Спин-орбитальное взаимодействие

В квантовой физике спин -орбитальное взаимодействие (также называемое спин-орбитальным эффектом или спин-орбитальным взаимодействием ) представляет собой релятивистское частицы взаимодействие спина с ее движением внутри потенциала . спин-орбитальное взаимодействие, приводящее к сдвигам электрона Ключевым примером этого явления является уровней атомной энергии электрона из-за электромагнитного взаимодействия между магнитным диполем , его орбитальным движением и электростатическим полем положительно заряженного ядра . Это явление можно обнаружить как расщепление спектральных линий , которое можно рассматривать как эффект Зеемана , продукт двух релятивистских эффектов: кажущегося магнитного поля, видимого с точки зрения электрона, и магнитного момента электрона, связанного с его собственным спином. Аналогичный эффект, обусловленный связью между угловым моментом и сильным ядерным взаимодействием , возникает для протонов и нейтронов, движущихся внутри ядра, что приводит к сдвигу их энергетических уровней в модели оболочки ядра . В области спинтроники , спин-орбитальные эффекты для электронов в полупроводниках и других материалах исследуются для технологических приложений. Спин-орбитальное взаимодействие лежит в основе магнитокристаллической анизотропии и спинового эффекта Холла .

Для атомов расщепление энергетических уровней, вызванное спин-орбитальным взаимодействием, обычно имеет тот же порядок, что и релятивистские поправки к кинетической энергии и эффект zitterbewegung . Сложение этих трех поправок известно как тонкая структура . Взаимодействие между магнитным полем, создаваемым электроном, и магнитным моментом ядра представляет собой небольшую поправку к уровням энергии, известную как сверхтонкая структура .

На уровнях атомной энергии

Тонкая и сверхтонкая структура водорода (не в масштабе).

В этом разделе представлено относительно простое и количественное описание спин-орбитального взаимодействия электрона, связанного с водородоподобным атомом , вплоть до первого порядка теории возмущений , с использованием некоторой квазиклассической электродинамики и нерелятивистской квантовой механики. Это дает результаты, которые достаточно хорошо согласуются с наблюдениями.

Строгий расчет того же результата будет использовать релятивистскую квантовую механику с использованием уравнения Дирака и будет включать взаимодействия многих тел . Для достижения еще более точного результата потребуется вычислить небольшие поправки из квантовой электродинамики .

Энергия магнитного момента

Энергия магнитного момента в магнитном поле определяется выражением $$\Delta H=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} ,$$где μ — магнитный момент частицы, а B — магнитное поле, которое она испытывает.

Магнитное поле

Сначала разберемся с магнитным полем . Хотя в системе покоя ядра на электрон не действует магнитное поле, классический в системе покоя электрона оно есть (см. электромагнетизм и специальную теорию относительности ). Игнорируя пока, что эта система отсчета неинерциальна , мы получаем уравнение $$\mathbf {B} =-{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}},$$где v — скорость электрона, а E — электрическое поле, в котором он проходит. Здесь в нерелятивистском пределе мы предполагаем, что фактор Лоренца $\gamma \backsimeq 1$. Теперь мы знаем, что E радиально, поэтому можем переписать ${\textstyle \mathbf {E} =\left|E\right|{\frac {\mathbf {r} }{r}}}$.Также мы знаем, что импульс электрона $\mathbf {p} =m_{\text{e}}\mathbf {v}$. Подставив их и изменив порядок векторного произведения (используя тождество $\mathbf {A} \times \mathbf {B} =-\mathbf {B} \times \mathbf {A}$) дает $$\mathbf {B} ={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {p} }{m_{\text{e}}c^{2}}}\left|{\frac {E}{r}}\right|.$$

Далее выразим электрическое поле как градиент электрического потенциала $\mathbf {E} =-\nabla V$. Здесь мы делаем приближение центрального поля , то есть электростатический потенциал сферически симметричен и является функцией только радиуса. Это приближение является точным для водорода и водородоподобных систем. Теперь мы можем сказать, что $$|E|=\left|{\frac {\partial V}{\partial r}}\right|={\frac {1}{e}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}},$$

где $U=-eV$ — потенциальная энергия электрона в центральном поле, а e — элементарный заряд . Теперь мы помним из классической механики, что момент импульса частицы $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$. Сложив все это вместе, мы получим $$\mathbf {B} ={\frac {1}{m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} .$$

Здесь важно отметить, что B — положительное число, умноженное на L , что означает, что магнитное поле параллельно орбитальному угловому моменту частицы, который сам по себе перпендикулярен скорости частицы.

