Схема аксиом спецификации

Во многих популярных версиях аксиоматической теории множеств аксиом спецификации схема ^{[ 1 ]} также известна как схема аксиом разделения ( Aussonderung Axiom ), ^{[ 2 ]} подмножество аксиом ^{[ 3 ]} или схема аксиом ограниченного понимания является схемой аксиом . По сути, это говорит о том, что любой определяемый подкласс множества является множеством.

Некоторые математики называют это схемой аксиом понимания , хотя другие используют этот термин для обозначения неограниченного понимания , обсуждаемого ниже.

Поскольку ограничение понимания позволило избежать парадокса Рассела , несколько математиков, включая Цермело , Френкеля и Гёделя , считали его наиболее важной аксиомой теории множеств. ^{[ 4 ]}

Заявление

включен один экземпляр схемы. Для каждой формулы $\varphi (x)$ на языке теории множеств с $x$ как свободная переменная. Так $S$ не возникает свободно в $\varphi (x)$ . ^{[ 3 ]}^{[ 2 ]}^{[ 5 ]} На формальном языке теории множеств схема аксиом выглядит следующим образом:

\forall A\,\exists S\,\forall x\,{\big (}x\in S\iff (x\in A\wedge \varphi (x)){\big )}

^{[ 3 ]}^{[ 1 ]}^{[ 5 ]}

или словами:

Позволять

\varphi (x)

быть формулой. Для каждого набора

A

существует набор

S

состоящий из всех элементов

x\in A

такой, что

\varphi (x)

держит. ^{[ 3 ]}

существует одна аксиома. Обратите внимание, что для каждого такого предиката $\varphi (x)$ ; таким образом, это схема аксиом . ^{[ 3 ]}^{[ 1 ]}

Чтобы понять эту схему аксиом, обратите внимание, что множество $S$ должно подмножеством A . быть Таким образом, схема аксиом на самом деле говорит о том, что при наличии набора $A$ и предикат $\varphi (x)$ , мы можем найти подмножество $S$ группы А, члены которой являются в точности теми членами А , которые удовлетворяют $\varphi (x)$ . По аксиоме экстенсиональности это множество единственно. Мы обычно обозначаем это множество, используя обозначение построителя множеств , как $S=\{x\in A|\varphi (x)\}$ . Таким образом, суть аксиомы такова:

Каждый подкласс множества, определенного предикатом, сам по себе является множеством.

Предыдущая форма разделения была введена в 1930 году Торальфом Скулемом как усовершенствованная форма разделения не первого порядка. ^{[ 6 ]} форма Цермело. ^{[ 7 ]} Схема аксиом спецификации характерна для систем аксиоматической теории множеств, родственных обычной теории множеств ZFC , но обычно не появляется в радикально отличающихся системах альтернативной теории множеств . Например, «Новые фонды» и позитивная теория множеств используют разные ограничения аксиомы понимания наивной теории множеств . Альтернативная теория множеств Вопенки уделяет особое внимание разрешению собственных подклассов множеств, называемых полумножествами . Даже в системах, связанных с ZFC, эта схема иногда ограничивается формулами с ограниченными кванторами, как в теории множеств Крипке–Платека с urelements .

Связь со схемой аксиом замены

Схема аксиом спецификации подразумевается схемой аксиом замены вместе с аксиомой пустого множества . ^{[ 8 ]}^{[ а ]}

Схема аксиом замены гласит, что если функция $f$ определяется формулой $\varphi (x,y,p_{1},\ldots ,p_{n})$ , то для любого множества $A$ , существует набор $B=f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}$ :

{\begin{aligned}&\forall x\,\forall y\,\forall z\,\forall p_{1}\ldots \forall p_{n}[\varphi (x,y,p_{1},\ldots ,p_{n})\wedge \varphi (x,z,p_{1},\ldots ,p_{n})\implies y=z]\implies \\&\forall A\,\exists B\,\forall y(y\in B\iff \exists x(x\in A\wedge \varphi (x,y,p_{1},\ldots ,p_{n})))\end{aligned}}

