Теория Бореля – де Зибенталя

В математике , теория Бореля-де Зибенталя описывает замкнутые связные подгруппы компактной группы Ли которые имеют максимальный ранг , т.е. содержат максимальный тор . Она названа в честь швейцарских математиков Армана Бореля и Жана де Зибенталя, разработавших теорию в 1949 году. Каждая такая подгруппа является компонентом централизатора единичным своего центра. Их можно описать рекурсивно в терминах связанной корневой системы группы. Подгруппы, для которых соответствующее однородное пространство имеет инвариантную комплексную структуру, соответствуют параболическим подгруппам в комплексификации компактной группы Ли — редуктивной алгебраической группы .

Связные подгруппы максимального ранга

Пусть G связная компактная группа Ли с максимальным тором T. — Хопф показал, что централизатор тора S ⊆ T является связной замкнутой подгруппой, содержащей T , то есть максимального ранга . Действительно, если x находится в CG ₍ S ) , существует максимальный тор, содержащий и S , и x , и он содержится в CG ₍ S ) .

Борель и де Зибенталь доказали, что связные замкнутые подгруппы максимального ранга являются в точности единичными компонентами централизаторов своих центров.

Их результат основан на факте теории представлений. Веса неприводимого представления связной компактной полупростой группы K со старшим весом λ легко описываются (без их кратности): они представляют собой в точности насыщение под группой Вейля доминирующих весов, полученных вычитанием суммы простых корней из лям. В частности, если неприводимое представление тривиально в центре K (конечная абелева группа), 0 является весом.

Чтобы доказать характеризацию Бореля и де Зибенталя, пусть H — замкнутая связная подгруппа группы G, содержащая T с центром Z . Компонент единицы L группы C _G (Z) содержит H . Если бы оно было строго больше, ограничение присоединенного представления L на H было бы тривиальным на Z . Любое неприводимое слагаемое, ортогональное алгебре Ли H , обеспечило бы векторы нулевого веса ненулевого веса для T / Z ⊆ H / Z , что противоречит максимальности тора T / Z в L / Z .

Максимальные связные подгруппы максимального ранга

Борель и де Зибенталь классифицировали максимальные замкнутые связные подгруппы максимального ранга связной компактной группы Ли.

К этому случаю можно свести общую классификацию связных замкнутых подгрупп максимального ранга, поскольку любая связная подгруппа максимального ранга содержится в конечной цепочке таких подгрупп, каждая из которых максимальна в следующей. Максимальные подгруппы — это единичные компоненты любого элемента их центра, не принадлежащие центру всей группы.

Задача определения максимальных связных подгрупп максимального ранга сводится далее к случаю, когда компактная группа Ли проста. На самом деле алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ связной компактной группы Ли G распадается в прямую сумму идеалов

$\displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {z}}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {g}}_{m},}$

где ${\mathfrak {z}}$ центр и другие факторы ${\mathfrak {g}}_{i}$ просты. Если T — максимальный тор, его алгебра Ли ${\mathfrak {t}}$ имеет соответствующее расщепление

$\displaystyle {{\mathfrak {t}}={\mathfrak {z}}\oplus {\mathfrak {t}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {t}}_{m},}$

где ${\mathfrak {t}}_{i}$ является максимальным абелевым в ${\mathfrak {g}}_{i}$. Если H — замкнутая связность группы G, содержащая T с алгеброй Ли ${\mathfrak {h}}$, усложнение ${\mathfrak {h}}$ является прямой суммой комплексификации ${\mathfrak {t}}$ и ряд одномерных весовых пространств, каждое из которых заключается в комплексификации фактора ${\mathfrak {g}}_{i}$. Таким образом, если

$\displaystyle {{\mathfrak {h}}_{i}={\mathfrak {h}}\cap {\mathfrak {g}}_{i},}$

затем

$\displaystyle {{\mathfrak {h}}={\mathfrak {z}}\oplus {\mathfrak {h}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {h}}_{m}.}$

Если H максимально, все, кроме одного, из ${\mathfrak {h}}_{i}$совпадает с ${\mathfrak {g}}_{i}$ а оставшееся — максимальное и максимального ранга. Для этого фактора замкнутая связная подгруппа соответствующей односвязной простой компактной группы Ли максимальна и имеет максимальный ранг.