Спиновый магнитный момент электрона

Спиновый магнитный момент электрона равен $${\boldsymbol {\mu }}_{S}=-g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}{\frac {\mathbf {S} }{\hbar }},$$где $\mathbf {S}$ – вектор спинового углового момента, $\mu _{\text{B}}$ – магнетон Бора , а $g_{\text{s}}=2.0023...\approx 2$ спина электрона — g-фактор . Здесь ${\boldsymbol {\mu }}$ — отрицательная константа, умноженная на спин , поэтому спиновый магнитный момент антипараллелен спиновому угловому моменту.

Спин-орбитальный потенциал состоит из двух частей. Ларморовская часть связана с взаимодействием спинового магнитного момента электрона с магнитным полем ядра в сопутствующей системе отсчета электрона. Второй вклад связан с прецессией Томаса .

Энергия ларморовского взаимодействия

Основная статья: Ларморовская прецессия

Энергия ларморовского взаимодействия равна $$\Delta H_{\text{L}}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} .$$

Подставив в это уравнение выражения для спинового магнитного момента и магнитного поля, получим $$\Delta H_{\text{L}}={\frac {g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \approx {\frac {2\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} .$$

Теперь нам нужно принять во внимание поправку на прецессию Томаса для искривленной траектории электрона.

Энергия взаимодействия Томаса

Основная статья: прецессия Томаса

В 1926 году Ллевеллин Томас релятивистски пересчитал разделение дублетов в тонкой структуре атома. Скорость прецессии Томаса ${\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}$ связана с угловой частотой орбитального движения ${\boldsymbol {\omega }}$ вращающейся частицы следующим образом: $${\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}=-{\boldsymbol {\omega }}(\gamma -1),$$где $\gamma$ – фактор Лоренца движущейся частицы. Гамильтониан, вызывающий прецессию спина ${\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}$ дается $$\Delta H_{\text{T}}={\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}\cdot \mathbf {S} .$$

К первому заказу в $(v/c)^{2}$, мы получаем $$\Delta H_{\text{T}}=-{\frac {\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} .$$

Полная энергия взаимодействия

Полный спин-орбитальный потенциал во внешнем электростатическом потенциале принимает вид $$\Delta H\equiv \Delta H_{\text{L}}+\Delta H_{\text{T}}={\frac {(g_{\text{s}}-1)\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \approx {\frac {\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} .$$Конечным эффектом прецессии Томаса является уменьшение энергии ларморовского взаимодействия примерно в 1/2 раза, что стало известно как половина Томаса .

энергетического

Благодаря всем вышеизложенным приближениям теперь мы можем оценить детальный сдвиг энергии в этой модели. Обратите внимание, что L _z и S _z больше не являются сохраняющимися величинами. В частности, мы хотим найти новый базис, который диагонализует как H ₀ (невозмущенный гамильтониан), так и ∆ H . Чтобы выяснить, что это за основа, сначала определим полного углового момента оператор $$\mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .$$

Взяв скалярное произведение этого с самим собой, мы получаем $$\mathbf {J} ^{2}=\mathbf {L} ^{2}+\mathbf {S} ^{2}+2\,\mathbf {L} \cdot \mathbf {S}$$(поскольку L и S коммутируют), и, следовательно, $$\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} ={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} ^{2}-\mathbf {L} ^{2}-\mathbf {S} ^{2}\right)$$

Можно показать, что пять операторов H ₀ , J ² , Л ² , С ² , и J _z коммутируют друг с другом и с Δ H . Следовательно, базис, который мы искали, — это одновременный собственный базис этих пяти операторов (т. е. базис, в котором все пять диагональны). Элементы этого базиса имеют пять квантовых чисел : $n$ («главное квантовое число»), $j$ («квантовое число полного углового момента»), $\ell$ («квантовое число орбитального углового момента»), $s$ («спиновое квантовое число») и $j_{z}$ (« z -компонент полного углового момента»).