. ^{[ 8 ]}

Чтобы вывести схему аксиом спецификации, пусть $\varphi (x,p_{1},\ldots ,p_{n})$ быть формулой и $z$ набор и определим функцию $f$ такой, что $f(x)=x$ если $\varphi (x,p_{1},\ldots ,p_{n})$ это правда и $f(x)=u$ если $\varphi (x,p_{1},\ldots ,p_{n})$ неверно, где $u\in z$ такой, что $\varphi (u,p_{1},\ldots ,p_{n})$ это правда. Тогда набор $y$ гарантированной схемой аксиом замены является именно набор $y$ требуется в схеме аксиом спецификации. Если $u$ не существует, то $f(x)$ в схеме аксиом спецификации есть пустое множество, существование которого (т. е. аксиома пустого множества) тогда необходимо. ^{[ 8 ]}

По этой причине схема аксиом спецификации исключена из некоторых аксиоматизаций теории множеств ZF (Цермело-Франкеля) . ^{[ 9 ]} хотя некоторые авторы, несмотря на избыточность, включают и то, и другое. ^{[ 10 ]} Тем не менее, схема аксиом спецификации примечательна тем, что она была в исходном списке аксиом Цермело 1908 года, до того, как Френкель изобрел аксиому замены в 1922 году. ^{[ 9 ]} Кроме того, если взять теорию множеств ZFC (т. е. ZF с аксиомой выбора), удалить аксиому замены и аксиому коллекции , но сохранить схему аксиом спецификации, то получится более слабая система аксиом, называемая ZC (т. е. Аксиомы Цермело плюс аксиома выбора). ^{[ 11 ]}

Неограниченное понимание

Схема аксиом неограниченного понимания гласит:

$\forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\exists B\,\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow \varphi (x,w_{1},\ldots ,w_{n}))$

то есть:

Существует множество

B

, членами которого являются в точности те объекты, которые удовлетворяют предикату

φ

.

Это множество $B$ снова уникально и обычно обозначается как ${x : φ (x, w 1, ..., w b)}.$

Эта схема аксиом молчаливо использовалась на заре наивной теории множеств , до того, как была принята строгая аксиоматизация. Однако позже было обнаружено, что это приводит непосредственно к парадоксу Рассела , если принять $φ (x)$ за $\neg(x \in x)$ (т.е. свойство, которое устанавливает $x,$ не является членом самого себя). Следовательно, никакая полезная аксиоматизация теории множеств не может использовать неограниченное понимание. Переход от классической логики к интуиционистской логике не помогает, поскольку доказательство парадокса Рассела интуиционистски обосновано.

Принятие только схемы аксиом спецификации было началом аксиоматической теории множеств. Большинство других аксиом Цермело-Френкеля (но не аксиома экстенсиональности , аксиома регулярности или аксиома выбора ) затем стали необходимыми, чтобы компенсировать часть того, что было потеряно за счет изменения схемы аксиом понимания на схему аксиом. спецификации - каждая из этих аксиом утверждает, что определенный набор существует, и определяет этот набор, задавая предикат, которому должны удовлетворять его члены, т.е. это частный случай схемы аксиом понимания.

Также можно предотвратить несогласованность схемы, ограничив формулы, к которым ее можно применять, например, только стратифицированные формулы в «Новых основах » (см. Ниже) или только положительные формулы (формулы только с конъюнкцией, дизъюнкцией, количественной оценкой и атомарные формулы). в теории позитивных множеств . Однако позитивные формулы обычно не способны выразить определенные вещи, которые могут выразить большинство теорий; нет дополнения например, в теории позитивных множеств или относительного дополнения.

В теории классов NBG

В теории множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя проводится различие между множествами и классами . Класс $C$ является множеством тогда и только тогда, когда он принадлежит некоторому $E.$ классу В этой теории существует схема теоремы , которая гласит: $\exists D\forall C\,([C\in D]\iff [P(C)\land \exists E\,(C\in E)])\,,$

то есть,

Существует класс

D

такой, что любой класс

C

является членом

D

тогда и только тогда, когда

C

является множеством, удовлетворяющим

P

.

при условии, что кванторы в предикате $P$ ограничены множествами.

Эта схема теорем сама по себе является ограниченной формой понимания, которая позволяет избежать парадокса Рассела из-за требования, чтобы $C$ было множеством. Тогда спецификацию самих множеств можно записать в виде одной аксиомы. $\forall D\forall A\,(\exists E\,[A\in E]\implies \exists B\,[\exists E\,(B\in E)\land \forall C\,(C\in B\iff [C\in A\land C\in D])])\,,$

то есть,

Для любого класса

D

и любого множества

A

существует множество

B

которые являются членами как

A

, так и

D.

