Пифагорейские молотки

Гаффуриус , Theorica musicae (1492): Пифагор, исследующий гармонию и соотношение с различными музыкальными инструментами.

По легенде, Пифагор открыл основы музыкальной настройки , слушая звуки четырех кузневых молотов, которые производили созвучие и диссонанс при одновременном ударе . Согласно Никомаху II века н. э. в его гармониках Энхиридиона , Пифагор заметил, что молоток А производит созвучие с молотком Б, когда их ударяют вместе, а молот С производит созвучие с молотком А, а молотки В и С производят диссонанс друг с другом. Молоток D производил такое идеальное созвучие с молоточком А, что казалось, что они «поют» одну и ту же ноту. Пифагор бросился в кузницу, чтобы выяснить, почему, и обнаружил, что объяснение кроется в соотношениях весов. Молоты весили 12, 9, 8 и 6 фунтов соответственно. Молоточки A и D находились в соотношении 2:1, что соответствует соотношению октав . Молоты B и C весили 8 и 9 фунтов. Их соотношения с молотком D были (12:8 = 3:2 = идеальная квинта ) и (12:9 = 4:3 = идеальная кварта ). Пространство между B и C представляет собой соотношение 9:8, что соответствует целому музыкальному тону или целому интервалу шага ( ).

Молоток	Масса	Интервал	Долото	В С
А	6			С
Б	8			Г
С	9			Ф
Д	12			С'

Легенда, по крайней мере в отношении молотов, явно ложна. Вероятно, это ближневосточная народная сказка. Эти пропорции действительно имеют отношение к длине струны (например, монохорды ) — используя эти основные интервалы, можно построить хроматическую гамму и основную семитоновую диатоническую гамму, используемую в современной музыке, и Пифагор вполне мог оказать влияние на открытие этих пропорций (поэтому их иногда называют пифагорейской настройкой ) — но пропорции не имеют такого же отношения к весу молоточка и производимым ими звукам. Однако долота с молотковым приводом и равным поперечным сечением демонстрируют точную пропорцию между длиной или весом и собственной частотой .

В более ранних источниках упоминается интерес Пифагора к гармонии и соотношению. Ксенократ (4 век до н.э.), хотя, насколько нам известно, не упоминал историю о кузнеце, описал интерес Пифагора в общих чертах: «Пифагор обнаружил также, что интервалы в музыке не возникают отдельно от числа; ибо они представляют собой взаимосвязь количества с количеством, поэтому он решил исследовать, при каких условиях возникают согласованные и несогласованные интервалы, а также все хорошо и плохо настроенное». Какими бы ни были подробности открытия связи между музыкой и соотношением, ее считают как исторически первое эмпирически надежное математическое описание физического факта. По существу, это символично и, возможно, ведет к пифагорейской концепции математики как способа действия природы . Как Аристотель позже напишет , « пифагорейцы построили всю вселенную из чисел». Микролог . Гвидо Ареццо повторяет легенду в главе XX

• 
  Размеры четырех молотов Пифагора.

Содержание легенды

По самой старой записанной версии Согласно легенде, Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, искал инструмент для измерения акустического восприятия, подобный тому, как геометрические величины измеряются с помощью циркуля или гири с помощью весов. Проходя мимо кузницы, где четыре (по более поздней версии, пять) мастеров работали молотками, он заметил, что каждый удар производит звуки разной высоты , что в паре приводит к гармонии. Он мог различать октаву , пятую и четвертую . Лишь одну пару, составлявшую интервал между четвертой и пятой (главную секунду ), он воспринимал как диссонансную . Взволнованный, он побежал в кузницу, чтобы проводить эксперименты. Там он обнаружил, что разница в высоте звука не зависит от формы молота, положения ударяемого железа или силы удара. Скорее, он мог связать высоту звука с весом молотков, который он точно измерял. Затем он вернулся домой, чтобы продолжить эксперименты.

Он повесил подряд четыре одинаково длинные, одинаково прочные и одинаково скрученные веревки на колышек, прикрепленный по диагонали к углу стены, придавая им разный вес, прикрепляя разные гири внизу. Затем он ударил по струнам попарно, и зазвучали те же гармонии, что и в кузнице. Струна с самой большой нагрузкой в ​​двенадцать единиц в сочетании с наименее нагруженной струной, несущей шесть единиц, давала октаву. Таким образом, было очевидно, что октава основана на соотношении 12:6 или 2:1. Самая натянутая струна дала пятую часть со второй самой слабой струной (восемь единиц) и четвертую со второй по натяжению струной (девять единиц). Отсюда следовало, что пятый основывался на соотношении 12:8, или 3:2, а четвертый — на соотношении 12:9, или 4:3. Опять же, соотношение второй самой натянутой струны к самой слабой, 9:6, или 3:2, давало пятую часть, а соотношение второй самой натянутой струны к самой слабой, 8:6, или 4:3, давало четвертый. Для диссонансного интервала между пятой и четвертой выяснилось, что он основан на соотношении 9:8, что совпало с весовыми измерениями, проведенными в кузнице. Октава оказалась произведение пятого и четвертого:

