Метод спектральных элементов

В численном решении уравнений в частных производных , теме математики , метод спектральных элементов (SEM) представляет собой формулировку метода конечных элементов высокой степени (FEM), который использует кусочные полиномы в качестве базисных функций. Метод спектральных элементов был представлен в статье 1984 года. ^{[ 1 ]} автор: А. Т. Патера. Хотя Патере приписывают разработку этого метода, его работа представляла собой повторное открытие существующего метода (см. Историю развития).

Обсуждение

Спектральный метод разлагает решение в тригонометрический ряд, главное преимущество которого состоит в том, что получаемый метод имеет очень высокий порядок. Этот подход основан на том факте, что тригонометрические полиномы являются ортонормированным базисом для $L^{2}(\Omega )$ . ^{[ 2 ]} Вместо этого метод спектральных элементов выбирает кусочно-полиномиальные базисные функции высокой степени, что также обеспечивает очень высокий порядок точности. Такие полиномы обычно представляют собой ортогональные полиномы Чебышева очень высокого порядка или полиномы Лагранжа над неравномерно расположенными узлами. В СЭМ ошибка вычислений уменьшается экспоненциально с увеличением порядка аппроксимирующего полинома, поэтому быстрая сходимость решения к точному решению реализуется при меньших степенях свободы конструкции по сравнению с МКЭ. При мониторинге состояния конструкций МКЭ может использоваться для обнаружения крупных дефектов в конструкции, но по мере уменьшения размера дефекта возникает необходимость использования высокочастотной волны. Для моделирования распространения высокочастотной волны требуется очень мелкая сетка FEM, что приводит к увеличению времени вычислений. С другой стороны, SEM обеспечивает хорошую точность при меньшем количестве степеней свободы. Неоднородность узлов помогает сделать матрицу масс диагональной, что экономит время и память, а также полезно для принятия метода центральной разности (CDM). К недостаткам SEM можно отнести сложность моделирования сложной геометрии по сравнению с гибкостью FEM.

Хотя метод можно применять с модальным кусочно-ортогональным полиномиальным базисом, чаще всего его реализуют с использованием базиса Лагранжа узлового тензорного произведения. ^{[ 3 ]} Метод приобретает свою эффективность за счет размещения узловых точек в точках Лежандра-Гаусса-Лобатто (LGL) и выполнения интегрирования метода Галеркина с приведенной квадратурой Гаусса-Лобатто с использованием тех же узлов. Такая комбинация приводит к таким упрощениям, что объединение масс происходит во всех узлах, а во внутренних точках возникает процедура коллокации.

Наиболее популярные применения метода - в вычислительной гидродинамике. ^{[ 3 ]} и моделирование распространения сейсмических волн. ^{[ 4 ]}

Априорная оценка ошибки

Здесь справедлив классический анализ методов Галеркина и леммы Сеа , и можно показать, что если $u$ является решением слабого уравнения, $u_{N}$ является приближенным решением и $u\in H^{s+1}(\Omega )$ :

\|u-u_{N}\|_{H^{1}(\Omega )}\leqq C_{s}N^{-s}\|u\|_{H^{s+1}(\Omega )}

где $N$ связано с дискретизацией области (т. е. длиной элемента), $C_{s}$ независим от $N$ , и $s$ не превосходит степени кусочно-полиномиального базиса. Аналогичные результаты можно получить для ограничения ошибки в более сильных топологиях. Если $k\leq s+1$

$\|u-u_{N}\|_{H^{k}(\Omega )}\leq C_{s,k}N^{k-1-s}\|u\|_{H^{s+1}(\Omega )}$

По мере того, как мы увеличиваем $N$ , мы также можем увеличить степень базисной функции. В этом случае, если $u$ является аналитической функцией :

\|u-u_{N}\|_{H^{1}(\Omega )}\leqq C\exp(-\gamma N)

где $\gamma$ зависит только от $u$ .

Гибридное словосочетание-Галеркин обладает некоторыми свойствами сверхконвергенции. ^{[ 5 ]} Форма LGL SEM эквивалентна: ^{[ 6 ]} поэтому он достигает тех же свойств сверхсходимости.

