Порядковый изоморфизм

В математической области теории порядка — изоморфизм порядка это особый вид монотонной функции , которая представляет собой подходящее понятие изоморфизма для частично упорядоченных множеств (ЧУС). Всякий раз, когда два частично упорядоченных множества порядково изоморфны, их можно считать «по существу одинаковыми» в том смысле, что любой из порядков можно получить из другого просто путем переименования элементов. Двумя строго более слабыми понятиями, относящимися к порядковым изоморфизмам, являются порядковые вложения и связности Галуа . ^[1]

Определение

Формально, учитывая два ЧУМ $(S,\leq _{S})$ и $(T,\leq _{T})$ , изоморфизм порядка из $(S,\leq _{S})$ к $(T,\leq _{T})$ является биективной функцией $f$ от $S$ к $T$ со свойством, которое для каждого $x$ и $y$ в $S$ , $x\leq _{S}y$ тогда и только тогда, когда $f(x)\leq _{T}f(y)$ . То есть это биективное вложение порядка . ^[2]

Также возможно определить изоморфизм порядка как сюръективное вложение порядка. Два предположения о том, что $f$ охватить все элементы $T$ и что он сохраняет порядок, достаточно, чтобы гарантировать, что $f$ также взаимно однозначно, так как если $f(x)=f(y)$ тогда (полагая, что $f$ сохраняет порядок), из этого следовало бы, что $x\leq y$ и $y\leq x$ , подразумевая по определению частичного порядка, что $x=y$ .

Еще одна характеристика порядковых изоморфизмов состоит в том, что они представляют собой в точности монотонные биекции , имеющие монотонную обратную. ^[3]

Порядковый изоморфизм частично упорядоченного множества в себя называется порядковым автоморфизмом . ^[4]

Когда дополнительная алгебраическая структура накладывается на частично упорядоченные множества $(S,\leq _{S})$ и $(T,\leq _{T})$ , функция из $(S,\leq _{S})$ к $(T,\leq _{T})$ должен удовлетворять дополнительным свойствам, чтобы считаться изоморфизмом. Например, даны две частично упорядоченные группы (по-группы) $(G,\leq _{G})$ и $(H,\leq _{H})$ , изоморфизм ч.у.-групп из $(G,\leq _{G})$ к $(H,\leq _{H})$ является изоморфизмом порядка, который также является изоморфизмом группы , а не просто биекцией, которая является вложением порядка . ^[5]

Примеры

Тождественная функция на любом частично упорядоченном множестве всегда является автоморфизмом порядка.
Отрицание — это порядковый изоморфизм из $(\mathbb {R} ,\leq )$ к $(\mathbb {R} ,\geq )$ (где $\mathbb {R}$ представляет собой набор действительных чисел и $\leq$ обозначает обычное числовое сравнение), поскольку − x ≥ − y тогда и только тогда, когда x ≤ y . ^[6]
Открытый интервал $(0,1)$ (опять же, упорядоченный численно) не имеет изоморфизма порядка в замкнутый интервал или из него. $[0,1]$ : в замкнутом интервале есть наименьший элемент, а в открытом — нет, и изоморфизмы порядка должны сохранять существование наименьших элементов. ^[7]
По теореме Кантора об изоморфизме каждый неограниченный счётный плотный линейный порядок изоморфен порядку рациональных чисел . ^[8] Явный изоморфизм порядка между квадратичными алгебраическими числами, рациональными числами и двоично-рациональными числами обеспечивается функцией вопросительного знака Минковского . ^[9]

Типы ордеров

Если $f$ является изоморфизмом порядка, то и его обратная функция тоже .Кроме того, если $f$ является порядковым изоморфизмом из $(S,\leq _{S})$ к $(T,\leq _{T})$ и $g$ является порядковым изоморфизмом из $(T,\leq _{T})$ к $(U,\leq _{U})$ , то композиция функций $f$ и $g$ сам по себе является изоморфизмом порядка, из $(S,\leq _{S})$ к $(U,\leq _{U})$ . ^[10]

Два частично упорядоченных множества называются порядково-изоморфными, если существует порядковый изоморфизм одного в другое. ^[11] Функции тождества, обратные функции и композиции функций соответствуют трем определяющим характеристикам отношения эквивалентности соответственно : рефлексивности , симметрии и транзитивности . Следовательно, порядковый изоморфизм является отношением эквивалентности. Класс частично упорядоченных множеств может быть разделен с его помощью на классы эквивалентности , семейства частично упорядоченных множеств, которые все изоморфны друг другу. Эти классы эквивалентности называются типами порядка .

См. также

Шаблон перестановки — перестановка, которая по порядку изоморфна подпоследовательности другой перестановки.

