Конечные подгруппы SU(2)

Таблицы характеров бинарных тетраэдрических, октаэдрических и икосаэдрических групп по Фробениусу (1899).

В прикладной математике конечные подгруппы SU(2) — это группы, состоящие из вращений и связанных с ними преобразований, используемые, в частности, в области физической химии . Группа симметрии физического тела обычно содержит подгруппу (обычно конечную) группы трехмерного вращения . Может оказаться, что группа {±1} с двумя элементами действует и на тело; это обычно имеет место в магнетизме для обмена северным и южным полюсами или в квантовой механике для изменения знака спина . В этом случае группа симметрии тела может быть центральным расширением группы пространственных симметрий группой с двумя элементами. Ганс Бете ввел термин « двойная группа » ( Doppelgruppe ) для такой группы, в которой два разных элемента индуцируют пространственную идентичность, а поворот на 2 π может соответствовать элементу двойной группы, не являющемуся тождественным.

Поэтому классификация конечных двойных групп и таблиц их характеров имеет физический смысл и, таким образом, является основной частью теории двойных групп. К конечным двойным группам относятся бинарные полиэдральные группы .

физической химии двойные группы используются при рассмотрении магнитохимии комплексов ионов В металлов, имеющих единственный неспаренный электрон на d- или f-оболочке. К случаям, когда обычно используется двойная группа, относятся 6-координационные комплексы меди (II), титана (III) и церия (III). В этих двойных группах поворот на 360° рассматривается как операция симметрии, отдельная от операции тождества; двойная группа образуется путем объединения этих двух операций симметрии с точечной группой, такой как группа диэдра или полная октаэдрическая группа .

Определение и теория

Пусть Γ конечная подгруппа SO(3) , трехмерной группы вращения. Существует естественный гомоморфизм f группы SU(2) на SO(3), имеющий ядро ​​{±I}. Это двойное накрытие может быть реализовано с помощью присоединенного действия SU(2) на алгебре Ли бесследовых кососопряженных матриц размером 2 на 2 или с помощью действия сопряжением единичных кватернионов . Двойная группа Γ ' определяется как f ⁻¹ ( Г ). По построению {±I} — центральная подгруппа в Γ ' и фактор изоморфен Γ . Таким образом, Γ ' является центральным расширением группы Γ с помощью {±1}, циклической группы порядка 2. Обычные представления Γ ' являются просто отображениями Γ в общую линейную группу , которые являются гомоморфизмами с точностью до знака; эквивалентно, они являются проективными представлениями Γ или с фактор-системой множителем Шура в {±1}. Два проективных представления Γ замкнуты относительно операции тензорного произведения, а их соответствующие фактор-системы умножаются при {±1}. Центральные расширения Γ посредством {±1} также имеют натуральное произведение.

Конечные подгруппы SU(2) и SO(3) были определены в 1876 году Феликсом Кляйном в статье в Mathematische Annalen , позже включенной в его знаменитые «Лекции по икосаэдру» 1884 года: для SU(2) подгруппы соответствуют циклические группы, бинарные диэдрические группы , бинарная тетраэдрическая группа , бинарная октаэдрическая группа и бинарная икосаэдрическая группа ; а для SO(3) они соответствуют циклическим группам, диэдрическим группам , тетраэдрической группе , октаэдрической группе и икосаэдрической группе . Соответствие можно найти во многих учебниках и восходит к классификации платоновых тел . Из классификаций бинарных подгрупп Клейна следует, что если Γ — конечная подгруппа группы SO(3), то с точностью до эквивалентности существует ровно два центральных расширения Γ с помощью {±1}: то, которое получается поднятием двойного накрытия Γ ' = f ⁻¹ ( Г ); и тривиальное расширение Γ x {±1}.