История развития

Разработку самой популярной формы метода LGL обычно приписывают Мадаю и Патере. ^{[ 7 ]} Однако он был разработан более десяти лет назад. Во-первых, существует метод гибридного коллокации-Галеркина (HCGM), ^{[ 8 ]}^{[ 5 ]} который применяет коллокацию во внутренних точках Лобатто и использует интегральную процедуру, подобную Галеркину, на интерфейсах элементов. Метод Лобатто-Галеркина, описанный Янгом. ^{[ 9 ]} идентичен SEM, а HCGM эквивалентен этим методам. ^{[ 6 ]} Эта более ранняя работа игнорируется в спектральной литературе.

Связанные методы

G-NI или SEM-NI являются наиболее используемыми спектральными методами. Формулировка Галеркина спектральных методов или методов спектральных элементов для G-NI или SEM-NI соответственно модифицирована, и используется интегрирование Гаусса-Лобатто . вместо интегралов в определении билинейной формы $a(\cdot ,\cdot )$ и в функционале $F$ . Их сходимость является следствием леммы Стрэнга .
SEM — это МКЭ (метод конечных элементов) на основе Галеркина с базисными функциями (формой) Лагранжа и сокращенным численным интегрированием с помощью квадратуры Лобатто с использованием тех же узлов.
Псевдоспектральный метод , ортогональная коллокация , дифференциальный метод квадратур и G-NI — это разные названия одного и того же метода. Эти методы используют глобальные, а не кусочно-полиномиальные базисные функции. Расширение до кусочного базиса МКЭ или РЭМ почти тривиально. ^{[ 6 ]}
Метод спектральных элементов использует тензорное пространство произведений , натянутое узловыми базисными функциями, связанными с точками Гаусса – Лобатто . Напротив, метод конечных элементов p-версии охватывает пространство полиномов высокого порядка безузловыми базисными функциями, выбранными приблизительно ортогональными для численной устойчивости . Поскольку не обязательно должны присутствовать все внутренние базисные функции, метод конечных элементов p-версии может создать пространство, содержащее все полиномы до заданной степени с меньшим количеством степеней свободы. ^{[ 10 ]} Однако некоторые методы ускорения, возможные в спектральных методах из-за их характера тензорного произведения, больше недоступны. Название p-версия означает, что точность увеличивается за счет увеличения порядка аппроксимирующих полиномов (таким образом, p ), а не уменьшения размера сетки h .
Метод конечных элементов hp ( hp-FEM ) сочетает в себе преимущества уточнений h и p для получения экспоненциальной скорости сходимости. ^{[ 11 ]}

Примечания

^ Патера, AT (1984). «Метод спектральных элементов для гидродинамики - ламинарное течение при расширении канала». Журнал вычислительной физики . 54 (3): 468–488. Бибкод : 1984JCoPh..54..468P . дои : 10.1016/0021-9991(84)90128-1 .
^ Мурадова, Алики Д. (2008). «Спектральный метод и алгоритм численного продолжения задачи фон Кармана с поведением решений после выпучивания». Рекламная вычислительная математика . 29 (2): 179–206, 2008. doi : 10.1007/s10444-007-9050-7 . hdl : 1885/56758 . S2CID 46564029 .
^ Jump up to: ^а ^б Карниадакис Г. и Шервин С.: Методы спектральных/л.с. элементов для вычислительной гидродинамики, Oxford Univ. Пресс, (2013), ISBN 9780199671366
^ Коматич Д. и Виллот Ж.-П.: «Метод спектральных элементов: эффективный инструмент для моделирования сейсмического отклика 2D и 3D геологических структур», Bull. Сейсмологическое соц. Америка, 88, 2, 368–392 (1998).
^ Jump up to: ^а ^б Уилер, М.Ф.: «Метод конечных элементов C0-коллокации для двухточечных граничных значений и параболических задач одного пространственного измерения», SIAM J. Numer. Анал., 14, 1, 71-90 (1977)
^ Jump up to: ^а ^б ^с Янг, Л. К., «Возвращение к ортогональной словосочетанию», Comp. Методы в прил. Мех. и англ. 345 (1) 1033-1076 (март 2019 г.), doi.org/10.1016/j.cma.2018.10.019
^ Мэдей, Ю. и Патера, А.Т., «Методы спектральных элементов для уравнений Навье-Стокса в несжимаемой жидкости» В современных обзорах по вычислительной механике, А. К. Нур, редактор, ASME, Нью-Йорк (1989).
^ Диас, Дж., «Метод коллокации-Галеркина для двухточечной краевой задачи с использованием непрерывных кусочно-полиномиальных пространств», SIAM J. Num. Анал., 14 (5) 844-858 (1977) ISSN 0036-1429
^ Янг, Л.К., «Метод конечных элементов для моделирования резервуаров», Soc. Петр. англ. J. 21(1) 115-128, (февраль 1981 г.), документ SPE 7413, представленный в октябре 1978 г., doi.org/10.2118/7413-PA.
^ Барна Сабо и Иво Бабушка , Анализ конечных элементов, John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк, 1991. ISBN 0-471-50273-1
^ П. Шолин, К. Сегет, И. Долежель: Методы конечных элементов высшего порядка, Chapman & Hall/CRC Press, 2003. ISBN 1-58488-438-X

