Аналитическая теорема Фредгольма

В математике аналитическая теорема Фредгольма является результатом существования ограниченных обратных для семейства ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве . Это основа двух классических и важных теорем: альтернативы Фредгольма и теоремы Гильберта-Шмидта . Результат назван в честь шведского математика Эрика Ивара Фредхольма .

Формулировка теоремы

Пусть G ⊆ C — область ( открытое и связное множество ). Пусть ( H , ⟨ , ⟩) — вещественное или комплексное гильбертово пространство и пусть Lin( H ) обозначает пространство ограниченных линейных операторов из H в себя; позвольте мне обозначить тождественный оператор . Пусть B : G → Lin( H ) — отображение такое, что

• B аналитичен на G в том смысле, что предел $$\lim _{\lambda \to \lambda _{0}}{\frac {B(\lambda )-B(\lambda _{0})}{\lambda -\lambda _{0}}}$$ существует для λ0 _всех ∈ G ; и
• оператор B ( λ ) является компактным оператором для каждого λ ∈ G .

Тогда либо

• ( я - B ( λ )) ⁻¹ не существует ни для одного λ ∈ G ; или
• ( я - B ( λ )) ⁻¹ существует для любого λ ∈ G \ S , где S — дискретное подмножество G ) (т. е. S не имеет предельных точек в G . В этом случае функция, переводящая λ в ( I − B ( λ )) ⁻¹ аналитично на G \ S , и если λ ∈ S , то уравнение $$B(\lambda )\psi =\psi$$ имеет конечномерное семейство решений.

Ссылки

• Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных . Тексты по прикладной математике 13 (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 266. ИСБН  0-387-00444-0 . (Теорема 8.92)