Таблицы характеров конечных подгрупп SU(2) и SO(3) были определены и сведены в таблицы Ф.Г. Фробениусом в 1898 г. с альтернативными выводами И. Шура и Х. Е. Джордана в 1907 г. независимо. правила ветвления и формулы тензорного произведения Также были определены . Для каждой бинарной подгруппы, т. е. конечной подгруппы группы SU(2), неприводимые представления группы Γ помечены расширенными диаграммами Дынкина типов A, D и E; правила тензорирования с двумерным векторным представлением задаются графически неориентированным графом . По лемме Шура неприводимые представления Γ x {±1} — это просто неприводимые представления Γ , умноженные либо на тривиальный, либо на знаковой характер {±1}. Аналогично, неприводимые представления Γ ', которые переводят –1 в I, являются просто обычными представлениями Γ ; тогда как те, которые посылают –1 в –I, действительно являются двузначными или спинорными представлениями.

Пример. Для двойной группы икосаэдра , если $\varphi$ это золотое сечение ${1 \over 2}(1+{\sqrt {5}})$ с обратным ${\tilde {\varphi }}={1 \over 2}(-1+{\sqrt {5}})$, таблица символов приведена ниже: спинорные символы обозначены звездочками. Также приведена таблица характеров группы икосаэдра.

Таблица символов: двойная группа икосаэдра.

$I_{h}^{\prime }$	1	12С 2 [5]	12С 3 [5]	1С 4 [2]	12С 5 [10]	12С 6 [10]	20С 7 [3]	20С 8 [6]	30С 9 [4]
$\chi _{1}$	1	1	1	1	1	1	1	1	1
$\chi _{3}$	3	$\varphi$	$-{\tilde {\varphi }}$	3	$-{\tilde {\varphi }}$	$\varphi$	0	0	–1
$\chi _{3^{\prime }}$	3	$-{\tilde {\varphi }}$	$\varphi$	3	$\varphi$	$-{\tilde {\varphi }}$	0	0	–1
$\chi _{4}$	4	–1	–1	4	–1	–1	1	1	0
$\chi _{5}$	5	0	0	5	0	0	–1	–1	0
$\chi _{2}^{*}$	2	$-\varphi$	${\tilde {\varphi }}$	–2	$-{\tilde {\varphi }}$	$\varphi$	–1	1	0
$\chi _{2^{\prime }}^{*}$	2	${\tilde {\varphi }}$	$-\varphi$	–2	$\varphi$	$-{\tilde {\varphi }}$	–1	1	0
$\chi _{4}^{*}$	4	–1	–1	-4	–1	–1	1	0	–1
$\chi _{6}^{*}$	6	1	1	–6	–1	–1	0	0	0

Таблица символов: группа икосаэдра

$I_{h}$	1	20С 2 [3]	15С 3 [2]	12С 4 [5]	12С 5 [5]
$\chi _{1}$	1	1	1	1	1
$\chi _{3}$	3	0	–1	$\varphi$	$-{\tilde {\varphi }}$
$\chi _{3^{\prime }}$	3	0	–1	$-{\tilde {\varphi }}$	$\varphi$
$\chi _{4}$	4	1	0	–1	–1
$\chi _{5}$	5	–1	1	0	0

Правила тензорного произведения для тензорирования с двумерным представлением схематически закодированы ниже:

Нумерация находится вверху $\chi _{3^{\prime }}$ а затем внизу, слева направо, $\chi _{2^{\prime }}^{*}$, $\chi _{4}$, $\chi _{6}^{*}$, $\chi _{5}$, $\chi _{4}^{*}$, $\chi _{3}$, $\chi _{2}^{*}$, и $\chi _{1}$. Таким образом, при маркировке вершин неприводимыми символами результат умножения $\chi _{2}^{*}$ по данному неприводимому символу равна сумме всех неприводимых символов, помеченных соседней вершиной.