[1] Патера, AT (1984). «Метод спектральных элементов для гидродинамики - ламинарное течение при расширении канала». Журнал вычислительной физики . 54 (3): 468–488. Бибкод : 1984JCoPh..54..468P . дои : 10.1016/0021-9991(84)90128-1 .

[2] Мурадова, Алики Д. (2008). «Спектральный метод и алгоритм численного продолжения задачи фон Кармана с поведением решений после выпучивания». Рекламная вычислительная математика . 29 (2): 179–206, 2008. doi : 10.1007/s10444-007-9050-7 . hdl : 1885/56758 . S2CID 46564029 .

[:0-3] Jump up to: ^а ^б Карниадакис Г. и Шервин С.: Методы спектральных/л.с. элементов для вычислительной гидродинамики, Oxford Univ. Пресс, (2013), ISBN 9780199671366

[4] Коматич Д. и Виллот Ж.-П.: «Метод спектральных элементов: эффективный инструмент для моделирования сейсмического отклика 2D и 3D геологических структур», Bull. Сейсмологическое соц. Америка, 88, 2, 368–392 (1998).

[:2-5] Jump up to: ^а ^б Уилер, М.Ф.: «Метод конечных элементов C0-коллокации для двухточечных граничных значений и параболических задач одного пространственного измерения», SIAM J. Numer. Анал., 14, 1, 71-90 (1977)

[:1-6] Jump up to: ^а ^б ^с Янг, Л. К., «Возвращение к ортогональной словосочетанию», Comp. Методы в прил. Мех. и англ. 345 (1) 1033-1076 (март 2019 г.), doi.org/10.1016/j.cma.2018.10.019

[7] Мэдей, Ю. и Патера, А.Т., «Методы спектральных элементов для уравнений Навье-Стокса в несжимаемой жидкости» В современных обзорах по вычислительной механике, А. К. Нур, редактор, ASME, Нью-Йорк (1989).

[8] Диас, Дж., «Метод коллокации-Галеркина для двухточечной краевой задачи с использованием непрерывных кусочно-полиномиальных пространств», SIAM J. Num. Анал., 14 (5) 844-858 (1977) ISSN 0036-1429

[9] Янг, Л.К., «Метод конечных элементов для моделирования резервуаров», Soc. Петр. англ. J. 21(1) 115-128, (февраль 1981 г.), документ SPE 7413, представленный в октябре 1978 г., doi.org/10.2118/7413-PA.

[10] Барна Сабо и Иво Бабушка , Анализ конечных элементов, John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк, 1991. ISBN 0-471-50273-1

[11] П. Шолин, К. Сегет, И. Долежель: Методы конечных элементов высшего порядка, Chapman & Hall/CRC Press, 2003. ISBN 1-58488-438-X

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]