${\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{3}}={\frac {12}{6}}={\frac {2}{1}}=2$

Затем Пифагор распространил эксперимент на различные инструменты, экспериментировал с сосудами, флейтами, треугольниками , монохордой и т. д., всегда находя одни и те же числовые соотношения. Наконец, он представил широко используемую терминологию относительного звука.

Дальнейшие традиции

Говорят, что с изобретением монохорда для исследования и демонстрации гармонии пар струн с различным целочисленным соотношением длин Пифагор представил удобные средства иллюстрации обнаруженных им математических основ теории музыки. Монохорд, называемый κανών (kanōn) по-гречески и regula по-латыни, представляет собой резонирующую коробку с натянутой на нее струной. К коробке прилагается измерительная шкала. Устройство оснащено подвижным мостом, позволяющим разделить колеблющуюся длину струны; деление можно точно определить с помощью шкалы измерений. Это позволяет измерять интервалы. Несмотря на название «монохорд», что означает «однострунный», существовали и многострунные монохорды, способные воспроизводить однострунные интервалы. Однако неясно, когда был изобретен монохорд. Вальтер Буркерт относит это достижение ко времени после эпохи Аристотеля , который, по-видимому, не знал этого устройства; таким образом, он был введен спустя много времени после смерти Пифагора. С другой стороны, Леонид Жмудь предполагает, что Пифагор, вероятно, проводил свой эксперимент, приведший к открытию числовых отношений, с помощью монохорды.

Гиппас из Метапонта , ранний пифагорейец (конец VI — начало V веков до н.э.), проводил количественные исследования музыкальных интервалов. Эксперимент, приписываемый Гиппасу, с участием свободно колеблющихся круглых пластин разной толщины, физически корректен, в отличие от предполагаемых экспериментов Пифагора. Неясно, проводил ли соответствующие эксперименты Архит из Тарента , важный пифагорейец V/IV веков до нашей эры. Вероятно, он был скорее теоретиком, чем практиком в музыке, но ссылался на акустические наблюдения своих предшественников. Музыкальные примеры, которые он приводит в поддержку своей акустической теории, включают духовые инструменты; он не упоминает об экспериментах со струнными инструментами или отдельными струнами. Архит исходил из ошибочного предположения, что высота звука зависит от скорости распространения звука и силы удара по звукоиздающему телу; на самом деле скорость звука в данной среде постоянна, а сила влияет только на громкость.

Интерпретация легенды

Вальтер Буркерт придерживается мнения, что, несмотря на свою физическую невозможность, легенду следует рассматривать не как произвольное изобретение, а, скорее, как имеющую значение, которое можно найти в греческой мифологии . Идейские дактилы , мифические изобретатели кузнечного дела, согласно мифу, были также изобретателями музыки. Таким образом, уже существовала очень древняя традиция, связывающая кузнечное дело с музыкой, в которой мифические кузнецы изображались обладателями секрета волшебной музыки. Буркерт видит в легенде о Пифагоре у кузнецов позднюю трансформацию и рационализацию древнего мифа о Дактиле: В легенде о Пифагоре кузнецы уже не предстают обладателями древних магических знаний, а, скорее, сами того не желая, становятся - хотя и незнающие – «учителя» Пифагора.

В раннем средневековье называл Исидор Севильский библейского кузнеца Тубала изобретателем музыки; более поздние авторы последовали за ним в этом. Эта традиция еще раз демонстрирует идею связи кузнечного дела и музыки, которая также фигурирует в неевропейских мифах и легендах. Тувал был сводным братом Джубала , считавшегося предком всех музыкантов. Оба были сыновьями Ламеха и, следовательно, внуками Каина . В некоторых христианских традициях Средневековья Юбал, наблюдавший за своим братом Тувалом, приравнивался к Пифагору.

Другое объяснение предлагает Йорген Раастед вслед за Леонидом Жмудь. Гипотеза Раастеда гласит, что отправной точкой формирования легенды стал отчет об опытах Гиппаса. Гиппас использовал сосуды, называемые «сфаирами». Это слово было ошибочно перепутано со «сфирами» (молотами) из-за ошибки переписчика, и вместо имени Гиппаса в качестве автора экспериментов было использовано имя Пифагора. Отсюда и возникла легенда о кузнице.