Теория представлений SU(2) восходит к девятнадцатому веку и теории инвариантов бинарных форм, среди которых выдающиеся фигуры Альфреда Клебша и Пола Гордана . Неприводимые представления SU(2) индексируются неотрицательными полуцелыми числами j . Если V — двумерное векторное представление, то V _j = S ^{2 Дж} V , 2j- я симметричная степень , V ( 2j + 1)-мерного векторного пространства. Пусть G — компактная группа SU(2), группа G действует неприводимо на каждом V _j и удовлетворяет правилам Клебша-Гордана:

$V_{i}\otimes V_{j}\cong V_{|i-j|}\oplus V_{|i-j|+1}\oplus \cdots \oplus V_{i+j-1}\oplus V_{i+j}.$

В частности $V_{j}\otimes V_{1 \over 2}\cong V_{j-{1 \over 2}}\oplus V_{j+{1 \over 2}}$ для j > 0 и $V_{0}\otimes V_{1 \over 2}\cong V_{1 \over 2}.$ По определению, матрица, представляющая g в V _j, — это просто S ^{2 Дж} ( г ). Поскольку каждый g сопряжен диагональной матрице с диагональными элементами $\zeta$ и $\zeta ^{-1}$ (порядок неважен), в этом случае S ^{2 Дж} ( g ) имеет диагональные элементы $\zeta ^{2j}$, $\zeta ^{2j-1}$, ... , $\zeta ^{-2j+1}$, $\zeta ^{-2j}$. Параметр $\pi _{j}(g)=S^{2j}(g),$ это дает формулу символа

$\chi _{j}(g):={\rm {Tr}}\,\pi _{j}(g)=\sum _{k=-2j}^{2j}\zeta ^{k}={\zeta ^{2j+1}-\zeta ^{-2j-1} \over \zeta -\zeta ^{-1}}.$

Замена $\zeta =e^{i\alpha /2}$, отсюда следует, что если g имеет диагональные элементы $e^{\pm i\alpha /2},$ затем

$\chi _{j}(g)={\sin(j+{1/2})\alpha \over \sin \alpha /2}.$

Теорию представлений SU(2), включая теорию SO(3), можно развивать разными способами:

• используя комплексификацию G _c = SL(2,C) и двойное разложение смежных классов G _c = B · w · B ∐ B , где B обозначает верхнетреугольные матрицы и $w={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$;
• используя бесконечно малое действие алгебр Ли SU(2) и SL(2,C), где они появляются как повышающие и понижающие операторы E , F , H углового момента в квантовой механике : здесь E = ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$, F = E * и H = [ E , F ] так что [ H , E ] = 2 E и [ H , F ] = –2 F ;
• используя интегрирование функций класса по SU (2), идентифицируя единичные кватернионы с 3-сферой и мерой Хаара как форму объема: это сводится к интегрированию по диагональным матрицам, то есть группе кругов T .

Свойства матричных коэффициентов или представительных функций компактной группы SU(2) (и SO(3)) хорошо документированы в рамках теории специальных функций: оператор Казимира C = H ² + 2 EF + 2 FE коммутирует с алгебрами и группами Ли. Оператор ⁠ 1/4 V коэффициенте ⁠ C лапласианом Δ так что на матричном φ j Δφ _j = можно отождествить с ( , ² + j ) ж .

Представительные функции A образуют некоммутативную алгебру при свертке относительно меры Хаара µ . Аналогом конечной подгруппы Γ группы SU(2) является конечномерная групповая алгебра C [ Γ ]. Согласно правилам Клебша-Гордана, алгебра свертки A изоморфна прямой сумме матриц n x n , причем n = 2j + 1 и j ≥ 0. Матричные коэффициенты для каждого неприводимого представления V _j образуют набор матричных единиц . Это разложение в прямую сумму представляет собой теорему Питера-Вейля . Соответствующим результатом для C [ Γ ] является теорема Машке . Алгебра A имеет собственные подпространства a(gζ) = a(g) или a(g)ζ , представляющие их как прямую сумму V _j , суммированную по j неотрицательным целым числам или положительным полуцелым числам – это примеры индуцированных представлений . Он позволяет вычислять правила ветвления от SU(2) к Γ, так что V _j можно разложить как прямые суммы неприводимых представлений Γ .