Для оценки энергий заметим, что $$\left\langle {\frac {1}{r^{3}}}\right\rangle ={\frac {2}{a^{3}n^{3}\;\ell (\ell +1)(2\ell +1)}}$$для водородных волновых функций (здесь $a=\hbar /(Z\alpha m_{\text{e}}c)$ – радиус Бора, деленный на заряд ядра Z ); и $$\left\langle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \right\rangle ={\frac {1}{2}}{\big (}\langle \mathbf {J} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {L} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {S} ^{2}\rangle {\big )}={\frac {\hbar ^{2}}{2}}{\big (}j(j+1)-\ell (\ell +1)-s(s+1){\big )}.$$

энергетический

Теперь мы можем сказать, что $$\Delta E={\frac {\beta }{2}}{\big (}j(j+1)-\ell (\ell +1)-s(s+1){\big )},$$где $$\beta =\beta (n,l)=Z^{4}{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}^{2}{\frac {1}{n^{3}a_{0}^{3}\;\ell (\ell +1/2)(\ell +1)}}.$$

Точный релятивистский результат см. в решениях уравнения Дирака для водородоподобного атома .

Приведенный выше вывод вычисляет энергию взаимодействия в (мгновенной) системе покоя электрона, и в этой системе отсчета существует магнитное поле, которого нет в системе покоя ядра.

Другой подход состоит в том, чтобы вычислить его в системе покоя ядра, см., например, Джордж П. Фишер: Электрический дипольный момент движущегося магнитного диполя (1971). Однако расчета остального кадра иногда избегают, поскольку приходится учитывать скрытый импульс .

В твердых телах

Кристаллическое твердое тело (полупроводник, металл и т. д.) характеризуется зонной структурой . Хотя в общем масштабе (включая основные уровни) спин-орбитальное взаимодействие все еще представляет собой небольшое возмущение, оно может сыграть относительно более важную роль, если мы приблизимся к зонам, близким к уровню Ферми ( $E_{\text{F}}$). Атомный $\mathbf {L} \cdot \mathbf {S}$ (спин-орбитальное) взаимодействие, например, расщепляет зоны, которые в противном случае были бы вырождены, и конкретная форма этого спин-орбитального расщепления (обычно порядка нескольких-нескольких сотен миллиэлектронвольт) зависит от конкретной системы. Затем интересующие полосы можно описать с помощью различных эффективных моделей, обычно основанных на каком-либо пертурбативном подходе. Пример того, как атомное спин-орбитальное взаимодействие влияет на зонную структуру кристалла, объясняется в статье о Рашбы и Дрессельхауза взаимодействиях .

В кристаллическом твердом теле, содержащем парамагнитные ионы, например ионы с незамкнутой атомной подоболочкой d или f, существуют локализованные электронные состояния. В этом случае атомноподобная структура электронных уровней формируется за счет собственных магнитных спин-орбитальных взаимодействий и взаимодействий с кристаллическими электрическими полями . Такая структура называется тонкой электронной структурой . Для редкоземельных ионов спин-орбитальные взаимодействия намного сильнее, чем взаимодействия кристаллического электрического поля (КЭП). Сильная спин-орбитальная связь делает J относительно хорошим квантовым числом, поскольку первый возбужденный мультиплет находится как минимум на ~ 130 мэВ (1500 К) выше первичного мультиплета. В результате его заполнение при комнатной температуре (300 К) пренебрежимо мало. В этом случае (2 J + 1) -кратно вырожденный первичный мультиплет, расщепленный внешним КЭП, можно рассматривать как основной вклад в анализ свойств таких систем. В случае приближенных расчетов по базису $|J,J_{z}\rangle$, чтобы определить, какой из мультиплетов является первичным, Хунда применяются принципы , известные из атомной физики:

• Основное состояние структуры термов имеет максимальное значение S, разрешенное принципом исключения Паули .
• Основное состояние имеет максимально допустимое значение L с максимальным S .
• Первичному мультиплету соответствует J = | Л - С | когда оболочка заполнена менее чем наполовину, и J = L + S , где заполнение больше.

