Экспоненциальный рост

Экспоненциальный рост происходит, когда количество А растет со скоростью, непосредственно пропорциональным его нынешнему размеру. Например, когда он в 3 раза больше, чем сейчас, он будет расти в 3 раза быстрее, чем сейчас.

На более техническом языке его мгновенная скорость изменений (то есть производная ) количества по отношению к независимой переменной пропорциональна самой величине. Часто независимая переменная - время. Описанная как функция , количество, перенесшее экспоненциальный рост, является экспоненциальной функцией времени, то есть переменной, представляющей время, является экспонентом (в отличие от других типов роста, таких как квадратичный рост ). Экспоненциальный рост является обратным логарифмического роста .

Не все случаи роста с постоянно растущей скоростью являются случаями экспоненциального роста. Например, функция ${\textstyle f(x)=x^{3}}$ Растет постоянно растущей скоростью, но очень удален от роста в геометрической прогрессии. Например, когда ${\textstyle x=1,}$ он растет в 3 раза его размера, но когда ${\textstyle x=10}$ Он растет на 30% от своего размера. Если экспоненциально растущая функция растет со скоростью, которая в 3 раза находится, присутствует, то она всегда растет со скоростью, которая в 3 раза его нынешнего размера. Когда он в 10 раз больше, чем сейчас, он будет расти в 10 раз быстрее.

Если константа пропорциональности является отрицательной, то количество со временем уменьшается и, как говорят, подвергается экспоненциальному распаду . В случае дискретной области определения с равными интервалами, он также называется геометрическим ростом или геометрическим распадом, поскольку значения функции образуют геометрическое прогрессирование .

Формула для экспоненциального роста переменной $x$ в скорости роста $R$ , с течением времени $t$ происходит в отдельных интервалах (то есть в целое время 0, 1, 2, 3, ...), является

$x_{t}=x_{0}(1+r)^{t}$

где $x 0$ - значение $x$ в момент времени 0. Рост бактериальной колонии часто используется для его иллюстрации. Одна бактерия разбивается на две, каждая из которых расщепляет себя, в результате чего четыре, затем восемь, 16, 32 и так далее. Количество увеличения продолжает расти, потому что оно пропорционально постоянно растущему количеству бактерий. Такой рост наблюдается в реальной активности или явлениях, таких как распространение вирусной инфекции, рост долга из-за совокупного интереса и распространение вирусных видео . В реальных случаях начальный экспоненциальный рост часто не длится вечно, вместо этого замедляясь в конечном итоге из -за верхних пределов, вызванных внешними факторами и превращением в логистический рост .

Такие термины, как «экспоненциальный рост», иногда неправильно интерпретируются как «быстрый рост». Действительно, что -то, что растет в геометрической прогрессии, на самом деле может поначалу расти медленно. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Примеры

Бактерии демонстрируют экспоненциальный рост в оптимальных условиях.

Биология

Количество микроорганизмов в культуре увеличится в геометрической прогрессии до тех пор, пока существенное питательное вещество не исчерпано, поэтому для роста большего количества организмов больше нет питательных веществ. Как правило, первый организм расщепляется на два дочерних организма, которые затем распределялись, чтобы сформировать четыре, которые расстались, чтобы сформировать восемь, и так далее. Поскольку экспоненциальный рост указывает на постоянную скорость роста, часто предполагается, что экспоненциально растущие клетки находятся в стационарном состоянии. Тем не менее, клетки могут расти в геометрической прогрессии с постоянной скоростью при ремоделировании их метаболизма и экспрессии генов. ^{[ 3 ]}
Вирус (например, COVID-19 , или оспа ), как правило, поначалу распространяется экспоненциально, если не искусственная иммунизация доступна . Каждый зараженный человек может заразить несколько новых людей.