История

Георг Фробениус вывел и перечислил в 1899 году таблицы характеров конечных подгрупп SU(2) , двойного накрытия группы вращений SO(3) . В 1875 году Феликс Кляйн уже классифицировал эти конечные «бинарные» подгруппы на циклические группы , бинарные диэдрические группы , бинарную тетраэдрическую группу , бинарную октаэдрическую группу и бинарную икосаэдрическую группу . Альтернативные варианты таблиц персонажей были даны Иссаем Шуром и Его Превосходительством Джорданом в 1907 году; дальнейшие правила ветвления и формулы тензорного произведения . Также были определены

В статье 1929 года о расщеплении атомов в кристаллах физик Х. Бете впервые ввёл термин «двойная группа» ( Doppelgruppe ), концепция, которая позволяла рассматривать двузначные или спинорные представления конечных подгрупп группы вращений как обычные линейные представления их двойных накрытий. В частности, Бете применил свою теорию к релятивистской квантовой механике и кристаллографическим точечным группам , где возникает естественное физическое ограничение до 32 точечных групп. Впоследствии некристаллографический случай икосаэдра также был исследован более широко, что привело совсем недавно к революционным достижениям в области углерода 60 и фуллеренов в 1980-х и 90-х годах. В 1982–1984 годах произошел еще один прорыв, связанный с группой икосаэдра, на этот раз благодаря ученого-материаловеда Дэна Шехтмана замечательной работе по квазикристаллам , за которую он был удостоен Нобелевской премии по химии в 2011 году.

Приложения

Магнитохимия

В магнитохимии необходимость в двойной группе возникает в весьма частном случае, а именно при рассмотрении магнитных свойств комплексов иона металла, в электронной структуре которого имеется единственный неспаренный электрон (или его эквивалент — одиночная вакансия). -оболочке иона металла в d- или f . Это происходит, например, с элементами медью , серебром и золотом в степени окисления +2, где имеется единственная вакансия в d-электронной оболочке, с титаном (III), имеющим одиночный электрон в 3d-оболочке, и с церий (III), имеющий один электрон в оболочке 4f.

В теории характер групп $\chi$, для поворота на угол α волновой функции для полуцелого углового момента определяется выражением

$\chi ^{J}(\alpha )={\frac {\sin[J+1/2]\alpha }{\sin(1/2)\alpha }}$

где угловой момент - векторная сумма спина и орбитального момента, $J=L+S$. Эта формула применима к угловому моменту в целом.

В атомах с одним неспаренным электроном характер поворота на угол $2\pi +\alpha$ равно $-\chi ^{J}(\alpha )$. Смена знака не может быть верной для тождественной операции в любой группе точек. Поэтому двойная группа, в которой вращение на $2\pi$ классифицируется как отличающийся от операции идентификации. Таблица символов двойной группы D' ₄ выглядит следующим образом. новая операция помечена как R. В этом примере таблица символов для точечной группы D ₄ Для сравнения приведена .

Таблица символов: двойная группа D' ₄

Д'4 ​			С 4	С 4 3	С 2	2С ' 2	2С '' 2
	И	Р	С 4 Р	С 4 3 Р	С 2 Р	2С ' 2 р	2С '' 2 р
А' 1	1	1	1	1	1	1	1
А' 2	1	1	1	1	1	-1	-1
Б' 1	1	1	-1	-1	1	1	-1
Б' 2	1	1	-1	-1	1	-1	1
это 1	2	-2	0	0	-2	0	0
это 2	2	-2	√2	-√2	0	0	0
это 3	2	-2	-√2	√2	0	0	0

Таблица символов: группа точек D ₄

Д 4	И	2 С 4	С 2	2 С 2 '	2 С 2
А 1	1	1	1	1	1 +
AА2	1	1	1	−1	−1
Б 1	1	−1	1	1	−1
BБ2	1	−1	1	−1	1
И	2	0	−2	0	0

В таблице для двойной группы операции симметрии, такие как C ₄ и C ₄ R, принадлежат к одному и тому же классу , но заголовок для удобства показан в двух строках, а не C ₄ , C ₄ R в одной строке.

Таблицы символов для двойных групп Т', О', Т _д ', Д _3х ', С _6в ', Д ₆ ', Д _2д ', С _4в ', Д ₄ ', С _3в ', Д ₃ ', С _2в ', D ₂ ' и R(3)' приведены у Koster et al. (1963) , Salthouse & Ware (1972) и Корнуэлл (1984) .