Пусть G — связная односвязная компактная простая группа Ли с максимальным тором T . Позволять ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Ли группы G и ${\mathfrak {t}}$ у Т. что Пусть ∆ — соответствующая система корней . Выберите набор положительных корней и соответствующие им простые корни α ₁ , ..., α _n . Пусть α _{0 —} старший корень в ${\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }$ и напиши

$\displaystyle {\alpha _{0}=m_{1}\alpha _{1}+\cdots +m_{n}\alpha _{n}}$

с m _i ≥ 1. (Число m _i, равное 1, равно | Z | – 1, где Z — центр G .)

Альков Вейля определяется формулой

$\displaystyle {A=\{T\in {\mathfrak {t}}:\,\alpha _{1}(T)\geq 0,\dots ,\alpha _{n}(T)\geq 0,\alpha _{0}(T)\leq 1\}.}$

Эли Картан показал, что это фундаментальная область для аффинной группы Вейля . Если G ₁ = G / Z и T ₁ = T / Z , то экспоненциальное отображение из ${\mathfrak {g}}$ в G ₁ переносит 2π A на T ₁ .

Альков Вейля A представляет собой симплекс с вершинами в

$\displaystyle {v_{0}=0,\,\,v_{i}=m_{i}^{-1}X_{i},}$

где α _я ( Икс _j ) знак равно δ _ij .

Основной результат Бореля и де Зибенталя состоит в следующем.

ТЕОРЕМА. Максимальные связные подгруппы максимального ранга в G ₁ с точностью до сопряженности имеют вид
• C _{G 1} ( X _i ) для m _i знак равно 1
• C _{G 1} ( vi _​ ) формы простые .

Расширенные диаграммы Дынкина для простых комплексных алгебр Ли

Строение соответствующей подгруппы H ₁ можно описать в обоих случаях. Во втором случае он полупрост с системой простых корней, полученной заменой α _i на −α ₀ . В первом случае это прямое произведение группы окружностей, порожденной X _i, и полупростой компактной группы с системой простых корней, полученной опусканием α _i .

Этот результат можно перефразировать в терминах Дынкина расширенной диаграммы ${\mathfrak {g}}$ который добавляет дополнительный узел для самого высокого корня, а также метки m _i . Максимальные подалгебры ${\mathfrak {h}}$ максимального ранга либо неполупросты, либо полупросты. Неполупростые получаются удалением двух узлов из расширенной диаграммы с коэффициентом один. Соответствующая немаркированная диаграмма дает полупростую часть диаграммы Дынкина ${\mathfrak {h}}$, другая часть является одномерным фактором. Диаграммы Дынкина для полупростых получаются удалением одного узла с коэффициентом простое число. Это приводит к следующим возможностям:

• A _n : A _p × A _{n - p - 1} × T (неполупростой)
• B _n : D _n или B _p × D _{n - p} (полупростой), B _{n - 1} × T (неполупростой)
• C _n : C _p × C _{n - p} (SS), A _{n - 1} × T (NSS)
• Д _н : Д _п × Д _{н - п} (СС), Д _{н - 1} × Т , А _н-1 × Т (НСС)
• Е ₆ : А _​​1 × А ₅ , А ₂ × А ₂ × А ₂ (СС), Д ₅ × Т (НСС)
• Е ₇ : А ₁ × Д ₆ , А ₂ × А ₅ , А ₇ (СС), Е ₆ × Т (НСС)
• E ₈ : D ₈ , A ₈ , A ₄ × A ₄ , E ₆ × A ₂ , E ₇ × A ₁ (SS)
• Ф ₄ : Б ₄ , А ₂ × А ₂ , А ₁ × С ₃ (СС)
• Г ₂ : А ₂ , А ₁ × А ₁ (СС)

Все соответствующие однородные пространства симметричны, поскольку подалгебра является алгеброй неподвижных точек внутреннего автоморфизма периода 2, за исключением G ₂ /A ₂ , F ₄ /A ₂ ×A ₂ , E ₆ /A ₂ ×A ₂ × A ₂ , E ₇ /A ₂ ×A ₅ и все пространства E _{8 ,} кроме E ₈ /D ₈ и E ₈ /E ₇ ×A ₁ . Во всех этих исключительных случаях подалгебра является алгеброй неподвижных точек внутреннего автоморфизма периода 3, за исключением E ₈ /A ₄ ×A ₄ , где автоморфизм имеет период 5.