Физика

Лавина распада в диэлектрическом материале. Свободный электрон становится достаточно ускоренным из -за внешнего электрического поля , и он освобождает дополнительные электроны, поскольку он сталкивается с атомами или молекулами диэлектрической среды. Эти вторичные электроны также ускоряются, создавая большее количество свободных электронов. Результирующий экспоненциальный рост электронов и ионов может быстро привести к полному расщеплению диэлектрического материала.
Ядерная цепная реакция (концепция ядерных реакторов и ядерного оружия ). Каждое урановое ядро , которое подвергается делению, производит несколько нейтронов , каждый из которых может поглощать соседними атомами урана, что вызывает их деление по очереди. Если вероятность поглощения нейтронов превышает вероятность выхода нейтронов ( функция формы и . массы урана), скорость производства нейтронов и индуцированные урановые приложения увеличивается в геометрической прогрессии в неконтролируемой реакции «Из -за экспоненциальной скорости увеличения в любой точке цепной реакции 99% энергии будут выпущены за последние 4,6 поколения. Это разумное приближение, чтобы подумать о первых 53 поколениях как о периоде задержки, что привело к Фактический взрыв, который занимает всего 3–4 поколения ». ^{[ 4 ]}
Положительная обратная связь в линейном диапазоне электрического или электроакустического усиления может привести к экспоненциальному росту усиленного сигнала, хотя резонансные эффекты могут способствовать некоторым компонентным частотам сигнала над другими.

Экономика

Экономический рост выражается в процентном отношении, подразумевая экспоненциальный рост.

Финансы

Составной процент по постоянной процентной ставке обеспечивает экспоненциальный рост капитала. ^{[ 5 ]} См. Также правило 72 .
Схемы пирамиды или схемы Ponzi также показывают этот тип роста, что приводит к высокой прибыли для нескольких первоначальных инвесторов и убытков среди большого количества инвесторов.

Информатика

Обработка мощности компьютеров. См. Также Закон Мура и технологическая особенность . (При экспоненциальном росте нет особого смысла. Сингулярность здесь - это метафора, предназначенная для того, чтобы передать невообразимое будущее. Связь этой гипотетической концепции с экспоненциальным ростом наиболее вокально сделана футуристом Рэем Курцвейлом .)
В теории вычислительной сложности компьютерные алгоритмы экспоненциальной сложности требуют экспоненциально увеличивающегося количества ресурсов (например, время, компьютерная память) только для постоянного увеличения размера задачи. Итак, для алгоритма сложности времени $2 х$ , если проблема размера $x = 10$ требует 10 секунд для завершения, а проблема размера $x = 11$ требует 20 секунд, то проблема размера $x = 12$ потребует 40 секунд. Этот вид алгоритма обычно становится непригодным для очень маленьких размеров проблем, часто от 30 до 100 предметов (большинство компьютерных алгоритмов должны иметь возможность решать гораздо большие проблемы, до десятков тысяч или даже миллионов предметов в разумные времена, что будет быть физически невозможным с экспоненциальным алгоритмом). Кроме того, последствия закона Мура не помогают ситуации, потому что удвоение скорости процессора просто увеличивает возможный размер проблемы на постоянную. Например, если медленный процессор может решить проблемы размера $x$ во времени $t$ , то процессор в два раза быстрее может решить только проблемы размера $x +$ в одно и то же время $t$ . Таким образом, экспоненциально сложные алгоритмы чаще всего непрактичны, и поиск более эффективных алгоритмов является одной из центральных целей компьютерных наук сегодня.

Интернет -явления

Интернет -содержимое, такое как интернет -мемы или видео , может распространяться экспоненциально, часто говорят, что « вирус » в качестве аналогии с распространением вирусов. ^{[ 6 ]} С такими средствами массовой информации, как социальные сети , один человек может одновременно переслать тот же контент многим людям, которые затем распространяют его еще большему количеству людей, и так далее, вызывая быстрое распространение. ^{[ 7 ]} Например, стиль видео Gangnam был загружен на YouTube 15 июля 2012 года, достигнув сотни тысяч зрителей в первый день, миллионы в двадцатый день, и в совокупности просмотрели сотни миллионов менее чем за два месяца. ^{[ 6 ]}^{[ 8 ]}