Основы теории музыки

Целые числа 6, 8, 9 и 12 по отношению к самому низкому тону (номер 12) соответствуют чистым интервалам четвертой (номер 9), квинты (номер 8) и октавы (номер 6) вверх:

Целое число	Отношение к самое большое число 12	Соотношение, уменьшенный	Номер соотношения	Обозначение интервала
12	12:12	1:1	1.000	Основной
9	9:12	3:4	0.750	Четвертый
8	8:12	2:3	0.667	Пятый
6	6:12	1:2	0.500	Октава

Такие чистые интервалы воспринимаются человеческим ухом как безударные , так как громкость тонов не меняется. В нотах эти четыре пифагорейских тона могут быть выражены, например, мелодической последовательностью c’ – f’ – g’ – c»:

Если рассматривать эту последовательность тонов не от самого нижнего, а от самого высокого тона (цифра 6), то также получаются следующие интервалы: кварта (цифра 8), квинта (цифра 9) и октава (цифра 12) — в данном случае, однако, в сторону уменьшения:

Целое число	Отношение к самое маленькое число 6	Соотношение, уменьшенный	Номер соотношения	Обозначение интервала
6	6:6	1:1	1.000	Основной
8	8:6	4:3	1.333	Четвертый
9	9:6	3:2	1.500	Пятый
12	12:6	2:1	2.000	Октава

Квинта и октава появляются по отношению к основному тону в естественном гармоническом ряду , но не к четвертому или его октавному эквиваленту . Этот интервал в кварту встречается в безвентиляционных духовых инструментах известных с древних времен и ​​в гармонических обертонах струнных инструментов.

Значение для дальнейшего развития тональных систем.

Дальнейшее исследование интервалов, состоящих из октав, квинт и четверт, а также их кратных, в конечном итоге привело от диатонических гамм с семью различными тонами ( гептатоническая гамма ) в пифагорейской настройке к хроматической гамме с двенадцатью тонами. Волчьи интервалы в пифагорейской настройке создавали проблему: вместо чистых квинт A♭-E♭ и D♭-A♭ звучали квинты G♯-E♭ и C♯-A♭, расстроенные пифагорейской запятой . .

С появлением во второй половине XV века полифонии, помимо октавы и квинты, решающую роль в мажорных и минорных трезвучиях стала чистая терция. Хотя эту настройку невозможно было реализовать на двенадцатинотной клавиатуре, ее вполне можно было достичь в средней темперации. Его недостатком было то, что не на всех клавишах квинтового круга можно было играть. Чтобы исправить этот недостаток, были введены темперированные настройки, хотя и с тем компромиссом, что чистая треть в некоторых тональностях звучала более резко. В настоящее время большинство инструментов настраиваются одинаково темперно с помощью 12 клавиш, так что октавы звучат идеально чисто, квинты почти чисты, а терции звучат грубо.

Четыре пифагорейских тона в музыке.

В музыке четыре гармонических пифагорейских тона играют заметную роль в пентатонической гамме, особенно в первой, четвертой, пятой и восьмой ступенях диатонических гамм (особенно в мажоре и миноре), а также в составе каденций как основных тонов тоники. , субдоминантный и доминантный. Эта последовательность тонов часто появляется в каденциях с соответствующими аккордами:

Полная каденция до мажор с последовательностью ступеней: тоника (до мажор) – субдоминанта (фа мажор) – доминанта (соль мажор) – тоника (до мажор).

Четыре пифагорейских тона присутствуют во многих композициях. Первые тона средневековых антифонов «Ad te levavi» и «Factus est repente» состоят по существу из четырех пифагорейских тонов, за исключением некоторых орнаментов и высоких нот.

Другой пример — начало Пассакальи до минор Иоганна Себастьяна Баха. Тема состоит из пятнадцати тонов, из которых всего десять тонов и особенно последние четыре тона являются производными от последовательности.

Опровержение

Абсолютный шаг молотков
Резонансная частота стальных молотков, которые можно перемещать руками человека, обычно находится в ультразвуковом диапазоне и поэтому неслышна. Пифагор не мог воспринимать эти звуки, особенно когда разница в высоте звука молоточков составляла одну октаву.

Шаг в зависимости от веса молота
Частота колебаний свободно колеблющегося твердого тела, например продольной волны, обычно не пропорциональна его весу или объему, а пропорциональна его длине, которая изменяется при подобной геометрии только с кубическим корнем из объема.

