Метод коллокации

В математике метод коллокации — это метод численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений , уравнений в частных производных и интегральных уравнений . Идея состоит в том, чтобы выбрать конечномерное пространство возможных решений (обычно полиномов до определенной степени) и количество точек в области (называемых точками коллокации ), а также выбрать то решение, которое удовлетворяет данному уравнению в точках коллокации. .

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Предположим, что обыкновенное дифференциальное уравнение

$y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},$

нужно решить на интервале $[t_{0},t_{0}+c_{k}h]$. Выбирать $c_{k}$ из 0 ≤ c ₁ < c ₂ < ... < c _n ≤ 1.

Соответствующий (полиномиальный) метод коллокации аппроксимирует решение y полиномом p степени n, который удовлетворяет начальному условию $p(t_{0})=y_{0}$, и дифференциальное уравнение $p'(t_{k})=f(t_{k},p(t_{k}))$во всех точках коллокации $t_{k}=t_{0}+c_{k}h$ для $k=1,\ldots ,n$. Это дает n + 1 условий, что соответствует n + 1 параметрам, необходимым для указания полинома степени n .

Все эти методы коллокации по сути являются неявными методами Рунге-Кутты . Коэффициенты c _k в таблице Батчера метода Рунге – Кутты являются точками коллокации. Однако не все неявные методы Рунге-Кутты являются методами коллокации.

Пример: правило трапеций.

В качестве примера возьмем две точки коллокации c ₁ = 0 и c ₂ = 1 (то есть n = 2). Условия коллокации:

$p(t_{0})=y_{0},\,$

$p'(t_{0})=f(t_{0},p(t_{0})),\,$

$p'(t_{0}+h)=f(t_{0}+h,p(t_{0}+h)).\,$

Имеются три условия, поэтому p должен быть многочленом степени 2. Запишите p в виде

$p(t)=\alpha (t-t_{0})^{2}+\beta (t-t_{0})+\gamma \,$

для упрощения вычислений. Тогда условия коллокации можно решить, чтобы получить коэффициенты

${\begin{aligned}\alpha &={\frac {1}{2h}}{\Big (}f(t_{0}+h,p(t_{0}+h))-f(t_{0},p(t_{0})){\Big )},\\\beta &=f(t_{0},p(t_{0})),\\\gamma &=y_{0}.\end{aligned}}$

Метод коллокации теперь задается (неявно) формулой

$y_{1}=p(t_{0}+h)=y_{0}+{\frac {1}{2}}h{\Big (}f(t_{0}+h,y_{1})+f(t_{0},y_{0}){\Big )},\,$

где y ₁ знак равно п ( т ₀ + час ) является приближенным решением в момент т знак равно т ₁ знак равно т ₀ + час .

Этот метод известен как « правило трапеций » для дифференциальных уравнений. Действительно, этот метод также можно получить, переписав дифференциальное уравнение в виде

$y(t)=y(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}f(\tau ,y(\tau ))\,{\textrm {d}}\tau ,\,$

и аппроксимируем интеграл в правой части правилом трапеций для интегралов.

Другие примеры

Методы Гаусса–Лежандра используют точки квадратуры Гаусса–Лежандра в качестве точек коллокации. Метод Гаусса–Лежандра, основанный на s точках, имеет порядок 2 s . Все методы Гаусса–Лежандра A-стабильны .

Фактически, можно показать, что порядок метода коллокации соответствует порядку правила квадратур, которое можно было бы получить, используя точки коллокации в качестве весов.

Метод ортогональной коллокации

В методе прямой коллокации мы, по сути, выполняем вариационное исчисление с конечномерным подпространством кусочно-линейных функций (как в правиле трапеций), кубических функций или других кусочно-полиномиальных функций. В методе ортогональной коллокации вместо этого мы используем конечномерное подпространство, натянутое первыми N векторами в некотором ортогональном полиномиальном базисе, таком как полиномы Лежандра .

Ссылки

• Ашер, Ури М.; Петцольд, Линда Р. (1998), Компьютерные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциально-алгебраических уравнений , Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики , ISBN  978-0-89871-412-8 .
• Хайрер, Эрнст; Норсетт, Сиверт Пол; Ваннер, Герхард (1993), Решение обыкновенных дифференциальных уравнений I: Нежесткие задачи , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-56670-0 .
• Изерлес, Арье (1996), Первый курс численного анализа дифференциальных уравнений , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-55655-2 .
• Ван, Инвэй; Чен, Суцинь; Ву, Сюнхуа (2009), «Метод рациональной спектральной коллокации для решения класса параметризованных сингулярных задач возмущения», Журнал вычислительной и прикладной математики , 233 (10): 2652–2660, doi : 10.1016/j.cam.2009.11. 011 .