Мультикомплексное число

В математике мультикомплексные счисления системы $\mathbb {C} _{n}$ определяются индуктивно следующим образом: Пусть C ₀ — действительная система счисления . Для каждого n > 0 пусть i _n будет квадратным корнем из −1, то есть мнимой единицей . Затем $\mathbb {C} _{n+1}=\lbrace z=x+yi_{n+1}:x,y\in \mathbb {C} _{n}\rbrace$ . В мультикомплексных системах счисления также требуется, чтобы $i_{n}i_{m}=i_{m}i_{n}$ ( коммутативность ). Затем $\mathbb {C} _{1}$ это комплексная система счисления , $\mathbb {C} _{2}$ это бикомплексная система счисления , $\mathbb {C} _{3}$ — трикомплексная система счисления Коррадо Сегре , а $\mathbb {C} _{n}$ – мультикомплексная система счисления порядка n .

Каждый $\mathbb {C} _{n}$ образует банахову алгебру . Дж. Бэйли Прайс написал о теории функций мультикомплексных систем, подробно описав бикомплексную систему. $\mathbb {C} _{2}.$

Мультикомплексные системы счисления не следует путать с числами Клиффорда (элементами алгебры Клиффорда ), поскольку квадратные корни Клиффорда из −1 антикоммутируют ( $i_{n}i_{m}+i_{m}i_{n}=0$ когда m ≠ n для Клиффорда).

Поскольку мультикомплексные числа имеют несколько коммутирующих квадратных корней из –1, у них также есть делители нуля : $(i_{n}-i_{m})(i_{n}+i_{m})=i_{n}^{2}-i_{m}^{2}=0$ несмотря на $i_{n}-i_{m}\neq 0$ и $i_{n}+i_{m}\neq 0$ , и $(i_{n}i_{m}-1)(i_{n}i_{m}+1)=i_{n}^{2}i_{m}^{2}-1=0$ несмотря на $i_{n}i_{m}\neq 1$ и $i_{n}i_{m}\neq -1$ . Любой продукт $i_{n}i_{m}$ двух различных мультикомплексных единиц ведет себя как $j$ комплексных чисел с расщеплением , и, следовательно, мультикомплексные числа содержат несколько копий плоскости комплексных чисел с расщеплением.

По отношению к подалгебре $\mathbb {C} _{k}$ , k = 0, 1, ..., n − 1 , мультикомплексная система $\mathbb {C} _{n}$ имеет размерность 2 ^{п - к} над $\mathbb {C} _{k}.$

Ссылки

Дж. Бейли Прайс (1991) Введение в мультикомплексные пространства и функции , Марсель Деккер .
Коррадо Сегре (1892) «Реальное представление сложных элементов и гипералгебраических сущностей» (итальянский), Mathematische Annalen 40:413–67 (особенно см. страницы 455–67).

v т и счисления Системы
Наборы определимых чисел	Натуральные числа ( $\mathbb {N}$ ) Целые числа ( $\mathbb {Z}$ ) Рациональные числа ( $\mathbb {Q}$ ) Конструируемые числа Алгебраические числа ( $\mathbb {A}$ ) Числа закрытой формы Периоды Вычислимые числа Арифметические числа Теоретико-множественные определяемые числа Гауссовы целые числа Гауссово рациональное мышление Целые числа Эйзенштейна
Композиционные алгебры	Алгебры с делением : Действительные числа ( $\mathbb {R}$ ) Комплексные числа ( $\mathbb {C}$ ) Кватернионы ( $\mathbb {H}$ ) Октонионы ( $\mathbb {O}$ )
Расколоть типы	Над $\mathbb {R}$ : Сплит-комплексные числа Сплит-кватернионы Сплит-октонионы Над $\mathbb {C}$ : Бикомплексные числа Бикватернионы Биоктонионы
Другой гиперкомплекс	Двойные числа Двойные кватернионы Двойные комплексные числа Гиперболические кватернионы Седенионы ( $\mathbb {S}$ ) Сплит-бикватернионы Мультикомплексные числа Геометрическая алгебра / алгебра Клиффорда Алгебра физического пространства Алгебра пространства-времени Геометрическая алгебра на основе плоскостей
Бесконечности и бесконечно малые	Кардинальные числа Расширенные натуральные числа Расширенные действительные числа Проективный Расширенные комплексные числа Гиперреальные числа Поле Леви-Чивита Порядковые номера Сверхъестественные числа Сюрреалистические цифры Сверхдействительные числа
Другие типы	Иррациональные числа Нечеткие числа Трансцендентные числа p -адические числа ( p -адические соленоиды ) Проконечные целые числа Нормальные числа
Классификация Список