Для молотов Пифагора для аналогичной геометрии применяются следующие числа передаточных чисел (значения в произвольных единицах измерения):

Масса / Объем	Отношение к самый большой молоток		Длина головки молотка / Частота вибрации	Отношение к самый большой молоток
12	1.000		2.289	1.000
9	0.750		2.080	0.909
8	0.667		2.000	0.874
6	0.500		1.817	0.794

Высота звука в зависимости от натяжения струны
Предположение о том, что частота колебаний струны пропорциональна натяжению, неверно. Скорее, частота вибрации пропорциональна квадратному корню из напряжения. Чтобы удвоить частоту вибрации, необходимо приложить в четыре раза большее натяжение и, таким образом, на веревку нужно повесить гирю, в четыре раза тяжелее.

Физические соображения

Созвучие

Целочисленные отношения частот

Полная система частот ${\frac {f_{2}}{f_{1}}}={\frac {n}{1}}$	н	Частота ударов $f_{S}=(n-1)\cdot f_{1}$
2:1	2	$f_{S}=f_{1}$
3:1	3	$f_{S}=2f_{1}$
4:1	4	$f_{S}=3f_{1}$
5:1	5	$f_{S}=4f_{1}$

Тот факт, что тон с основной частотой $f_{1}$ созвучен второму тону с целым кратным ${n}$ (с $n\in \mathbb {N}$ и ${n}>{1}$) этой основной частоты $f_{2}=n\cdot f_{1}$ сразу видно из того, что максимумы и минимумы тональных колебаний синхронны во времени, но можно объяснить и следующим образом:

Частота ударов $f_{S}$ из двух одновременно звучащих тонов математически рассчитывается по разнице частот этих двух тонов и может быть услышан как комбинированный тон:

$f_{S}=f_{2}-f_{1}$

(см. Математическое описание ритма ).

Эта разница сама по себе находится в целочисленном отношении к основной частоте. $f_{1}$:

${\begin{aligned}f_{S}&=n\cdot f_{1}-f_{1}\\&=(n-1)\cdot f_{1}\end{aligned}}$

Для всех целых кратных основной частоты второго тона существуют также целые кратные частоты ударов (см. таблицу справа), так что все тона звучат согласно.

Рациональные соотношения частот

Рациональное соотношение частот ${\frac {f_{2}}{f_{1}}}={\frac {n+1}{n}}$	н	Частота ударов $f_{S}={\frac {1}{n}}\cdot f_{1}$	Основная частота $f_{1}=n\cdot f_{S}$
2:1	1	$f_{S}=f_{1}$	$f_{1}=f_{S}$
3:2	2	$f_{S}={\frac {1}{2}}f_{1}$	$f_{1}=2f_{S}$
4:3	3	$f_{S}={\frac {1}{3}}f_{1}$	$f_{1}=3f_{S}$
5:4	4	$f_{S}={\frac {1}{4}}f_{1}$	$f_{1}=4f_{S}$

Даже для двух тонов, частоты которых находятся в рациональном соотношении ${(n+1)}$ к ${n}$, есть созвучие. Частота второго тона определяется:

$f_{2}={\frac {n+1}{n}}\cdot f_{1}$

Следовательно, частота биений двух одновременно звучащих тонов определяется выражением:

${\begin{aligned}\Rightarrow f_{S}&={\frac {n+1}{n}}\cdot f_{1}-f_{1}\\&=(1+{\frac {1}{n}}-1)\cdot f_{1}\\&={\frac {1}{n}}\cdot f_{1}\\\Leftrightarrow n\cdot f_{S}&=f_{1}\end{aligned}}$

При этом условии основная частота всегда является целым кратным частоте биений (см. таблицу справа). Поэтому никакого диссонанса не возникает.

Продольные колебания и собственная частота твердых тел.

Для оценки металлического блока рассмотрим однородную прямоугольную призму максимальной длины ${l}$ и изготовлен из материала, обладающего скоростью звука ${v}$. Для режима вибрации по самой длинной стороне ( продольное колебание ) он имеет наименьшую собственную частоту. ${f}$ с пучностями на обоих концах и узлом посередине.

${f={\frac {v}{2\cdot l}}}$.

Следовательно, шаг призмы не зависит от массы и площади поперечного сечения призмы, а площадь поперечного сечения может даже варьироваться. Причем сила и скорость при ударе по телу также не играют роли. По крайней мере, этот факт соответствует наблюдению, приписываемому Пифагору, о том, что воспринимаемая высота звука не зависела от рук (а значит, и сил) мастеров.

Тела с более сложной геометрией , такие как колокола , чашки или чаши , которые могут быть даже наполнены жидкостью, имеют собственные частоты, которые требуют значительно более сложных физических описаний, поскольку необходимо определить не только форму, но и толщину стенок или даже место удара. обдуманный. В этих случаях поперечные колебания также могут возбуждаться и слышны .

Молотки

Головка кузнечного молота , иллюстрация из американского учебника по ковке 1899 года.

