Функция Паттерсона

Функция Паттерсона используется для решения фазовой проблемы в рентгеновской кристаллографии . Он был введен в 1935 году Артуром Линдо Паттерсоном, когда он был приглашенным исследователем в лаборатории Бертрама Юджина Уоррена в Массачусетском технологическом институте .

Функция Паттерсона определяется как

$$P(u,v,w)=\sum _{h,k,\ell \in \mathbb {Z} }\left|F_{h,k,\ell }\right|^{2}\;e^{-2\pi i(hu+kv+\ell w)}.$$

По сути, это преобразование Фурье интенсивностей, а не структурных факторов . Функция Паттерсона также эквивалентна электронной плотности , свернутой с обратной:

$P\left({\vec {u}}\right)=\rho \left({\vec {r}}\right)*\rho \left(-{\vec {r}}\right).$

Более того, карта Паттерсона из N точек будет иметь N ( N - 1) пиков, исключая центральный (исходный) пик и любое перекрытие.

Положения пиков в функции Паттерсона представляют собой векторы межатомных расстояний, а высота пиков пропорциональна произведению числа электронов в рассматриваемых атомах.

Поскольку для каждого вектора между атомами i и j существует противоположно ориентированный вектор той же длины (между атомами j и i ), функция Паттерсона всегда обладает центросимметрией .

Одномерный пример

Рассмотрим ряд дельта-функций, заданных формулами

$f(x)=\delta (x)+3\delta (x-2)+\delta (x-5)+3\delta (x-8)+5\delta (x-10).\,$

Функция Паттерсона задается следующей серией дельта-функций и функций единичного шага.

${\begin{aligned}P(u)={}&5\delta (u+10)+18\delta (u+8)+9\delta (u+6)+6\delta (u+5)+6\delta (u+3)\\&+18\delta (u+2)+45\delta (u)+18\delta (u-2)+6\delta (u-3)+6\delta (u-5)\\&+9\delta (u-6)+18\delta (u-8)+5\delta (u-10).\end{aligned}}$

Внешние ссылки

• «Структурное разрешение. Функция Паттерсона и метод Паттерсона» .