Точечное отражение

Двойные тетраэдры, центрально симметричные друг другу.

В геометрии точечное отражение (также называемое инверсией точки или центральной инверсией ) — это преобразование аффинного пространства , при котором каждая точка отражается через определенную фиксированную точку . При работе с кристаллическими структурами и в физических науках термины инверсионная симметрия , центр инверсии или центросимметричный чаще используются .

Точечное отражение — это инволюция : его применение дважды — это тождественное преобразование . Это эквивалентно гомотетическому преобразованию с масштабным коэффициентом $-1$ . Точку инверсии еще называют гомотетическим центром .

Говорят, что объект, инвариантный относительно точечного отражения, обладает точечной симметрией ; если он инвариантен относительно точечного отражения через свой центр , говорят, что он обладает центральной симметрией или центрально симметричен . Точечная группа , включающая в себя точечное отражение среди своих симметрий, называется центросимметричной .

В евклидовом пространстве точечное отражение является изометрией ( сохраняет расстояние ). ^[1] В евклидовой плоскости точечное отражение аналогично на пол-оборота повороту (180° или $π$ радиан ); объекта отражение точки через центр тяжести аналогично вращению на пол-оборота .

Терминология

Термин «отражение» является расплывчатым и некоторые считают злоупотреблением языком, предпочтительнее инверсия ; однако точечное отражение широко используется . Такие карты являются инволюциями , что означает, что они имеют порядок 2 — они сами себе инверсны: их применение дважды дает тождественную карту — что также верно и для других карт, называемых отражениями . В более узком смысле под отражением понимается отражение в гиперплоскости ( $n-1$ размерное аффинное подпространство - точка на прямой , линия на плоскости , плоскость в трехмерном пространстве), с фиксированной гиперплоскостью, но в более широком смысле отражение применяется к любой инволюции евклидова пространства и фиксированному множеству (аффинное пространство размерности k , где $1\leq k\leq n-1$ ) называется зеркалом . В измерении 1 они совпадают, поскольку точка является гиперплоскостью на линии.

С точки зрения линейной алгебры, предполагая, что начало координат фиксировано, инволюции представляют собой в точности диагонализуемые отображения со всеми собственными значениями либо 1, либо -1. Отражение в гиперплоскости имеет единственное собственное значение −1 (и кратность $n-1$ по 1 собственному значению), тогда как точечное отражение имеет только собственное значение -1 (с кратностью n ).

Термин «инверсия» не следует путать с инверсивной геометрией , где инверсия определяется по отношению к кругу.

Примеры

2D примеры
Шестиугольный параллелогон	Октагон

В двух измерениях отражение точки аналогично повороту на 180 градусов. В трех измерениях точечное отражение можно описать как вращение на 180 градусов, состоящее из отражения через плоскость вращения, перпендикулярную оси вращения. В измерении n точечные отражения сохраняют ориентацию , если n четное, и меняют ориентацию, если n нечетное.

Формула

Дан вектор a в евклидовом пространстве R ^н, формула отражения a через точку p имеет вид

\mathrm {Ref} _{\mathbf {p} }(\mathbf {a} )=2\mathbf {p} -\mathbf {a} .

В случае, когда p — начало координат, точечное отражение — это просто отрицание вектора a .

В евклидовой геометрии инверсией * точки X такая относительно точки P является точка X , что P является серединой отрезка прямой с концами X и X *. Другими словами, вектор от X до P аналогичен вектору от P до X *.

Формула инверсии в P :

х * = 2 п - х

где p , x и x * — векторы положения P , X и X * соответственно.

Это отображение представляет собой изометрическое инволютивное аффинное преобразование имеющее ровно одну неподвижную точку , то есть P. ,

Точечное отражение как частный случай равномерного масштабирования или гомотетии

Когда точка инверсии P совпадает с началом координат, отражение точки эквивалентно частному случаю равномерного масштабирования : равномерному масштабированию с масштабным коэффициентом, равным −1. Это пример линейного преобразования .