Очень большая кувалда (скорость звука в стали примерно ${v}$ = 5000 метров в секунду) с длиной головки молота ${l}$ = 0,2 метра имеет собственную частоту 12,5 килогерц. При площади поперечного сечения 0,1 квадратного метра (0,1 метра на 0,1 метра) он будет иметь необычно большую массу - почти 16 килограммов при плотности 7,86 грамма на кубический сантиметр. Частоты выше примерно 15 килогерц многие люди больше не воспринимают (см. слуховой порог ); поэтому собственная частота такого большого молотка почти не слышна. Молоточки с более короткими головками имеют еще более высокие собственные частоты, поэтому их невозможно услышать.

Наковальни

Большая стальная наковальня длиной ${l}$ = 0,5 метра имеет собственную частоту всего 5 килогерц и поэтому легко слышен.

Существуют разнообразные композиции , в которых композитор указывает использование наковальни в качестве музыкальных инструментов. Особенно известны две оперы из музыкальной драмы Кольцо Нибелунгов» « Рихарда Вагнера :

• «Золото Рейна» , Сцена 3, 18 наковальнь фа фа в трёх октавах
• Зигфрид , Акт 1, Кузнечная песня Зигфрида Nothung! Ничего! Завистливый меч!

Материалы с более низкой скоростью звука, чем сталь, такие как гранит или латунь , производят еще более низкие частоты с конгруэнтной геометрией. В любом случае в ранних рассказах наковальни не упоминаются, а в более поздних версиях легенды слышимые звуки наковальни приписываются молотам.

Металлические стержни

Металлический стержень длиной l и площадью поперечного сечения A.

Четыре долота разной длины (12, 9, 8 и 6 единиц) и одинаковой площади поперечного сечения, колеблющиеся вдоль продольной оси с частотами колебаний, пропорциональными длине и массе.
Звуковые примеры долот с частотами вибрации, находящимися в целочисленных отношениях друг к другу:

Продолжительность: 54 секунды. 0:54

Фундаментальный (длиной 12 единиц)

Продолжительность: 41 секунда. 0:41

Четвертый (длиной 9 единиц)

Продолжительность: 36 секунд. 0:36

Пятый (длиной 8 единиц)

Продолжительность: 27 секунд. 0:27

Октава (длиной 6 единиц)

Долото с нецелым отношением к основной ( тритон = ⁠ 1/2 ⁠ октавы ) :

Продолжительность: 38 секунд. 0:38

Тритон (длина 8485 единиц)

Можно сравнить металлические стержни , такие как долота, используемые каменщиками, или раскалывающиеся клинья для разрушения камня, чтобы прийти к наблюдению, аналогичному тому, которое приписывалось Пифагору, а именно, что частота вибрации инструментов пропорциональна их весу . Если все металлические стержни, без учета сужающихся режущих кромок, имеют одинаковую площадь поперечного сечения A, но разную длину l , то их вес пропорционален длине и, следовательно, частоте вибрации, при условии, что металлические стержни возбуждаются продольные колебания ударами по продольной оси (примеры звука можно найти в рамке справа).

Для изгибных осцилляторов , таких как камертоны или пластинки металлофонов , действуют другие условия и законы; следовательно, эти соображения к ним не применимы.

Колебания струн

Принцип монохорда: колеблющаяся струна длиной l и натяжением F между двумя мостами на резонаторной коробке.

Струны можно закрепить на двух концах, каждый на перемычке . В отличие от твердого тела с продольными колебаниями, два моста устанавливают граничные условия для двух узловых точек вибрации; следовательно, колебательный узел расположен посередине.

Собственная частота ${f}$ и, следовательно, высота струн длиной ${l}$ не пропорциональны напряжению ${F}$, а квадратному корню из напряжения. Более того, частота увеличивается с увеличением растягивающего усилия и, следовательно, с увеличением натяжения, а не уменьшается:

$f\propto {\frac {\sqrt {F}}{l}}$

Тем не менее частота колебаний обратно пропорциональна длине струны при постоянном натяжении, что можно непосредственно продемонстрировать на примере монохорда , якобы изобретенного Пифагором.

Прием

Хронология: Авторы, передающие версии легенды о кузнице ( зеленые ). Философы, отмеченные синим цветом, занимались взаимосвязью математики и музыки.

Античность

Самое раннее упоминание об открытии Пифагором математической основы музыкальных интервалов встречается у платоника Ксенократа (4 век до н. э.); поскольку это всего лишь цитата из утерянного труда этого мыслителя, неясно, знал ли он легенду о кузне. В IV веке до нашей эры уже высказывалась критика пифагорейской теории интервалов, хотя и без ссылки на легенду о Пифагоре; философ и теоретик музыки Аристоксен считал это ложным.