Для доказательства теоремы заметим, что H ₁ — единичная компонента централизатора элемента exp T с T в 2π A . Стабилизаторы увеличиваются при переходе от подсимплекса к ребру или вершине, поэтому T либо лежит на ребре, либо является вершиной. Если оно лежит на ребре, то это ребро соединяет 0 с вершиной v _i с m _i = 1, что является первым случаем. Если T — вершина vi _T и mi _что имеет нетривиальный множитель m , то mT имеет больший стабилизатор, чем , противоречит максимальности. Значит, должен _я быть простым. Максимальность можно проверить непосредственно, используя тот факт, что промежуточная подгруппа K будет иметь тот же вид, так что ее центром будет либо (а) T , либо (b) элемент простого порядка. Если центром H ₁ является ' T , каждый простой корень с числом mi _{простым} уже является корнем K , поэтому (b) невозможно; и если (a) выполняется, α _i — единственный корень, который можно опустить при m _j = 1, поэтому K = H ₁ . Если центр H ₁ имеет простой порядок, α _j является корнем K для m _j = 1, так что (a) невозможно; если (b) выполнено, то единственным возможным опущенным простым корнем является α _я , так что K знак равно ЧАС ₁ .

Закрытые подсистемы корней

Подмножество ∆1 _⊂ ⊂ называется замкнутой подсистемой, если всякий раз, когда α и β лежат в ∆1, _а α + β лежит в ∆, то α + β лежит в _∆1 . Две подсистемы ∆1 _и ∆2 _{называются} эквивалентными, если σ(∆1 ₎ = _∆2 для некоторого σ из W = NG _T ( ) / T , группы Вейля . Таким образом, для закрытой подсистемы

$\displaystyle {{\mathfrak {t}}_{\mathbf {C} }\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Delta _{1}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

является подалгеброй ${\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }$ содержащий ${\mathfrak {t}}_{\mathbf {C} }$; и наоборот, любая такая подалгебра порождает замкнутую подсистему. Борель и де Зибенталь классифицировали максимальные замкнутые подсистемы с точностью до эквивалентности.

ТЕОРЕМА. С точностью до эквивалентности максимальные закрытые корневые подсистемы задаются формулой m _i = 1 с простыми корнями, все α _j с j ≠ i , или m _i > 1 простыми числами с простыми корнями −α ₀ и всеми α _j с j ≠ i .

Этот результат является следствием теоремы Бореля–де Зибенталя для максимальных связных подгрупп максимального ранга. Это также можно доказать непосредственно в рамках теории корневых систем и групп отражений.

Приложения к симметричным пространствам компактного типа.

Пусть G — связная компактная полупростая группа Ли, σ — автоморфизм группы G периода 2 и G ^п подгруппа неподвижных точек группы σ. Пусть K — замкнутая подгруппа группы G, лежащая между G ^п и его идентификационный компонент . Компактное однородное пространство G / K называется симметрическим пространством компактного типа . Алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ допускает разложение

$\displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}},}$

где ${\mathfrak {k}}$, алгебра Ли K , является +1 собственным пространством σ и ${\mathfrak {p}}$ собственное пространство –1. Если ${\mathfrak {k}}$ не содержит простого слагаемого ${\mathfrak {g}}$, пара ( ${\mathfrak {g}}$, σ) называется ортогональной симметрической алгеброй Ли типа компактного .

Любой внутренний продукт на ${\mathfrak {g}}$, инвариантный относительно присоединенного представления и σ, индуцирует риманову структуру на G / K , где G действует изометрически. При таком внутреннем продукте ${\mathfrak {k}}$ и ${\mathfrak {p}}$ ортогональны. G / K тогда является римановым симметрическим пространством компактного типа.

