Интегрируемая система Гарнье

В математической физике , интегрируемая система Гарнье также известная как классическая модель Годена, представляет собой классическую механическую систему. открыт Рене Гарнье в 1919 году путем принятия « упрощения Пенлеве » или «автономного предела» уравнений Шлезингера . Это классический аналог квантовой модели Годена Мишеля Годена. (аналогично уравнения Шлезингера являются классическим аналогом уравнений Книжника–Замолодчикова ). Классические модели Годена интегрируемы .

Они также являются частным случаем интегрируемых по Хитчину систем , когда алгебраическая кривая , на которой определяется теория, является сферой Римана , а система является строго разветвленной .

Как предел уравнений Шлезингера

Уравнения Шлезингера представляют собой систему дифференциальных уравнений для $n+2$ матричные функции $A_{i}:\mathbb {C} ^{n+2}\rightarrow \mathrm {Mat} (m,\mathbb {C} )$, заданный $${\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}={\frac {[A_{i},A_{j}]}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}\qquad \qquad j\neq i$$ $$\sum _{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}=0.$$

«Автономный предел» задается путем замены $\lambda _{i}$ зависимость в знаменателе от констант $\alpha _{i}$ с $\alpha _{n+1}=0,\alpha _{n+2}=1$: $${\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}={\frac {[A_{i},A_{j}]}{\alpha _{i}-\alpha _{j}}}\qquad \qquad j\neq i$$ $$\sum _{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}=0.$$ Это система Гарнье в той форме, которую первоначально разработал Гарнье.

Как классическая модель Годена

Существует формулировка системы Гарнье как классической механической системы, классической модели Годена, которая квантуется до квантовой модели Годена и чьи уравнения движения эквивалентны системе Гарнье. В этом разделе описывается эта формулировка.

Как и любая классическая система, модель Годена задается многообразием Пуассона. $M$ называемое фазовым пространством , и гладкая функция на многообразии, называемая гамильтонианом .

Фазовое пространство

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — квадратичная алгебра Ли , т. е. алгебра Ли с невырожденной инвариантной билинейной формой $\kappa$. Если ${\mathfrak {g}}$ сложно просто и , это можно принять за форму Убийства .

Двойной , обозначаемый ${\mathfrak {g}}^{*}$, можно преобразовать в линейную структуру Пуассона с помощью скобки Кириллова–Костанта .

Фазовое пространство $M$ классической модели Годена тогда является декартовым произведением $N$ копии ${\mathfrak {g}}^{*}$ для $N$ положительное целое число.

Сайты

С каждой из этих копий связана точка в $\mathbb {C}$, обозначенный $\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{N}$и называются сайтами .

Матрица Лакса

Закрепление базиса алгебры Ли $\{I^{a}\}$ со структурными константами $f_{c}^{ab}$, есть функции $X_{(r)}^{a}$ с $r=1,\cdots ,N$ на фазовом пространстве, удовлетворяющем скобке Пуассона $$\{X_{(r)}^{a},X_{(s)}^{b}\}=\delta _{rs}f_{c}^{ab}X_{(r)}^{c}.$$

Они, в свою очередь, используются для определения ${\mathfrak {g}}$-значные функции $$X^{(r)}=\kappa _{ab}I^{a}\otimes X_{(r)}^{b}$$ с неявным суммированием .

Далее они используются для определения матрицы Лакса , которая также является ${\mathfrak {g}}$ значная функция на фазовом пространстве, которая, кроме того, мероморфно зависит от спектрального параметра $\lambda$, $${\mathcal {L}}(\lambda )=\sum _{r=1}^{N}{\frac {X^{(r)}}{\lambda -\lambda _{r}}}+\Omega ,$$ и $\Omega$ является постоянным элементом в ${\mathfrak {g}}$, в том смысле, что оно коммутирует по Пуассону (имеет исчезающую скобку Пуассона) со всеми функциями.

(Квадратичный) гамильтониан

(Квадратичный) гамильтониан $${\mathcal {H}}(\lambda )={\frac {1}{2}}\kappa ({\mathcal {L}}(\lambda ),{\mathcal {L}}(\lambda ))$$ что действительно является функцией фазового пространства, которая дополнительно зависит от спектрального параметра $\lambda$. Это можно записать как $${\mathcal {H}}(\lambda )=\Delta _{\infty }+\sum _{r=1}^{N}\left({\frac {\Delta _{r}}{(\lambda -\lambda _{r})^{2}}}+{\frac {{\mathcal {H}}_{r}}{\lambda -\lambda _{r}}}\right),$$ с $$\Delta _{r}={\frac {1}{2}}\kappa (X^{(r)},X^{(r)}),\Delta _{\infty }={\frac {1}{2}}\kappa (\Omega ,\Omega )$$ и $${\mathcal {H}}_{r}=\sum _{s\neq r}{\frac {\kappa (X^{(r)},X^{(s)})}{\lambda _{r}-\lambda _{s}}}+\kappa (X^{(r)},\Omega ).$$

Из соотношения скобок Пуассона $$\{{\mathcal {H}}(\lambda ),{\mathcal {H}}(\mu )\}=0,\forall \lambda ,\mu \in \mathbb {C} ,$$ варьируя $\lambda$ и $\mu$ должно быть верно, что ${\mathcal {H}}_{r}$х, $\Delta _{r}$'песок $\Delta _{\infty }$ все в инволюции. Можно показать, что $\Delta _{r}$'песок $\Delta _{\infty }$ Пуассон коммутирует со всеми функциями в фазовом пространстве, но ${\mathcal {H}}_{r}$в общем нет. Это сохраняющиеся заряды в инволюции для целей интегрируемости Арнольда Лиувилля .

Уравнение Лакса

Можно показать $$\{{\mathcal {H}}_{r},{\mathcal {L}}(\lambda )\}=\left[{\frac {X^{(r)}}{\lambda -\lambda _{r}}},{\mathcal {L}}(\lambda )\right],$$ таким образом, матрица Лакса удовлетворяет уравнению Лакса, когда эволюция во времени задается любым из гамильтонианов ${\mathcal {H}}_{r}$, а также любую их линейную комбинацию.

Высшие гамильтонианы

Квадратичный Казимир дает квадратичный полином, инвариантный Вейлю для алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$, но на самом деле гораздо больше коммутирующих сохраняющихся зарядов можно создать, используя ${\mathfrak {g}}$-инвариантные полиномы. Эти инвариантные полиномы можно найти с помощью изоморфизма Хариш-Чандры в случае ${\mathfrak {g}}$ является сложным, простым и конечным.

Интегрируемые теории поля как классические модели Годена

Некоторые интегрируемые классические теории поля можно сформулировать как классические аффинные модели Годена, где ${\mathfrak {g}}$ является аффинной алгеброй Ли . Такие классические теории поля включают основную киральную модель , сигма-модели смежного класса и аффинную теорию поля Тоды . По существу, аффинные модели Годена можно рассматривать как «основную теорию» интегрируемых систем, но наиболее естественно они формулируются в гамильтоновом формализме, в отличие от других основных теорий, таких как четырехмерная теория Черна – Саймонса или антиавтодуальная теория Янга – Миллса. .

Квантовые модели Годена

Основная статья: Модель Годена

Многое известно об интегрируемой структуре квантовых моделей Годена . В частности, Фейгин , Френкель и Решетихин изучали их с помощью теории вершинных операторных алгебр , показывая связь моделей Годена с темами математики, включая уравнения Книжника–Замолодчикова и геометрическое соответствие Ленглендса .