Когда P не совпадает с началом координат, точечное отражение эквивалентно частному случаю гомотетического преобразования : гомотетии с центром гомотетики , совпадающим с P, и масштабным коэффициентом -1. (Это пример нелинейного аффинного преобразования .)

Группа точечных отражений

Композиция является двух точечных отражений трансляцией . ^[2] В частности, точечное отражение в точке p , за которым следует точечное отражение в точке q, является переносом вектора 2( q - p ).

Множество, состоящее из всех точечных отражений и перемещений, является подгруппой Ли евклидовой группы . Это продукт R полупрямой ^н с циклической группой порядка 2, действующей на R ^н путем отрицания. Именно подгруппа евклидовой группы поточечно фиксирует линию на бесконечности .

В случае n = 1 группа точечных отражений представляет собой полную группу изометрии линии.

Точечные отражения в математике

Отражение точки через центр сферы дает антиподальную карту .
Симметричное пространство — это риманово многообразие с изометрическим отражением в каждой точке. Симметрические пространства играют важную роль в изучении групп Ли и римановой геометрии .

Отражение точки в аналитической геометрии

Учитывая точку $P(x,y)$ и его отражение $P'(x',y')$ относительно точки $C(x_{c},y_{c})$ , последняя является серединой отрезка ${\overline {PP'}}$ ;

{\begin{cases}x_{c}={\frac {x+x'}{2}}\\y_{c}={\frac {y+y'}{2}}\end{cases}}

Следовательно, уравнения для нахождения координат отраженной точки имеют вид

{\begin{cases}x'=2x_{c}-x\\y'=2y_{c}-y\end{cases}}

Частным является случай, когда точка С имеет координаты $(0,0)$ (см. абзац ниже )

{\begin{cases}x'=-x\\y'=-y\end{cases}}

Характеристики

В четномерном евклидовом пространстве , скажем, 2 N -мерном пространстве, инверсия в точке P эквивалентна N поворотам на углы $π$ в каждой плоскости произвольного набора N взаимно ортогональных плоскостей, пересекающихся в P. точке Эти вращения взаимно коммутативны. Поэтому инверсия в точке четномерного пространства — это изометрия, сохраняющая ориентацию, или прямая изометрия .

В нечетномерном евклидовом пространстве , скажем (2 N + 1)-мерном пространстве, это эквивалентно N вращениям по $π$ в каждой плоскости произвольного набора N взаимно ортогональных плоскостей, пересекающихся в точке P , в сочетании с отражением в 2 N -мерное подпространство, охватываемое этими плоскостями вращения. Следовательно, она меняет, а не сохраняет ориентацию , это косвенная изометрия .

Геометрически в 3D это представляет собой вращение вокруг оси, проходящей через P , на угол 180 ° в сочетании с отражением в плоскости, проходящей через P , перпендикулярной оси; результат не зависит от ориентации (в другом смысле) оси. Обозначения типа операции или типа создаваемой ею группы: ${\overline {1}}$ , C _i , S ₂ и 1×. Тип группы — один из трех типов группы симметрии в 3D без какой-либо чистой вращательной симметрии , см. циклические симметрии с n = 1.

Следующие группы точек в трех измерениях содержат инверсию:

C _{n h} и D _{n h} для четных n
S _{2 n} и D _{n d} для нечетных n
Ч , о _, и я _ч

С обратным в точке тесно связано отражение относительно плоскости , которое можно рассматривать как «инверсию в плоскости».

Центры инверсии в кристаллографии.