, членами которого являются именно те классы ,

или даже проще

Пересечение является класса

D

и множества

A

множеством

B.

само по себе

В этой аксиоме предикат $P$ заменяется классом $D$ , который можно оценить количественно. Другая более простая аксиома, достигающая того же эффекта, гласит: $\forall A\forall B\,([\exists E\,(A\in E)\land \forall C\,(C\in B\implies C\in A)]\implies \exists E\,[B\in E])\,,$

то есть,

Подклассом множества является множество.

В настройках более высокого порядка

В типизированном языке, где мы можем количественно оценивать предикаты, схема аксиом спецификации становится простой аксиомой. Это во многом тот же прием, который использовался в аксиомах NBG в предыдущем разделе, где предикат был заменен классом, который затем подвергался количественной оценке.

В логике второго порядка и логике высшего порядка с семантикой высшего порядка аксиома спецификации является логической достоверностью и не требует явного включения в теорию.

В новых основах Куайна

В подходе «Новые основы» к теории множеств, впервые предложенном У.В.О. Куайном , аксиома понимания для данного предиката принимает неограниченную форму, но предикаты, которые могут использоваться в схеме, сами по себе ограничены. Предикат ( $C$ is not in $C$ ) запрещен, поскольку один и тот же символ $C$ появляется с обеих сторон символа членства (и, следовательно, в разных «относительных типах»); таким образом удается избежать парадокса Рассела. Однако, приняв $P (C)$ за $(C = C)$ , что разрешено, мы можем сформировать набор всех множеств. Подробнее см. стратификация .

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с «Аксиоматическая теория множеств» . www.cs.yale.edu . Схема аксиом спецификации . Проверено 8 июня 2024 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Суппес, Патрик (1 января 1972 г.). Аксиоматическая теория множеств . Курьерская корпорация. стр. 6, 19, 21, 237. ISBN. 978-0-486-61630-8 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Каннингем, Дэниел В. (2016). Теория множеств: первый курс . Кембриджские учебники математики. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 22, 24–25, 29. ISBN. 978-1-107-12032-7 .
^ Хайнц-Дитер Эббингауз (2007). Эрнст Цермело: подход к его жизни и творчеству . Springer Science & Business Media. п. 88. ИСБН 978-3-540-49553-6 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ДеВиди, Дэвид; Халлетт, Майкл; Кларк, Питер (23 марта 2011 г.). Логика, математика, философия, винтажные энтузиазмы: очерки в честь Джона Л. Белла . Springer Science & Business Media. п. 206. ИСБН 978-94-007-0214-1 .
^ Ф. Р. Дрейк, Теория множеств: введение в большие кардиналы (1974), стр. 12–13. ISBN 0 444 10535 2.
^ WVO Quine, Математическая логика (1981), стр.164. Издательство Гарвардского университета, 0-674-55451-5
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Тот, Габор (23 сентября 2021 г.). Элементы математики: проблемно-центрированный подход к истории и основаниям . Спрингер Природа. п. 32. ISBN 978-3-030-75051-0 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Байнок, Бела (27 октября 2020 г.). Приглашение к абстрактной математике . Спрингер Природа. п. 138. ИСБН 978-3-030-56174-1 .
^ Воот, Роберт Л. (28 августа 2001 г.). Теория множеств: Введение . Springer Science & Business Media. п. 67. ИСБН 978-0-8176-4256-3 .
^ Кановей, Владимир; Рикен, Майкл (9 марта 2013 г.). Нестандартный анализ, аксиоматически . Springer Science & Business Media. п. 21. ISBN 978-3-662-08998-9 .

Дальнейшее чтение

Кроссли, JBN; Эш, CJ; Брикхилл, CJ; Стиллвелл, Джей Си; Уильямс, Нью-Хэмпшир (1972). Что такое математическая логика? . Лондон-Оксфорд-Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-888087-1 . Збл 0251.02001 .
Халмос, Пол , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Компания Д. Ван Ностранда, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag).
Джех, Томас, 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Спрингер. ISBN 3-540-44085-2 .
Кунен, Кеннет, 1980. Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN 0-444-86839-9 .