Симметричное пространство или пара ( ${\mathfrak {g}}$, σ) называется неприводимым, если присоединенное действие ${\mathfrak {k}}$ (или, что то же самое, единичный компонент G ^п или K ) неприводим на ${\mathfrak {p}}$. Это эквивалентно максимальности ${\mathfrak {k}}$ как подалгебра.

На самом деле между промежуточными подалгебрами существует однозначное соответствие. ${\mathfrak {h}}$ и K -инвариантные подпространства ${\mathfrak {p}}_{1}$ из ${\mathfrak {p}}$ данный

$\displaystyle {{\mathfrak {h}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}_{1},\,\,\,\ {\mathfrak {p}}_{1}={\mathfrak {h}}\cap {\mathfrak {p}}.}$

Любая ортогональная симметрическая алгебра ( ${\mathfrak {g}}$, σ) можно разложить в (ортогональную) прямую сумму неприводимых ортогональных симметрических алгебр.

Фактически ${\mathfrak {g}}$ можно записать в виде прямой суммы простых алгебр

$\displaystyle {{\mathfrak {g}}=\oplus _{i=1}^{N}{\mathfrak {g}}_{i},}$

которые переставляются автоморфизмом σ. Если σ покидает алгебру ${\mathfrak {g}}_{1}$ инвариант, его разложение по собственному пространству совпадает с его пересечениями с ${\mathfrak {k}}$ и ${\mathfrak {p}}$. Таким образом, ограничение σ на ${\mathfrak {g}}_{1}$ является нередуцируемым. Если σ меняет местами два простых слагаемых, соответствующая пара изоморфна диагональному включению K в K × K , причем K простой, поэтому также неприводима. Инволюция σ просто меняет местами два множителя. σ( Икс , у ) = ( y , Икс ).

Это разложение ортогональной симметрической алгебры дает прямое разложение на произведение соответствующего компактного симметрического пространства G / K , когда G односвязно. В этом случае подгруппа неподвижных точек G ^п автоматически связна (это уже неверно, даже для внутренних инволюций, если G не односвязна). Для односвязного G симметрическое пространство G / K является прямым произведением двух видов симметрических пространств G _i / K _i или H × H / H . Неодносвязное симметрическое пространство компактного типа возникает как факторы односвязного пространства G / K по конечным абелевым группам. На самом деле, если

$\displaystyle {G/K=G_{1}/K_{1}\times \cdots \times G_{s}/K_{s},}$

позволять

$\displaystyle {\Gamma _{i}=Z(G_{i})/Z(G_{i})\cap K_{i}}$

и пусть ∆i _— подгруппа Γi _, фиксированная всеми автоморфизмами группы Gi _, сохраняющими Ki ₍ т. е. автоморфизмами ортогональной симметрической алгебры Ли). Затем

$\displaystyle {\Delta =\Delta _{1}\times \cdots \times \Delta _{s}}$

— конечная абелева группа, свободно действующая на G / K . Неодносвязные симметрические пространства возникают как факторы по подгруппам из ∆. Подгруппу можно отождествить с фундаментальной группой , которая, таким образом, является конечной абелевой группой.

Классификация компактных симметрических пространств или пар ( ${\mathfrak {g}}$, σ) таким образом сводится к случаю, когда G — связная простая компактная группа Ли. Возможны две возможности: либо автоморфизм σ является внутренним, и в этом случае K имеет максимальный ранг и применима теория Бореля и де Зибенталя; или автоморфизм σ является внешним, так что, поскольку σ сохраняет максимальный тор, ранг K меньше ранга G и σ соответствует автоморфизму диаграммы Дынкина по модулю внутренних автоморфизмов. Вольф (2010) в последнем случае определяет все возможные σ напрямую: они соответствуют симметрическим пространствам SU( n )/SO( n ), SU(2 n )/Sp( n ), SO( a + b )/SO( a )×SO( b ) ( a и b нечетные), E ₆ /F ₄ и Е ₆ / С ₄ .

Виктор Кац заметил, что все автоморфизмы конечного порядка простой алгебры Ли можно определить с помощью соответствующей аффинной алгебры Ли : той классификации, которая приводит к альтернативному методу классификации пар ( ${\mathfrak {g}}$, σ), описан Хелгасоном (1978) .

