеризуется колебательным поведением уровня воды на обоих концах тела и обычно имеет узловую точку около середины тела, где наблюдается очень незначительное изменение уровня воды. Его следует отличать от простого штормового нагона , при котором колебания отсутствуют. В крупных озерах период таких колебаний может составлять от минут до часов, например, продольный период Женевского озера составляет 73 минуты, а его поперечная сейша имеет период около 10 минут. в то время как озеро Гурон имеет резонансы с периодами от 1 до 2 часов. См. Озеро Сейши .

См. также

Волны

• Указатель волновых статей :
• Амфидромная точка
• Притирка
• Продольный режим
• Блокировка режима
• Метахронный ритм
• Резонансные комнатные моды
• Каракатица
• Труба
• трубка Кундта
• Волновое уравнение
• Одностороннее волновое уравнение

Электроника

• Указатель статей по электронике :
• Резонатор полости
• Характеристический импеданс
• Киматика
• Импеданс
• Обычный режим

Ссылки

• Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт; Уокер, Джерл (2005). Основы физики (7-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-42959-7 .
• Сервей, Раймонд А.; Фон, Джерри С. (1992). Колледж физики (3-е изд.). Издательство Колледжа Сондерса. ISBN  0-03-076377-0 .
• Улицы, Дж. (2010). «Глава 16 – Суперпозиция и стоячие волны» (PDF) . Кафедра физики. PHYS122 Основы физики II. Университет Мэриленда . Проверено 23 августа 2020 г.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные со стоячими волнами, на Викискладе?