Граничное условие Дирихле

В математике Дирихле граничное условие накладывается на обыкновенное уравнение или уравнение в частных производных , так что значения, которые решение принимает вдоль границы области, фиксированы. Вопрос о поиске решений таких уравнений известен как задача Дирихле . В науке и технике граничное условие Дирихле также может называться фиксированным граничным условием или граничным условием первого типа . Он назван в честь Питера Густава Лежена Дирихле (1805–1859). ^[1]

В анализе методом конечных элементов существенное граничное условие или условие Дирихле определяется взвешенно-интегральной формой дифференциального уравнения. ^[2] Зависимая неизвестная u в той же форме, что и весовая функция w, появляющаяся в граничном выражении, называется первичной переменной , а ее спецификация представляет собой существенное граничное условие или условие Дирихле.

Примеры

ОДА

для обыкновенного дифференциального уравнения Например, $y''+y=0,$ граничные условия Дирихле на отрезке $[a, b]$ принимают вид $y(a)=\alpha ,\quad y(b)=\beta ,$ где $α$ и $β$ — заданные числа.

ПДЭ

для уравнения в частных производных Например, $\nabla ^{2}y+y=0,$ где $\nabla ^{2}$ обозначает оператор Лапласа , граничные условия Дирихле в области $Ω \subset R н$ принять форму $y(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega ,$ где $f$ — известная функция, определенная на границе $\partialΩ$ .

Приложения

Например, граничными условиями Дирихле можно считать следующие:

В машиностроении и гражданском строительстве ( теория балки ), где один конец балки удерживается в фиксированном положении в пространстве.
В теплопередаче , когда поверхность поддерживается при фиксированной температуре.
В электростатике , где узел цепи поддерживается под постоянным напряжением.
В гидродинамике для условие прилипания вязких жидкостей гласит, что на твердой границе жидкость будет иметь нулевую скорость относительно границы.

Другие граничные условия

Возможны многие другие граничные условия, включая граничные условия Коши и смешанные граничные условия . Последнее представляет собой комбинацию условий Дирихле и Неймана .

См. также

Ссылки

^ Ченг, А.; Ченг, Д.Т. (2005). «Наследие и ранняя история метода граничных элементов». Инженерный анализ с граничными элементами . 29 (3): 268–302. дои : 10.1016/j.enganabound.2004.12.001 .
^ Редди, JN (2009). «Дифференциальные уравнения второго порядка в одном измерении: модели конечных элементов». Введение в метод конечных элементов (3-е изд.). Бостон: МакГроу-Хилл. п. 110. ИСБН 978-0-07-126761-8 .

[1] Ченг, А.; Ченг, Д.Т. (2005). «Наследие и ранняя история метода граничных элементов». Инженерный анализ с граничными элементами . 29 (3): 268–302. дои : 10.1016/j.enganabound.2004.12.001 .

[2] Редди, JN (2009). «Дифференциальные уравнения второго порядка в одном измерении: модели конечных элементов». Введение в метод конечных элементов (3-е изд.). Бостон: МакГроу-Хилл. п. 110. ИСБН 978-0-07-126761-8 .

[1]

[2]