Никомах Герасский на средневековом изображении XII века, Библиотека Кембриджского университета , г-жа II.3.12, л. 61 В

Самая старая зарегистрированная версия легенды была представлена ​​спустя столетия после Пифагора неопифагорейцем Никомахом из Герасы , который в I или II веке нашей эры задокументировал эту историю в своем Harmonikḗ Encheirídion («Справочник гармонии»). Он опирался на философа Филолая , пифагорейца V века до нашей эры, для представления числовых соотношений в теории музыки.

Знаменитый математик и теоретик музыки Птолемей (II век нашей эры) знал о весовом методе, передаваемом легендой, но отверг его. Однако он не признавал ложности весовых опытов; он лишь критиковал их неточности по сравнению с точными измерениями на монохорде. Вполне вероятно, что свои знания о легендарной традиции он получил не от Никомаха, а из более древнего источника, ныне утерянного.

Хронологически трудно определить место теоретика музыки императорской эпохи Гауденция описал легенду в своем Harmonikḗ Eisagōgḗ («Введение в гармонию»), в версии, немного короче, чем версия Никомаха. Философ неоплатоник - Ямвлих Халкидский , работавший учителем философии в конце III — начале IV веков, написал биографию Пифагора под названием « О пифагорейской жизни» , в которой воспроизвел кузнечную легенду в версии Никомаха.

В первой половине V века писатель Макробий широко обсуждал легенду о кузнеце в своем комментарии к Цицерона « Somnium Scipionis» , который он описал аналогично Никомаху.

Боэций (слева) соревнуется с Пифагором (справа, на счетах ). Изображение Грегора Райша с аллегорической женской фигурой, несущей две книги и надписью Typus arithmeticae , Margarita philosophica , 1508 г.

Самый сильный резонанс среди теоретиков античной музыки, поднявшихся этому повествованию, был достигнут Боэцием с его учебником De Institutione Musica («Введение в музыку»), написанным в начале VI века, в котором он первоначально описывает попытки Пифагора понять музыку в ковать, а потом дома. Неясно, полагался ли он на рассказ Никомаха или на другой источник. В отличие от всей более ранней традиции, он сообщает о пяти молотах вместо четырех, как предполагали более ранние авторы. Он утверждает, что Пифагор отверг пятый молот, потому что он приводил к диссонансу со всеми остальными молотами. Согласно рассказу Боэция (как и Макробия), Пифагор проверил свое первоначальное предположение о том, что разница в звуке возникла из-за разной силы рук мужчин, заставив кузнецов поменяться молотками, что привело к его опровержению. Что касается экспериментов в доме Пифагора, Боэций пишет, что философ сначала подвешивал в кузнице веревки с весом, равным весу молотков, а затем экспериментировал с трубками и чашками, причем все эксперименты давали те же результаты, что и первоначальные с молотками. . Опираясь на легенду, Боэций обращается к вопросу достоверности чувственных восприятий с точки зрения науки и теории познания. Решающим моментом является то, что Пифагор изначально был побужден чувственным восприятием к формулированию своего вопроса и гипотез, и посредством эмпирической проверки гипотез он пришел к неопровержимой уверенности. Путь к познанию шел от чувственного восприятия к исходной гипотезе, оказавшейся ошибочной, затем к формированию правильного мнения и, наконец, к его проверке. Боэций признает необходимость и ценность чувственного восприятия и формирования мнений на пути к пониманию, хотя и в качестве Платоник , он по своей сути скептически относится к чувственному восприятию из-за его склонности к ошибкам. Подлинное знание, по его мнению, возникает лишь тогда, когда уловлена ​​закономерность, позволяющая исследователю освободиться от первоначальной зависимости от ненадежного чувственного восприятия. Суждение исследователя не должно основываться исключительно на чувственном суждении, полученном на основе эмпирического опыта, а, скорее, должно быть вынесено только после того, как он путем размышлений нашел правило, которое позволяет ему позиционировать себя за пределами возможного сенсорного обмана.

В VI веке ученый Кассиодор писал в своих «Институциях» , что Гауденций приписывал начало «музыки» Пифагору в своем рассказе о легенде о кузнеце. Он имел в виду теорию музыки, как и Ямвлих, который, ссылаясь на рассказ о кузнеце и описанные там эксперименты, называл Пифагора изобретателем «музыки».

Средний возраст

В раннем средневековье Исидор Севильский упомянул легенду о кузнеце в своих «Этимологиях» , ставших фундаментальным справочником для образованных в Средние века. Он кратко упомянул легенду, заимствовав формулировку Кассиодора, а также назвав Пифагора изобретателем музыки. Поскольку Кассиодор и Исидор были крупнейшими авторитетами в Средние века, распространилось мнение, что Пифагор открыл фундаментальный закон музыки и, таким образом, был ее основателем. Несмотря на столь радикальные заявления, средневековые теоретики музыки предполагали, что музыка существовала до Пифагора и что «изобретение музыки» относится к открытию ее принципов.

