8-симплексные соты

8-симплексные соты
(Нет изображения)
Тип	Униформа 8-сотовая
Семья	Симплектические соты
Символ Шлефли	{3 ^[9]}
Диаграмма Кокстера
6-гранные типы	{3 ⁷} , т ₁ {3 ⁷} т ₂ {3 ⁷} , т ₃ {3 ⁷}
6-гранные типы	{3 ⁶} , т ₁ {3 ⁶} т ₂ {3 ⁶} , т ₃ {3 ⁶}
6-гранные типы	{3 ⁵} , т ₁ {3 ⁵} т ₂ {3 ⁵}
5-гранные типы	{3 ⁴} , т ₁ {3 ⁴} т ₂ {3 ⁴}
4-гранные типы	{3 ³} , т ₁ {3 ³}
Типы ячеек	{3,3} , т ₁ {3,3}
Типы лица	{3}
Вершинная фигура	т _0,7 {3 ⁷}
Симметрия	${\tilde {A}}_{8}$ ×2, [[3 ^[9]]]
Характеристики	вершинно-транзитивный

В восьмимерной евклидовой геометрии 8 -симплексные соты заполняющую пространство представляют собой мозаику (или соты ), . Тесселяция заполняет пространство 8-симплексными , выпрямленными 8-симплексными , двуисправленными 8-симплексными и триректифицированными 8-симплексными гранями. Эти типы граней встречаются в пропорциях 1:1:1:1 во всех сотах соответственно.

Решетка А8

Такое расположение вершин называется решеткой А8 или 8-симплексной решеткой . 72 вершины расширенной 8-симплексной вершинной фигуры представляют собой 72 корня ${\tilde {A}}_{8}$ Группа Кокстера. ^[1] Это 8-мерный случай симплектических сот . Вокруг каждой вершинной фигуры расположено 510 граней: 9+9 8-симплексных , 36+36 выпрямленных 8-симплексных , 84+84 биректифицированных 8-симплексных , 126+126 триисправленных 8-симплексных , с распределением отсчета из 10-й строки треугольника Паскаля. .

${\tilde {E}}_{8}$ содержит ${\tilde {A}}_{8}$ как подгруппа индекса 5760. ^[2] Оба ${\tilde {E}}_{8}$ и ${\tilde {A}}_{8}$ можно рассматривать как аффинное расширение $A_{8}$ из разных узлов:

А ³
_{Решетка 8} представляет собой объединение трех решеток А ₈ и также идентична решетке Е8 . ^[3]

∪

=

.

А ^*
_{Решетка 8} (также называемая A ⁹
₈ ) представляет собой объединение девяти решеток A ₈ и имеет расположение вершин двойственных сот к всеусеченным 8-симплексным сотам , и поэтому ячейка Вороного этой решетки представляет собой всеусеченную 8-симплексную соту.

∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ = двойственное .

Связанные многогранники и соты

Эта сота — одна из 45 уникальных однородных сот. ^[4] построенный тот ${\tilde {A}}_{8}$ Группа Кокстера . Симметрию можно умножить на кольцевую симметрию диаграмм Кокстера :

Соты А8
Enneagon symmetry	Symmetry	Extended diagram	Extended group	Honeycombs
a1	[3^[9]]		${\tilde {A}}_{8}$
i2	[[3^[9]]]		${\tilde {A}}_{8}$ ×2	₁ ₂
i6	[3[3^[9]]]		${\tilde {A}}_{8}$ ×6
r18	[9[3^[9]]]		${\tilde {A}}_{8}$ ×18	₃

Проекция путем складывания

8 -симплексные соты можно спроецировать в 4-мерные тессерактические соты с помощью операции геометрического складывания , которая отображает две пары зеркал друг на друга, имеющих одинаковое расположение вершин :

${\tilde {A}}_{8}$
${\tilde {C}}_{4}$

См. также

Правильные и однородные соты в 8-мерном пространстве:

Примечания

^ «Решетка А8» .
^ Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 12: Евклидовы группы симметрии, стр.294
^ Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter, Статья 18, «Крайние формы» (1950)
^ * Вайсштейн, Эрик В. «Ожерелье» . Математический мир . , OEIS последовательность A000029 46-1 случаев, пропуская один с нулевыми отметками

Ссылки

Нормана Джонсона Равномерные многогранники , Рукопись (1991)
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380–407, МР 2,10] (1.9 Равномерные заполнения пробелов)
- (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3–45]

v т и Основные выпуклые правильные и однородные соты размеров 2–9.
Космос	Семья	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / ${\tilde {F}}_{4}$ / ${\tilde {E}}_{n-1}$
И ²	Равномерная укладка плитки	{3 ^[3]}	д ₃	HD ₃	квартал ₃	Шестиугольный
И ³	Равномерные выпуклые соты	{3 ^[4]}	д ₄	HD ₄	4 _{квартала}
И ⁴	Униформа 4-сотовая	{3 ^[5]}	д ₅	hδ ₅	qδ ₅	24-ячеистые соты
И ⁵	Униформа 5-сотовая	{3 ^[6]}	д ₆	HD ₆	qδ ₆
И ⁶	Униформа 6-сотовая	{3 ^[7]}	д ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
И ⁷	Униформа 7-сотовая	{3 ^[8]}	д ₈	hδ ₈	8 _{кварталов}	1 ₃₃ • 3 ₃₁
И ⁸	Униформа 8-сотовая	{3 ^[9]}	д ₉	HD ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
И ⁹	Униформа 9-сотовая	{3 ^[10]}	д ₁₀	HD ₁₀	10 _{кварталов}
И ¹⁰	Униформа 10-сотовая	{3 ^[11]}	д ₁₁	HD ₁₁	qδ ₁₁
И ^{п -1}	Равномерный ( n -1)- сотовый	{3 ^[н]}	δ _н	hδ _н	qδ _н	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁

[1] «Решетка А8» .

[2] Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 12: Евклидовы группы симметрии, стр.294

[3] Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter, Статья 18, «Крайние формы» (1950)

[4] * Вайсштейн, Эрик В. «Ожерелье» . Математический мир . , OEIS последовательность A000029 46-1 случаев, пропуская один с нулевыми отметками

[1]

[2]

[3]

[4]