Подструктура в центре октаэдрического комплекса

Структура плоско-квадратного сложного иона, такого как [AgF ₄ ] ^2-

Атом или ион (красный), удерживаемый в _{C 60.} фуллереновой клетке

Необходимость в двойной группе возникает, например, при рассмотрении магнитных свойств 6-координатных комплексов меди (II). Электронная конфигурация центрального Cu ²⁺ ион можно записать как [Ar]3 d ⁹ . электронной оболочке имеется единственная вакансия или дырка Можно сказать, что в медной 3d- , которая может содержать до 10 электронов. Ион [Cu(H ₂ O) ₆ ] ²⁺ является типичным примером соединения с этой характеристикой.

(1) Шестикоординированные комплексы иона Cu(II) общей формулы [CuL ₆ ] ²⁺ , подвержены эффекту Яна-Теллера , так что симметрия снижается от октаэдрической (точечная группа Oh ₎ D до тетрагональной (точечная группа 4 _{h )} . Поскольку d -орбитали центросимметричны, соответствующие символы атомных термов можно отнести к подгруппе D ₄ .

(2) В первом приближении спин-орбитальную связь можно игнорировать, и тогда прогнозируется, что магнитный момент составит 1,73 магнетона Бора , так называемое значение только спина. Однако для более точного прогнозирования необходимо учитывать спин-орбитальную связь. Это означает, что соответствующее квантовое число — J , где J = L + S.

(3) Когда J полуцелое число, символ поворота на угол α + 2π радиан равен минус символу поворота на угол α. Это не может быть верно для тождества в точечной группе. Следовательно, необходимо использовать группу, в которой повороты на α + 2π классифицируются как операции симметрии, отличные от поворотов на угол α. Эта группа известна как двойная группа ' _D4 .

С такими видами, как плоско-квадратный комплекс иона серебра (II) [AgF ₄ ] ^2- соответствующая двойная группа также D4 _; ' отклонения от значения только спина больше, поскольку величина спин-орбитального взаимодействия больше для серебра (II), чем для меди (II).

Двойная группа также используется для некоторых соединений титана в степени окисления +3. Соединения титана(III) имеют один электрон в 3d - оболочке. Магнитные моменты октаэдрических комплексов общей формулы [TiL ₆ ] ^п+ Было обнаружено, что они лежат в диапазоне 1,63–1,81 BM при комнатной температуре. Двойная группа O' используется для классификации их электронных состояний.

( Ион церия III), Ce ³⁺ , имеет один электрон в 4f - оболочке. Магнитные свойства октаэдрических комплексов этого иона трактуются с использованием двойной группы О' .

Когда ион церия(III) инкапсулирован в клетку C ₆₀ , формула эндоэдрального фуллерена записывается как {Ce ³⁺ @C ₆₀ ^3- }.

Свободные радикалы

Двойные группы могут использоваться в связи со свободными радикалами . Это было проиллюстрировано на примере вида CH ₃ F. ⁺ и СН ₃ БФ ₂ ⁺ оба содержат по одному неспаренному электрону.

См. также

• График Маккея
• Классификация ADE
• Молекулярная симметрия
• Группа точек
• Космическая группа

Дальнейшее чтение

• Липсон, Р.Х. «Спин-орбитальное взаимодействие и двойные группы» . (веб-сайт)
• Эрншоу, Алан (1968). Введение в магнитохимию . Академическая пресса .
• Фиггис, Б.Н.; Льюис, Дж. (1960). «Магнитохимия сложных соединений». В Льюисе. Дж. и Уилкинс. РГ (ред.). Современная координационная химия . Нью-Йорк: Уайли .
• Орчард, AF (2003). Магнитохимия . Оксфордские учебники по химии. Издательство Оксфордского университета . ISBN  0-19-879278-6 .
• Вульфсон, Сергей Георгиевич; Аршинова, Роуз П. (1998). Молекулярная магнитохимия . Тейлор и Фрэнсис . ISBN  90-5699-535-9 .