Основная формула

Количество $x$ зависит в геометрической прогрессии от времени $t,$ если $x(t)=a\cdot b^{t/\tau }$ где постоянная $a$ - это начальное значение $x$ , $x(0)=a\,,$ Постоянный $B$ является положительным фактором роста, а $τ$ - постоянная времени - время, необходимое для $увеличения x$ одним фактором $B$ : $x(t+\tau )=a\cdot b^{(t+\tau )/\tau }=a\cdot b^{t/\tau }\cdot b^{\tau /\tau }=x(t)\cdot b\,.$

Если $τ > 0$ и $b > 1$ , то $x$ имеет экспоненциальный рост. Если $τ <0$ и $b > 1$ , или $τ > 0$ и $0 < b <1$ , то $x$ имеет экспоненциальный распад .

Пример: если вид бактерий удваивается каждые десять минут, начиная только с одной бактерии, сколько бактерий будет присутствовать через час? Вопрос подразумевает $a = 1$ , $b = 2$ и $τ = 10 мин$ .

$x(t)=a\cdot b^{t/\tau }=1\cdot 2^{t/(10{\text{ min}})}$ $x(1{\text{ hr}})=1\cdot 2^{(60{\text{ min}})/(10{\text{ min}})}=1\cdot 2^{6}=64.$

Через час, или шесть десятиминутных интервалов, будет шестьдесят четыре бактерии.

Многие пары $(B, τ)$ числа бессигрательного с $B$ и количества времени $τ$ ( физическая величина , которая может быть выражена в качестве продукта ряда единиц и единицы времени), представляет одинаковую скорость роста, $τ$ пропорционально $log b$ . Для любого фиксированного $B,$ не равного 1 (например, E или 2), скорость роста определяется ненулевым временем $τ$ . В течение любого ненулевого времени $τ$ скорость роста определяется безразмерным положительным числом $b$ .

Таким образом, закон экспоненциального роста может быть написан в разных, но математически эквивалентных формах, используя другую базу . Наиболее распространенные формы - следующие: $x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }=x_{0}\cdot 2^{t/T}=x_{0}\cdot \left(1+{\frac {r}{100}}\right)^{t/p},$ где $x 0$ выражает начальное количество $x (0)$ .

Параметры (отрицательные в случае экспоненциального распада):

Константа роста $k$ - это частота (количество раз за единицу времени) выращивания в коэффициенте $E$ ; В финансах это также называется логарифмической возвратом, непрерывной составной доходностью или заинтересованной силой .
Время электронного состава τ -это время, необходимое для выращивания в какое-то время .
Время удвоения t - это время, которое нужно, чтобы удвоиться.
Процентное увеличение $r$ (безразмерное число) в период $с$ .

Количество $k$ , $τ$ и $t$ для данного $P$ , также $, а также$ имеют соединение один к одному, данное следующим уравнением (которое можно получить, принимая естественный логарифм вышеизложенного): $k={\frac {1}{\tau }}={\frac {\ln 2}{T}}={\frac {\ln \left(1+{\frac {r}{100}}\right)}{p}}$ где $k = 0$ соответствует $r = 0$ , а $τ$ и $t$ - бесконечно.

Если $p$ - единица времени, коэффициент $t / p$ - это просто количество единиц времени. Используя нотацию $t$ для (безразмерного) количества единиц времени, а не самого времени, $T / P$ может быть заменен T на $T$ , но для однородности этого было избежано здесь. В этом случае деление $P$ в последней формуле также не является численным делением, но преобразует безразмерное число в правильное количество, включая единицу.

Популярный аппроксимированный метод расчета времени удвоения с точки зрения роста - это правило 70 , то есть, $T\simeq 70/r$ .

Графики, сравнивающие время удвоения и половину жизни экспоненциальных ростов (жирные линии) и распада (слабые линии), и их 70/ T и 72/ T. приближения В версии SVG наведите на график, чтобы выделить его и его дополнение.