S L , правилами и J основного мультиплета определяются Хунда . Основной мультиплет вырожден на 2 J + 1 – его вырождение снимается CEF-взаимодействиями и магнитными взаимодействиями. Взаимодействия CEF и магнитные взаимодействия чем-то напоминают Штарка и эффект Зеемана, известный из атомной физики . Энергии и собственные функции дискретной тонкой электронной структуры получены путем диагонализации (2 J + 1)-мерной матрицы. Тонкую электронную структуру можно непосредственно обнаружить с помощью множества различных спектроскопических методов, включая эксперименты по неупругому рассеянию нейтронов (INS). Случай сильного кубического КЭП (для ионов 3d - переходных металлов) взаимодействия образуют группу уровней (например, T _{2 g} , A _{2 g} ), которые частично расщепляются спин-орбитальными взаимодействиями и (если имеют место) взаимодействиями CEF с более низкой симметрией. Энергии и собственные функции дискретной тонкой электронной структуры (для младшего члена) получены диагонализацией (2 L + 1)(2 S + 1)-мерной матрицы. При нулевой температуре ( Т = 0 К) занято только самое нижнее состояние. Магнитный момент при Т = 0 К равен моменту основного состояния. Это позволяет оценить полный, спиновый и орбитальный моменты. Собственные состояния и соответствующие собственные функции $|\Gamma _{n}\rangle$ может быть найдена путем прямой диагонализации матрицы гамильтониана, содержащей кристаллическое поле и спин-орбитальные взаимодействия. С учетом термического заселения состояний установлена ​​термическая эволюция одноионных свойств соединения. Этот метод основан на эквивалентной теории операторов определяется как CEF, расширенный термодинамическими и аналитическими расчетами, определяемый как дополнение теории CEF путем включения термодинамических и аналитических расчетов.

эффективных

Дырочные зоны объемного (3D) полупроводника из цинковой обманки будут разделены $\Delta _{0}$ на тяжелые и легкие дырки (которые образуют $\Gamma _{8}$ четверка в $\Gamma$-точка зоны Бриллюэна) и зону откола ( $\Gamma _{7}$ дублет). Включая две зоны проводимости ( $\Gamma _{6}$ дублет в $\Gamma$-точка) система описывается эффективной восьмизонной моделью Кона и Латтинджера . Если интерес представляет только верх валентной зоны (например, когда $E_{\text{F}}\ll \Delta _{0}$, уровень Ферми, измеренный от вершины валентной зоны), правильная четырехзонная эффективная модель имеет вид $$H_{\text{KL}}(k_{\text{x}},k_{\text{y}},k_{\text{z}})=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[\left(\gamma _{1}+{{\tfrac {5}{2}}\gamma _{2}}\right)k^{2}-2\gamma _{2}\left(J_{\text{x}}^{2}k_{\text{x}}^{2}+J_{\text{y}}^{2}k_{\text{y}}^{2}+J_{\text{z}}^{2}k_{\text{z}}^{2}\right)-2\gamma _{3}\sum _{m\neq n}J_{m}J_{n}k_{m}k_{n}\right]$$где $\gamma _{1,2,3}$ – параметры Латтинджера (аналог единственной эффективной массы однозонной модели электронов) и $J_{{\text{x}},{\text{y}},{\text{z}}}$ — матрицы углового момента 3/2 ( $m$ – масса свободного электрона). В сочетании с намагниченностью этот тип спин-орбитального взаимодействия будет искажать электронные зоны в зависимости от направления намагничивания, вызывая тем самым магнитокристаллическую анизотропию (особый тип магнитной анизотропии ).Кроме того, если полупроводник не обладает инверсионной симметрией, дырочные зоны будут демонстрировать кубическое расщепление Дрессельхауса. Внутри четырех зон (легких и тяжелых дырок) доминирующим термином является $$H_{{\text{D}}3}=b_{41}^{8{\text{v}}8{\text{v}}}[(k_{\text{x}}k_{\text{y}}^{2}-k_{\text{x}}k_{\text{z}}^{2})J_{\text{x}}+(k_{\text{y}}k_{\text{z}}^{2}-k_{\text{y}}k_{\text{x}}^{2})J_{\text{y}}+(k_{\text{z}}k_{\text{x}}^{2}-k_{\text{z}}k_{\text{y}}^{2})J_{\text{z}}]$$

где параметр материала $b_{41}^{8{\text{v}}8{\text{v}}}=-81.93\,{\text{meV}}\cdot {\text{nm}}^{3}$ для GaAs (см. стр. 72 в книге Винклера, по более поздним данным константа Дрессельхауза в GaAs равна 9 эВÅ ³ ; полный гамильтониан будет $H_{\text{KL}}+H_{{\text{D}}3}$). Двумерный электронный газ в асимметричной квантовой яме (или гетероструктуре) будет испытывать взаимодействие Рашбы. Соответствующий двухзонный эффективный гамильтониан имеет вид $$H_{0}+H_{\text{R}}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m^{*}}}\sigma _{0}+\alpha (k_{\text{y}}\sigma _{\text{x}}-k_{\text{x}}\sigma _{\text{y}})$$где $\sigma _{0}$ - единичная матрица 2 × 2, $\sigma _{{\text{x}},{\text{y}}}$ матрицы Паули и $m^{*}$ эффективная масса электрона. Спин-орбитальная часть гамильтониана $H_{\text{R}}$ параметризуется $\alpha$, иногда называемый параметром Рашбы (его определение несколько варьируется), который связан с асимметрией структуры.