В 9 веке музыковед Аврелиан Реоме рассказал эту легенду в своей «Musica disciplina» («Теория музыки»). За рассказом Аврелиана в X веке последовал Регино Прюмский в своей работе De Harmonica Institutione («Введение в гармоническую теорию»). Оба подчеркивали, что Пифагору была предоставлена ​​возможность сделать свое открытие в кузнице по божественному провидению. В древности Никомах и Ямвлих уже говорили о демоническом провидении, а Боэций превратил это в божественный указ.

В 11 веке легендарный материал обрабатывался в Carmina Cantabrigiensia .

Гвидо Ареццо (слева) обучает епископа игре на монохорде. Вена, Австрийская национальная библиотека , Codex Lat. 51, л. 35в (12 век)

В первой половине XI века Гвидо Ареццо , самый известный теоретик музыки средневековья, изложил легенду о кузнеце в заключительной главе своего «Микролога» , взяв за основу версию Боэция, которого он назвал конкретно. Гвидо заметил вначале: Никто бы никогда не открыл ничего определенного в этом искусстве (музыке) , если бы в конце концов божественная доброта не вызвала по своему велению следующее событие. Тот факт, что молоточки весили 12, 9, 8 и 6 единиц и таким образом издавали гармоничный звук, он объяснял промыслом Божьим. Он также упомянул, что Пифагор, начиная со своего открытия, изобрел монохорд, но не вдавался в подробности о его свойствах.

Работа «De musica» Йоханнеса Котто (также известного как Джон Коттон или Йоханнес Аффлигеменсис) была проиллюстрирована сценой кузнеца около 1250 года анонимным книжным иллюминатором в цистерцианском аббатстве Альдерсбах .

Среди теоретиков средневековой музыки, рассказавших легенду о кузнице по версии Боэция, были также Хуан Хиль де Самора (Иоганнес Эгидиус фон Самора), действовавший в конце 13 - начале 14 веков, Иоганнес де Мюрис и Симон Тунстеде в 14 веке. века, и Адам фон Фульда на пороге раннего Нового времени в 15 веке.

Как противник пифагорейской концепции, согласно которой созвучия основаны на определенных числовых соотношениях, Иоганн де Грошейо появился в 13 веке, начиная с аристотелевской точки зрения. Хотя он прямо заявил, что Пифагор открыл принципы музыки, и рассказал легенду о кузнице, цитируя Боэция, которого считал заслуживающим доверия, он отверг пифагорейскую теорию созвучия, которую хотел свести к просто метафорическому выражению.

Ранний современный период

Франкино Гаффурио, Theorica musice (1492 г.): библейский изобретатель музыки Джубал с шестью кузнецами вокруг наковальни (вверху слева); Пифагор экспериментирует с шестью колокольчиками и шестью стаканами (вверху справа), с шестью струнами (внизу слева) и вместе с Филолаем с шестью флейтами (внизу справа).

Иллюстрация четырех пифагорейских молотков с весовым соотношением 12:9:8:6, согласно математику Генриху Шрайберу в книге Ayn new kunstlich Buech, которая уверенно и быстро учится в соответствии с общим правилом detre Grammateum или Schreyber , опубликованным в 1521 году. .

Франчино Гаффурио опубликовал в Неаполе в 1480 году свою работу Theoricum opus musice science («Теоретическая теория музыки»), которая была переработана и переиздана в 1492 году под названием Theorica musice («Теория музыки»). В нем он представил версию легенды о кузнице, превзошедшую в деталях все предыдущие рассказы. Он основал свою версию на версии Боэция и добавил шестой молот, чтобы включить в повествование как можно больше тонов октавы. В четырех графических изображениях он представил музыкальные инструменты или генераторы звука, каждый из которых имел шесть гармонических тонов, и указал на этикетках цифры 4, 6, 8, 9, 12 и 16, соответствующие тонам. В дополнение к четырем традиционным пропорциям легенды (6, 8, 9 и 12) он добавил 4 и 16, которые представляют собой тон на квинту ниже и еще один тон на кварту выше. Вся последовательность тонов теперь простирается не только на одну, но и на две октавы. Эти числа соответствуют, например, тонам f – c’ – f’ – g’ – c» – f»:

Художнику Эрхарду Сансдорферу в 1546 году было поручено создать фреску в гессенском замке Бюдинген , которая хорошо сохранилась и представляет историю музыки, начиная с кузницы Пифагора, как компендиум.

Джозеффо Зарлино также рассказал эту легенду в своей работе Le istitutioni Harmoniche («Основы гармонии»), которую он опубликовал в 1558 году; как и Гаффурио, он основывал свое повествование на версии Боэция.