Переформулировка как логарифмический рост

Если переменная $x$ демонстрирует экспоненциальный рост в соответствии с $x(t)=x_{0}(1+r)^{t}$ , затем журнал (на любое основание) $x$ растет линейно с течением времени, как видно, принимая логарифмы обеих сторон уравнения экспоненциального роста: $\log x(t)=\log x_{0}+t\cdot \log(1+r).$

Это позволяет экспоненциально растущей переменной моделировать с помощью логарифмической модели . Например, если кто -то хочет эмпирически оценить скорость роста по межвременным данным о $X$ , можно линейно регрессировать $журнал x$ на $t$ .

Дифференциальное уравнение

Экспоненциальная функция $x(t)=x_{0}e^{kt}$ удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению : ${\frac {dx}{dt}}=kx$ Сказание, что изменение в момент времени $x$ в момент времени $t$ пропорционально значению $x (t)$ , а $x (t)$ имеет начальное значение $x(0)=x_{0}$ .

Дифференциальное уравнение решается путем прямой интеграции: ${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=kx\\[5pt]{\frac {dx}{x}}&=k\,dt\\[5pt]\int _{x_{0}}^{x(t)}{\frac {dx}{x}}&=k\int _{0}^{t}\,dt\\[5pt]\ln {\frac {x(t)}{x_{0}}}&=kt.\end{aligned}}$ так что $x(t)=x_{0}e^{kt}.$

В приведенном выше дифференциальном уравнении, если $k <0$ , то количество испытывает экспоненциальный распад .

Для нелинейного изменения этой модели роста см. Логистическую функцию .

Другие темпы роста

В конечном счете, экспоненциальный рост любого рода будет настигнуть линейный рост любого роста (который является основой малтузийской катастрофы ), а также любого полиномиального роста, то есть для всех $α$ : $\lim _{t\to \infty }{\frac {t^{\alpha }}{ae^{t}}}=0.$

Существует целая иерархия мыслимых темпов роста, которые медленнее, чем экспоненциальные и быстрее, чем линейные (в долгосрочной перспективе). См. Степень полиномиального §, рассчитанного из значений функции .

Темпы роста также могут быть быстрее, чем экспоненциальные. В наиболее крайнем случае, когда рост увеличивается без ограничения в конечное время, он называется гиперболическим ростом . Между ними между экспоненциальным и гиперболическим ростом лежат больше классов поведения роста, таких как гиперибации, начиная с тетрации , и $A(n,n)$ , диагональ функции Ackermann .

Логистический рост

В действительности, начальный экспоненциальный рост часто не поддерживается навсегда. Через некоторое время это будет замедлено с помощью внешних факторов или факторов окружающей среды. Например, рост населения может достигать верхнего предела из -за ограничений ресурсов. ^{[ 9 ]} В 1845 году бельгийский математик Пьер Франсуа Верхулст впервые предложил математическую модель роста, подобную этой, называемой « логистическим ростом ». ^{[ 10 ]}

Ограничения моделей

Модели экспоненциального роста физических явлений применяются только в ограниченных регионах, поскольку неограниченный рост не является физически реалистичным. Хотя рост может изначально быть экспоненциальным, моделируемые явления в конечном итоге войдут в область, в которой ранее игнорируемые факторы отрицательной обратной связи станут значительными (приводя к модели логистического роста ) или других основных предположений о модели экспоненциального роста, таких как непрерывность или мгновенная обратная связь, разрыв вниз.

Экспоненциальный предвзятость роста

Исследования показывают, что люди испытывают трудности с пониманием экспоненциального роста. Экспоненциальное смещение роста - это тенденция недооценивать процессы роста соединений. Этот предвзятость также может иметь финансовые последствия. ^{[ 11 ]}

Рис на шахматной доске

Согласно Legend, Vizier Sissa Ben Dahir представила индийского короля шариама красивой шахматной доске ручной работы . Король спросил, что он хотел бы в обмен на свой дар, и придворный удивил короля, попросив одно рис на первом квадрате, два зерна на втором, четыре зерна на третьем и так далее. Король с готовностью согласился и попросил принести рис. Сначала все прошло хорошо, но требование на $2 n -1$ площади зерна на $На 21 -й$ площади потребовались более миллиона зерен, а на 41 -м - более миллиона миллионов ( он же триллион ), и во всем мире просто было недостаточно риса для финальных площадок. (От Swirski, 2006) ^{[ 12 ]}

« Вторая половина шахматной доски » относится к тому времени, когда экспоненциально растущее влияние оказывает значительное экономическое влияние на общую бизнес -стратегию организации.