Молекулы содержат центр инверсии, когда существует точка, через которую все атомы могут отражаться, сохраняя при этом симметрию. В кристаллографии наличие центров инверсии различает центросимметричные и нецентросимметричные соединения. Кристаллические структуры состоят из различных многогранников, классифицированных по координационному числу и валентным углам. Например, четырехкоординатные многогранники относят к тетраэдрам , а пятикоординатные окружения могут быть квадратно-пирамидальными или тригонально-бипирамидальными в зависимости от углов соединения. Все кристаллические соединения происходят из повторения атомного строительного блока, известного как элементарная ячейка, и эти элементарные ячейки определяют, какие многогранники формируются и в каком порядке. Эти многогранники соединяются друг с другом посредством общих углов, ребер или граней, в зависимости от того, какие атомы имеют общие связи. Многогранники, содержащие центры инверсии, называются центросимметричными, а многогранники без них - нецентросимметричными. Шестикоординатные октаэдры являются примером центросимметричных многогранников, поскольку центральный атом действует как центр инверсии, благодаря которому шесть связанных атомов сохраняют симметрию. Тетраэдры, с другой стороны, нецентросимметричны, поскольку инверсия через центральный атом приведет к переворачиванию многогранника. Многогранники с нечетным (а не четным) координационным числом не являются центросимметричными.

Настоящим многогранникам в кристаллах часто не хватает однородности, ожидаемой в геометрии их связей. Общие нарушения, обнаруживаемые в кристаллографии, включают искажения и беспорядок. Искажение включает в себя деформацию многогранников из-за неодинаковой длины связей, часто из-за различного электростатического притяжения между гетероатомами. Например, титановый центр, вероятно, будет равномерно связываться с шестью атомами кислорода в октаэдрах, но произойдет искажение, если один из атомов кислорода будет заменен более электроотрицательным фтором. Искажения не изменят внутреннюю геометрию многогранников — искаженный октаэдр по-прежнему классифицируется как октаэдр, но достаточно сильные искажения могут повлиять на центросимметрию соединения. Беспорядок предполагает разделение занятости по двум или более позициям, при котором атом будет занимать одну кристаллографическую позицию в определенном проценте многогранников, а другую - в остальных позициях. Беспорядок также может влиять на центросимметрию определенных многогранников, в зависимости от того, разделена ли заселенность по уже существующему центру инверсии.

Центросимметрия применима к кристаллической структуре в целом, а не только к отдельным многогранникам. Кристаллы подразделяются на тридцать две кристаллографические точечные группы , которые описывают, как различные многогранники располагаются в пространстве в объемной структуре. Из этих тридцати двух точечных групп одиннадцать центросимметричны. Наличие нецентросимметричных многогранников не гарантирует, что точечная группа будет одинаковой - две нецентросимметричные формы могут быть ориентированы в пространстве таким образом, чтобы между ними был центр инверсии. Два тетраэдра, обращенные друг к другу, могут иметь центр инверсии посередине, поскольку ориентация позволяет каждому атому иметь отраженную пару. Обратное также верно, поскольку несколько центросимметричных многогранников могут образовывать нецентросимметричную точечную группу.

Нецентросимметричные изолирующие соединения являются пьезоэлектриками и могут быть полезны для применения в нелинейной оптике . Отсутствие симметрии из-за центров инверсии может привести к тому, что области кристалла будут по-разному взаимодействовать с падающим светом. Длина волны, частота и интенсивность света могут меняться, поскольку электромагнитное излучение взаимодействует с различными энергетическими состояниями по всей структуре. Титанилфосфат калия , KTiOPO ₄ (КТП). кристаллизуется в нецентросимметричной орторомбической Pna21 пространственной группе и является полезным нелинейным кристаллом. KTP используется для удвоения частоты лазеров, легированных неодимом , используя нелинейное оптическое свойство, известное как генерация второй гармоники . Приложения нелинейных материалов все еще исследуются, но эти свойства обусловлены наличием (или его отсутствием) центра инверсии.

Инверсия относительно начала координат

Инверсия относительно начала координат соответствует аддитивному обращению вектора положения, а также скалярному умножению на −1. Операция коммутирует со всеми остальными линейными преобразованиями , но не со сдвигом : она находится в центре общей линейной группы . «Инверсия» без указания «в точку», «в линию» или «в плоскость» означает настоящую инверсию; В физике трехмерное отражение через начало координат также называется преобразованием четности .

В математике отражение через начало координат относится к точечному отражению евклидова пространства R. ^н через начало декартовой системы координат . Отражение через начало координат — это ортогональное преобразование, соответствующее скалярному умножению на $-1$ , а также может быть записано как $-I$ , где $I$ является единичной матрицей . В трех измерениях это отправляет $(x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)$ и так далее.