Теоретик музыки Винченцо Галилей, отец Галилео Галилея, опубликовал в 1589 году свой трактат Discorso intorno all'opere dimesser Джозеффо Зарлино («Рассуждение о произведениях господина Джозеффо Зарлино»), направленный против взглядов его учителя Зарлино. . В нем он указывал, что сведения в легенде о нагружении струн гирями неточны.[1]

Медная гравюра Эберхарда Кизера "Дюнкирхен".

В 1626 году в «Thesaurus philopoliticus» Даниэля Мейснера была гравюра на меди Эберхарда Кизера под названием «Дуйнкирхен», на которой были изображены только три кузнеца на наковальне. Подпись на латыни и немецком языке гласит:[2]

Когда по нему ударяют три раза, он звучит как различные удары.

Музыка Пифагора закладывает здесь основы принципа(эпса).

Наковальня издает тройные удары, производя три разных тона.

Музыка — это фундамент, построенный Пифагором, которого не могла бы достичь ни одна ослиная голова.

Спустя несколько лет дело окончательно прояснилось после того, как Галилео Галилей и Марин Мерсенн открыли законы колебаний струн. В 1636 году Мерсенн опубликовал свою «Всемирную гармонию», в которой объяснил физическую ошибку легенды: частота вибрации пропорциональна не напряжению, а его квадратному корню.[3]

Некоторые композиторы включили эту тему в свои произведения, в том числе Георг Мюффа в конце 17 века. и Руперт Игнац Майр .

современная эпоха

Еще в XIX веке Гегель в своих лекциях по истории философии предполагал физическую точность предполагаемых измерений, упомянутых в легенде о Пифагоре.

Вернер Гейзенберг подчеркнул в эссе, впервые опубликованном в 1937 году, что пифагорейское «открытие математической определенности гармонии» основано на «идее значимой силы математических структур», «фундаментальной идее, которую современная точная наука унаследовала от древности». ; открытие, приписываемое Пифагору, принадлежит «к сильнейшим порывам человеческой науки вообще».

Совсем недавно были опубликованы отчеты, в которых легенда воспроизводится некритически, без ссылки на ее физическую и историческую ложность. Например, в научно-популярной книге «Пятый молот: Пифагор и дисгармония мира» Дэниела Хеллера-Роазена .

Источники

• Готфрид Фридлейн (Hrsg.): Аниций Манлий Торкват Северин Боэций по инструкции по второй книге арифметики, по инструкции по пятой книге по музыке. Минерва, Франкфурт-на-Майне, 1966 (Nachdruck der Ausgabe Leipzig 1867, онлайн ; deutsche Übersetzung онлайн )
• Михаэль Гермесдорф (переводчик): Micrologus Guidonis de disciplina artis musicae, краткий трактат Гвидо о правилах музыкального искусства . Трир 1876 г. ( онлайн )
• Ильде Иллюминаты, Фабио Беллиссима (Hrsg.): Франкино Гаффурио: Theorica musice. Galluzzo Editions, Флоренция, 2005 г., ISBN   88-8450-161-X , стр. 66–71 (латинский текст и итальянский перевод)

Дальнейшее чтение

• Уолтер Буркерт: Мудрость и наука. Исследования Пифагора, Филолая и Платона (= вклад Эрлангера в лингвистику и искусство . Том 10). Ганс Карл, Нюрнберг, 1962 г.
• Аня Хайльманн: Теория музыки Боэция и квадривиум. Введение в неоплатоническую подоплеку «De Institutione Musica» . Ванденхук и Рупрехт, Геттинген, 2007 г., ISBN   978-3-525-25268-0 , S. 203–222 ( [1] в Google Книгах )
• Вернер Кейл (ред.): Основные тексты по музыкальной эстетике и теории музыки. Вильгельм Финк, Падерборн, 2007 г., ISBN   978-3-8252-8359-9 , S. 342–346 ( [2] в Google Книгах )
• Барбара Мюнксельхаус: Музыкальный Пифагор. О рецепции пифагорейской теории музыки как четырехмерной науки в латинском средневековье (= серия сочинений Орфея по основным вопросам музыки . Том 19). Издательство систематического музыковедения, Бонн – Бад-Годесберг, 1976 г.
• Йорген Раастед: Забытая версия анекдота об эксперименте Пифагора с молотком. В: Cahiers de l'Institut du Moyen-Âge grec et latin . Полоса 31а, 1979, С. 1–9.
• Леонид Жмудь: Наука, философия и религия в раннем пифагореизме. Академия Верлаг, Берлин, 1997 г., ISBN   3-05-003090-9

См. также

• Просто интонация