Водяная лилия

Французским детям предлагается загадка, которая, по -видимому, является аспектом экспоненциального роста: «очевидная внезапность, с которой экспоненциально растущее количество приближается к фиксированному пределу». Загадка представляет собой растение водного лилии, растущее в пруду. Растение удваивается в размерах каждый день, и, если оставить в покое, оно задушило бы пруд за 30 дней, убив всех других живых существ в воде. День за днем рост растения невелик, поэтому решается, что это не будет проблемой, пока оно не покрывает половину пруда. Какой день это будет? 29 -й день, оставив только один день, чтобы спасти пруд. ^{[ 13 ]}^{[ 12 ]}

Смотрите также

Ссылки

^ Сури, Манил (4 марта 2019 г.). «Мнение | перестань говорить« экспоненциальный ». Искренне, математический ботаник » . New York Times .
^ «10 научных слов, которые вы, вероятно, используете неправильно» . Howstuffworks . 11 июля 2014 года.
^ Славов, Николай; Будник, Богдан А.; Шваб, Дэвид; Airoldi, Edoardo . Ван Уденаарден, Александр (2014). «Постоянная скорость роста может быть подтверждена уменьшением потока энергии и увеличением аэробного гликолиза» . Сотовые отчеты . 7 (3): 705–714. doi : 10.1016/j.celrep.2014.03.057 . ISSN 2211-1247 . PMC 4049626 . PMID 24767987 .
^ Сублетт, Кэри. «Введение в физику и дизайн ядерного оружия» . Архив ядерного оружия . Получено 26 мая 2009 г.
^ CRAUDER, Evans & Noell 2008 , с. 314–315.
^ Jump up to: ^а ^{беременный} Ariel Cintrón-Arias (2014). «Чтобы стать вирусным». arxiv : 1402.3499 [ Physics.soc-ph ].
^ Карин Нахон; Джефф Хемсли (2013). Выйдя в вирус . Политинг. п. 16. ISBN 978-0-7456-7129-1 .
^ YouTube (2012). «Стиль Gangnam vs, позвоните мне, может быть: сравнение популярности» . YouTube Trends .
^ CRAUDER, Брюс; Эванс, Бенни; Ноэлл, Алан (2008). Функции и изменения: подход к моделированию к алгебре колледжа . Хоутон Миффлин Харкорт. п. 398. ISBN 978-1-111-78502-4 .
^ Бернштейн, Рут (2003). Экология населения: введение в компьютерное симуляции . Джон Уайли и сыновья. п. 37. ISBN 978-0-470-85148-7 .
^ Станго, Виктор; Зинман, Джонатан (2009). «Экспоненциальный предвзятость роста и финансирование домохозяйств». Журнал финансов . 64 (6): 2807–2849. doi : 10.1111/j.1540-6261.2009.01518.x .
^ Jump up to: ^а ^{беременный} Порритт, Джонатан (2005). Капитализм: как будто мир имеет значение . Лондон: Earthscan. п. 49. ISBN 1-84407-192-8 .
^ Meadows, Donella (2004). Ограничения на рост: 30-летнее обновление . Челси Грин издательство. п. 21. ISBN 9781603581554 .