Представительства

Как скалярная матрица , она представлена в каждом базисе матрицей с $-1$ на диагонали и вместе с единицей является центром ортогональной группы $O(n)$ .

Это произведение n ортогональных отражений (отражение через оси любого ортогонального базиса ); отметим, что ортогональные отражения коммутируют.

В 2-х измерениях это фактически поворот на 180 градусов, а в размерности $2n$ , это поворот на 180 градусов в n ортогональных плоскостях; ^[а] еще раз отметим, что вращения в ортогональных плоскостях коммутируют.

Характеристики

Он имеет определитель $(-1)^{n}$ (от представления матрицей или как продукт отражений). Таким образом, он сохраняет ориентацию в четном измерении и, следовательно, является элементом специальной ортогональной группы SO(2 n ), и меняет ориентацию в нечетном измерении, поэтому не является элементом SO(2 n + 1) и вместо этого обеспечивает разделение карты $O(2n+1)\to \pm 1$ , показывая это $O(2n+1)=SO(2n+1)\times \{\pm I\}$ как внутренний прямой продукт .

Вместе с единицей он образует центр ортогональной группы .
Он сохраняет каждую квадратичную форму, что означает $Q(-v)=Q(v)$ является элементом каждой неопределенной ортогональной группы . и, таким образом, также
Оно равно тождеству тогда и только тогда, когда характеристика равна 2.
Это самый длинный элемент группы Кокстера знаковых перестановок .

Аналогично, это самый длинный элемент ортогональной группы по отношению к порождающему набору отражений: все элементы ортогональной группы имеют длину не более n по отношению к порождающему набору отражений, ^[б] и отражение через начало координат имеет длину n, хотя в этом оно не уникально: другие максимальные комбинации поворотов (и, возможно, отражений) также имеют максимальную длину.

Геометрия

В SO(2 r ) отражение через начало координат является самой дальней точкой от единичного элемента по отношению к обычной метрике. В O(2 r + 1) отражение через начало координат не находится в SO(2 r +1) (оно находится в нетождественном компоненте), и не существует естественного смысла, в котором оно является «дальней точкой», чем любая другая точка в неидентичном компоненте, но она обеспечивает базовую точку в другом компоненте.

Алгебры Клиффорда и спиновые группы

следует путать его Не с элементом $-1\in \mathrm {Spin} (n)$ в спиновой группе . Это особенно сбивает с толку даже спиновые группы, поскольку $-I\in SO(2n)$ , и, таким образом, в $\operatorname {Spin} (n)$ есть оба $-1$ и 2 лифта $-I$ .

Отражение через тождество распространяется на автоморфизм алгебры Клиффорда , называемый основной инволюцией или градуированной инволюцией.

Отражение через тождество поднимается до псевдоскаляра .

См. также

Примечания

^ «Ортогональные плоскости», означающие, что все элементы ортогональны, и плоскости пересекаются только в точке 0, а не в том, что они пересекаются по линии и имеют двугранный угол 90 °.
^ Это следует из классификации ортогональных преобразований как прямых сумм вращений и отражений, что следует из спектральной теоремы . , например,

Ссылки

^ «Отражения в линиях» . new.math.uiuc.edu . Проверено 27 апреля 2024 г.
^ «Лаборатория 9-точечного отражения» . сайты.math.washington.edu . Проверено 27 апреля 2024 г.

[3] «Ортогональные плоскости», означающие, что все элементы ортогональны, и плоскости пересекаются только в точке 0, а не в том, что они пересекаются по линии и имеют двугранный угол 90 °.

[4] Это следует из классификации ортогональных преобразований как прямых сумм вращений и отражений, что следует из спектральной теоремы . , например,

[1] «Отражения в линиях» . new.math.uiuc.edu . Проверено 27 апреля 2024 г.

[2] «Лаборатория 9-точечного отражения» . сайты.math.washington.edu . Проверено 27 апреля 2024 г.

[1]

[2]

[а]

[б]