Приведенные выше выражения для спиновых матриц пар спин-орбитального взаимодействия $\mathbf {J}$ и ${\boldsymbol {\sigma }}$ к квазиимпульсу $\mathbf {k}$, и векторному потенциалу $\mathbf {A}$ переменного электрического поля посредством замены Пайерлса ${\textstyle \mathbf {k} =-i\nabla -{\frac {e}{\hbar c}}\mathbf {A} }$. Латтинджера–Кона Это члены низшего порядка k·p -теории возмущений в степенях $k$. Следующие члены этого разложения также порождают члены, которые связывают операторы спина координаты электрона. $\mathbf {r}$. Действительно, перекрестное произведение $({\boldsymbol {\sigma }}\times {\mathbf {k} })$ инвариантен . относительно инверсии времени В кубических кристаллах он имеет векторную симметрию и приобретает смысл спин-орбитального вклада. ${\boldsymbol {r}}_{\text{SO}}$ оператору координаты. Для электронов в полупроводниках с узкой щелью $E_{\rm {G}}$ между зоной проводимости и зоной тяжелых дырок Яфет вывел уравнение $${\mathbf {r} }_{\text{SO}}={\frac {\hbar ^{2}g}{4m_{0}}}\left({\frac {1}{E_{\rm {G}}}}+{\frac {1}{E_{\rm {G}}+\Delta _{0}}}\right)({\boldsymbol {\sigma }}\times {\mathbf {k} })$$где $m_{0}$ - масса свободного электрона, а $g$ это $g$-фактор, правильно перенормированный для спин-орбитального взаимодействия. Этот оператор связывает спин электрона $\mathbf {S} ={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}$ непосредственно в электрическое поле $\mathbf {E}$ через энергию взаимодействия $-e(\mathbf {r} _{\text{SO}}\cdot \mathbf {E} )$.

Колеблющееся электромагнитное поле

Электрический дипольный спиновый резонанс (ЭДСР) — это взаимодействие спина электрона с колеблющимся электрическим полем. Подобно электронному спиновому резонансу (ЭПР), в котором электроны могут возбуждаться электромагнитной волной с энергией, определяемой эффектом Зеемана , в ЭПР резонанс может быть достигнут, если частота связана с расщеплением энергетической зоны, определяемым спин- Орбитальная связь в твердых телах. В то время как в ЭПР связь достигается через магнитную часть ЭМ волны с магнитным моментом электрона, в ЭСДР связь электрической части со спином и движением электронов. Этот механизм был предложен для управления спином электронов в квантовых точках и других мезоскопических системах .

См. также

• Муфта углового момента
• Диаграммы углового момента (квантовая механика)
• Электрический дипольный спиновый резонанс
• Связь Кугеля – Хомского
• Баранья смена
• Релятивистский угловой момент
• Сферическая основа
• Эффект Старка

Учебники

• Кондон, Эдвард У. и Шортли, GH (1935). Теория атомных спектров . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-09209-8 .
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Прентис Холл.
• Ландау, Лев ; Лифшиц, Евгений . «§72. Тонкая структура атомных уровней» . Квантовая механика: нерелятивистская теория, том 3 .
• Ю, Питер Ю.; Кардона, Мануэль (1995). Основы полупроводников . Спрингер.
• Винклер, Роланд (2003). Эффекты спин-орбитальной связи в двумерных электронных и дырочных системах . Спрингер.

Дальнейшее чтение

• Маншон, Орельен; Ку, Хён Чхоль; Нитта, Джунсаку; Фролов С.М.; Дуин, РА (2015). «Новые перспективы спин-орбитального взаимодействия Рашбы». Природа . 14 (9): 871–82. arXiv : 1507.02408 . Бибкод : 2015NatMa..14..871M . дои : 10.1038/nmat4360 . ПМИД   26288976 . S2CID   24116488 .
• Рашба, Эммануэль И. (2016). «Спин-орбитальное взаимодействие становится глобальным» (PDF) . Физический журнал: конденсированное вещество . 28 (42): 421004. Бибкод : 2016JPCM...28P1004R . дои : 10.1088/0953-8984/28/42/421004 . ПМИД   27556280 . S2CID   206047842 .