Примечания

^ Суппес, ^{[ 2 ]} цитированный ранее, вывел ее только из схемы аксиом замены (стр. 237), но это потому, что он начал свою формулировку теории множеств с включения пустого множества как часть определения множества: его Определение 1, на странице 19, заявляет, что $y{\text{ is a set}}\iff (\exists x)\ (x\in y\lor y=\emptyset )$ .

[:1-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с «Аксиоматическая теория множеств» . www.cs.yale.edu . Схема аксиом спецификации . Проверено 8 июня 2024 г.

[SuppesAxiomatic-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Суппес, Патрик (1 января 1972 г.). Аксиоматическая теория множеств . Курьерская корпорация. стр. 6, 19, 21, 237. ISBN. 978-0-486-61630-8 .

[:0-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Каннингем, Дэниел В. (2016). Теория множеств: первый курс . Кембриджские учебники математики. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 22, 24–25, 29. ISBN. 978-1-107-12032-7 .

[Ebbinghaus2007-4] Хайнц-Дитер Эббингауз (2007). Эрнст Цермело: подход к его жизни и творчеству . Springer Science & Business Media. п. 88. ИСБН 978-3-540-49553-6 .

[:2-5] Перейти обратно: ^а ^б ДеВиди, Дэвид; Халлетт, Майкл; Кларк, Питер (23 марта 2011 г.). Логика, математика, философия, винтажные энтузиазмы: очерки в честь Джона Л. Белла . Springer Science & Business Media. п. 206. ИСБН 978-94-007-0214-1 .

[6] Ф. Р. Дрейк, Теория множеств: введение в большие кардиналы (1974), стр. 12–13. ISBN 0 444 10535 2.

[7] WVO Quine, Математическая логика (1981), стр.164. Издательство Гарвардского университета, 0-674-55451-5

[GaborMath-8] Перейти обратно: ^а ^б ^с Тот, Габор (23 сентября 2021 г.). Элементы математики: проблемно-центрированный подход к истории и основаниям . Спрингер Природа. п. 32. ISBN 978-3-030-75051-0 .

[:3-10] Перейти обратно: ^а ^б Байнок, Бела (27 октября 2020 г.). Приглашение к абстрактной математике . Спрингер Природа. п. 138. ИСБН 978-3-030-56174-1 .

[11] Воот, Роберт Л. (28 августа 2001 г.). Теория множеств: Введение . Springer Science & Business Media. п. 67. ИСБН 978-0-8176-4256-3 .

[12] Кановей, Владимир; Рикен, Майкл (9 марта 2013 г.). Нестандартный анализ, аксиоматически . Springer Science & Business Media. п. 21. ISBN 978-3-662-08998-9 .

[9] Суппес, ^{[ 2 ]} цитированный ранее, вывел ее только из схемы аксиом замены (стр. 237), но это потому, что он начал свою формулировку теории множеств с включения пустого множества как часть определения множества: его Определение 1, на странице 19, заявляет, что $y{\text{ is a set}}\iff (\exists x)\ (x\in y\lor y=\emptyset )$ .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ а ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

v т и Теория множеств
Overview	Set (mathematics)
Axioms	Adjunction Choice countable dependent global Constructibility (V=L) Determinacy Extensionality Infinity Limitation of size Pairing Power set Regularity Union Martin's axiom Axiom schema replacement specification
Operations	Cartesian product Complement (i.e. set difference) De Morgan's laws Disjoint union Identities Intersection Power set Symmetric difference Union
Concepts Methods	Almost Cardinality Cardinal number (large) Class Constructible universe Continuum hypothesis Diagonal argument Element ordered pair tuple Family Forcing One-to-one correspondence Ordinal number Set-builder notation Transfinite induction Venn diagram
Set types	Amorphous Countable Empty Finite (hereditarily) Filter base subbase Ultrafilter Fuzzy Infinite (Dedekind-infinite) Recursive Singleton Subset · Superset Transitive Uncountable Universal
Theories	Alternative Axiomatic Naive Cantor's theorem Zermelo General Principia Mathematica New Foundations Zermelo–Fraenkel von Neumann–Bernays–Gödel Morse–Kelley Kripke–Platek Tarski–Grothendieck
Paradoxes Problems	Russell's paradox Suslin's problem Burali-Forti paradox
Set theorists	Paul Bernays Georg Cantor Paul Cohen Richard Dedekind Abraham Fraenkel Kurt Gödel Thomas Jech John von Neumann Willard Quine Bertrand Russell Thoralf Skolem Ernst Zermelo