Источники

Медоуз, Донелла. Рандерс, Джорген. Медоуз, Деннис. Ограничения на рост : 30-летнее обновление. Chelsea Green Publishing, 2004. ISBN 9781603581554
Meadows, Donella H., Dennis L. Meadows, Jørgen Randers и William W. Behrens III. (1972) Ограничения на рост . Нью -Йорк: университетские книги. ISBN 0-87663-165-0
Porritt, J. Капитализм, как будто мир имеет значение , Earthscan 2005. ISBN 1-84407-192-8
Свирски, Питер. Литературы и знаний: исследования в экспериментах по повествованию, эволюции и теории игр . Нью -Йорк: Routledge. ISBN 0-415-42060-1
Томсон, Дэвид Дж. Блюкнт до миллиарда: 7 предметов первой необходимости для достижения экспоненциального роста , Wiley Dec 2005, ISBN 0-471-74747-5
Tsirel, SV 2004. О возможных причинах гиперэкспоненциального роста земной популяции . Математическое моделирование социальной и экономической динамики / изд. Mg Dmitriev и AP Petrov, стр. 367–9. Москва: Российский государственный социальный университет, 2004.

Внешние ссылки

Рост в конечном мире - устойчивость и экспоненциальная функция - презентация
Доктор Альберт Бартлетт: арифметика, популяция и энергия - потоковое видео и аудио 58 мин.

[1] Сури, Манил (4 марта 2019 г.). «Мнение | перестань говорить« экспоненциальный ». Искренне, математический ботаник » . New York Times .

[2] «10 научных слов, которые вы, вероятно, используете неправильно» . Howstuffworks . 11 июля 2014 года.

[SlavovBudnik2014-3] Славов, Николай; Будник, Богдан А.; Шваб, Дэвид; Airoldi, Edoardo . Ван Уденаарден, Александр (2014). «Постоянная скорость роста может быть подтверждена уменьшением потока энергии и увеличением аэробного гликолиза» . Сотовые отчеты . 7 (3): 705–714. doi : 10.1016/j.celrep.2014.03.057 . ISSN 2211-1247 . PMC 4049626 . PMID 24767987 .

[4] Сублетт, Кэри. «Введение в физику и дизайн ядерного оружия» . Архив ядерного оружия . Получено 26 мая 2009 г.

[FOOTNOTECrauderEvansNoell2008314–315-5] CRAUDER, Evans & Noell 2008 , с. 314–315.

[aca-6] Jump up to: ^а ^{беременный} Ariel Cintrón-Arias (2014). «Чтобы стать вирусным». arxiv : 1402.3499 [ Physics.soc-ph ].

[7] Карин Нахон; Джефф Хемсли (2013). Выйдя в вирус . Политинг. п. 16. ISBN 978-0-7456-7129-1 .

[8] YouTube (2012). «Стиль Gangnam vs, позвоните мне, может быть: сравнение популярности» . YouTube Trends .

[9] CRAUDER, Брюс; Эванс, Бенни; Ноэлл, Алан (2008). Функции и изменения: подход к моделированию к алгебре колледжа . Хоутон Миффлин Харкорт. п. 398. ISBN 978-1-111-78502-4 .

[10] Бернштейн, Рут (2003). Экология населения: введение в компьютерное симуляции . Джон Уайли и сыновья. п. 37. ISBN 978-0-470-85148-7 .

[11] Станго, Виктор; Зинман, Джонатан (2009). «Экспоненциальный предвзятость роста и финансирование домохозяйств». Журнал финансов . 64 (6): 2807–2849. doi : 10.1111/j.1540-6261.2009.01518.x .

[Porritt-2005-12] Jump up to: ^а ^{беременный} Порритт, Джонатан (2005). Капитализм: как будто мир имеет значение . Лондон: Earthscan. п. 49. ISBN 1-84407-192-8 .

[Meadows-2004-13] Meadows, Donella (2004). Ограничения на рост: 30-летнее обновление . Челси Грин издательство. п. 21. ISBN 9781603581554 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

v Т и Гипероперации
Primary	Successor (0) Addition (1) Multiplication (2) Exponentiation (3) Tetration (4) Pentation (5) Hexation (6)
Inverse for left argument	Predecessor (0) Subtraction (1) Division (2) Root extraction (3) Super-root (4)
Inverse for right argument	Predecessor (0) Subtraction (1) Division (2) Logarithm (3) Super-logarithm (4)
Related articles	Ackermann function Conway chained arrow notation Grzegorczyk hierarchy Knuth's up-arrow notation Steinhaus–Moser notation