Примечания

^ Блох (2011) ; Чесельский (1997) .
^ Это определение использовал Цесельский (1997) . Для Блоха (2011) и Шредера (2003) это следствие другого определения.
^ Это определение использовали Блох (2011) и Шредер (2003) .
^ Шредер (2003) , с. 13.
^ Это определение эквивалентно определению, изложенному Фуксом (1963) .
^ См. пример 4 Ciesielski (1997) , с. 39., аналогичный пример с целыми числами вместо действительных чисел.
^ Цесельский (1997) , пример 1, стр. 39.
^ Бхаттачарджи, Минакси; Макферсон, Дугалд; Мёллер, Рёнвальдур Г.; Нойманн, Питер М. (1997), «Рациональные числа», Заметки о бесконечных группах перестановок , Тексты и материалы для чтения по математике, том. 12, Берлин: Springer-Verlag, стр. 77–86, номер документа : 10.1007/978-93-80250-91-5_9 , ISBN. 81-85931-13-5 , МР 1632579
^ Гиргенсон, Роланд (1996), «Построение сингулярных функций с помощью дробей Фарея», Журнал математического анализа и приложений , 203 (1): 127–141, doi : 10.1006/jmaa.1996.0370 , MR 1412484
^ Чесельский (1997) ; Шредер (2003) .
^ Цесельский (1997) .

Ссылки

Блох, Итан Д. (2011), Доказательства и основы: первый курс абстрактной математики , Тексты для студентов по математике (2-е изд.), Springer, стр. 276–277, ISBN 9781441971265 .
Цесельский, Кшиштоф (1997), Теория множеств для работающего математика , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 39, Издательство Кембриджского университета, стр. 38–39, ISBN. 9780521594653 .
Шредер, Бернд Зигфрид Вальтер (2003), Упорядоченные множества: введение , Springer, стр. 11, ISBN 9780817641283 .
Фукс, Ласло (1963), Частично упорядоченные алгебраические системы , Dover Publications; Репринтное издание (5 марта 2014 г.), стр. 2–3, ISBN. 0486483878 .

[1] Блох (2011) ; Чесельский (1997) .

[2] Это определение использовал Цесельский (1997) . Для Блоха (2011) и Шредера (2003) это следствие другого определения.

[3] Это определение использовали Блох (2011) и Шредер (2003) .

[4] Шредер (2003) , с. 13.

[5] Это определение эквивалентно определению, изложенному Фуксом (1963) .

[6] См. пример 4 Ciesielski (1997) , с. 39., аналогичный пример с целыми числами вместо действительных чисел.

[7] Цесельский (1997) , пример 1, стр. 39.

[8] Бхаттачарджи, Минакси; Макферсон, Дугалд; Мёллер, Рёнвальдур Г.; Нойманн, Питер М. (1997), «Рациональные числа», Заметки о бесконечных группах перестановок , Тексты и материалы для чтения по математике, том. 12, Берлин: Springer-Verlag, стр. 77–86, номер документа : 10.1007/978-93-80250-91-5_9 , ISBN. 81-85931-13-5 , МР 1632579

[9] Гиргенсон, Роланд (1996), «Построение сингулярных функций с помощью дробей Фарея», Журнал математического анализа и приложений , 203 (1): 127–141, doi : 10.1006/jmaa.1996.0370 , MR 1412484

[10] Чесельский (1997) ; Шредер (2003) .

[11] Цесельский (1997) .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

v т и Теория порядка
Topics Glossary Category
Key concepts	Binary relation Boolean algebra Cyclic order Lattice Partial order Preorder Total order Weak ordering
Results	Boolean prime ideal theorem Cantor–Bernstein theorem Cantor's isomorphism theorem Dilworth's theorem Dushnik–Miller theorem Hausdorff maximal principle Knaster–Tarski theorem Kruskal's tree theorem Laver's theorem Mirsky's theorem Szpilrajn extension theorem Zorn's lemma
Properties & Types (list)	Antisymmetric Asymmetric Boolean algebra topics Completeness Connected Covering Dense Directed (Partial) Equivalence Foundational Heyting algebra Homogeneous Idempotent Lattice Bounded Complemented Complete Distributive Join and meet Reflexive Partial order Chain-complete Graded Eulerian Strict Prefix order Preorder Total Semilattice Semiorder Symmetric Total Tolerance Transitive Well-founded Well-quasi-ordering (Better) (Pre) Well-order
Constructions	Composition Converse/Transpose Lexicographic order Linear extension Product order Reflexive closure Series-parallel partial order Star product Symmetric closure Transitive closure
Topology & Orders	Alexandrov topology & Specialization preorder Ordered topological vector space Normal cone Order topology Order topology Topological vector lattice Banach Fréchet Locally convex Normed
Related	Antichain Cofinal Cofinality Comparability Graph Duality Filter Hasse diagram Ideal Net Subnet Order morphism Embedding Isomorphism Order type Ordered field Positive cone of an ordered field Ordered vector space Partially ordered Positive cone of an ordered vector space Riesz space Partially ordered group Positive cone of a partially ordered group Upper set Young's lattice