Приложения к эрмитовым симметрическим пространствам компактного типа.

Случай равного ранга с K неполупростым в точности соответствует эрмитовым симметрическим пространствам G / K компактного типа.

Фактически симметрическое пространство имеет почти сложную структуру, сохраняющую риманову метрику тогда и только тогда, когда существует линейное отображение J с J ² = − Я на ${\mathfrak {p}}$ который сохраняет скалярное произведение и коммутирует с действием K . В этом случае J лежит в ${\mathfrak {k}}$ и exp Jt образует однопараметрическую группу в центре K . Это следует из того, что если A , B , C , D лежат в ${\mathfrak {p}}$, то в силу инвариантности скалярного произведения на ${\mathfrak {g}}$

$\displaystyle {([[A,B],C],D)=([A,B],[C,D])=([[C,D],B],A).}$

Заменив A и B на JA и JB , получим, что

$\displaystyle {[JA,JB]=[A,B].}$

Определим линейное отображение δ на ${\mathfrak {g}}$ расширив J до 0 на ${\mathfrak {k}}$. Последнее соотношение показывает, что δ является производным ${\mathfrak {g}}$. С ${\mathfrak {g}}$ является полупростым, δ должно быть внутренним выводом, так что

$$\delta (X)=[T+A,X],$$

с Т в ${\mathfrak {k}}$ и А в ${\mathfrak {p}}$. Принимая Х ​ ${\mathfrak {k}}$, то A = 0 и T лежит в центре ${\mathfrak {k}}$ и, следовательно, K неполупрост.

Если, с другой стороны, G / K неприводима, а K неполупроста, то компактная группа G должна быть простой и K максимального ранга. По теореме Бореля и Зибенталя инволюция σ внутренняя и K — централизатор тора S . Отсюда следует, что K односвязна и существует параболическая подгруппа P в комплексификации GC _группы G / такая, что G / K = GC _/ G P . существует комплексная структура В частности, на G / K и действие G голоморфно.

В общем случае любое компактное эрмитово симметрическое пространство односвязно и может быть записано как прямое произведение неприводимых эрмитовых симметрических пространств G _i / K _i на G _i простое. Неприводимые — это именно описанные выше неполупростые случаи.

Ссылки

• Борель, А.; Де Зибенталь, Дж. (1949), «Замкнутые подгруппы максимального ранга замкнутых групп Ли» , Commentarii Mathematici Helvetici , 23 : 200–221, doi : 10.1007/bf02565599 , S2CID   120101481
• Борель, Арманд (1952), Симметричные эрмитовые пространства, Лекция № 62 , Семинар Бурбаки, том. 2, заархивировано из оригинала 04 марта 2016 г. , получено 14 марта 2013 г.
• Бурбаки, Н. (1981), Группы Ли и алгебры (главы 4,5 и 6) , Элементы математики, Массон, ISBN  978-3-540-34490-2
• Бурбаки, Н. (1982), Группы и алгебры Ли (глава 9) , Элементы математики, Массон, ISBN  978-3-540-34392-9
• Дуйстермаат, Джей-Джей; Колк, А. (2000), Группы Ли , Universitext, Springer, ISBN  978-3-540-15293-4
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Academic Press, ISBN  978-0-8218-2848-9
• Хамфрис, Джеймс Э. (1981), Линейные алгебраические группы , Тексты для аспирантов по математике, том. 21, Спрингер, ISBN  978-0-387-90108-4
• Хамфрис, Джеймс Э. (1997), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Тексты для аспирантов по математике, том. 9 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3-540-90053-5
• Кейн, Ричард (2001), Группы отражения и теория инвариантов , Springer, ISBN  978-0-387-98979-2
• Кобаяши, Сошичи, Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , том 2, Wiley-Interscience, ISBN;  978-0-471-15732-8
• Малле, Гюнтер ; Тестерман, Донна (2011), Линейные алгебраические группы и конечные группы лиева типа , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 133, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-1-139-49953-8
• Вольф, Джозеф А. (2010), Пространства постоянной кривизны , AMS Chelsea Publishing (6-е изд.), Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-5282-8