Эффект Ааронова – Бома

Аппарат на эффекте Ааронова – Бома, показывающий барьер, X; слоты _S1 и _S2 ; пути электронов e ₁ и e ₂ ; магнитный ус, Вт; экран, П; интерференционная картина I; плотность магнитного потока, В (указывает за пределы рисунка); и магнитный векторный потенциал A. B практически равен нулю вне уса. В некоторых экспериментах ус заменяется соленоидом. Электроны на пути 1 смещаются относительно электронов на пути 2 под действием векторного потенциала, даже если плотность потока равна нулю.

Якир Ахаронов

Дэвид Бом

Эффект Ааронова-Бома , иногда называемый эффектом Эренберга-Сидая-Ааронова-Бома , представляет собой квантово-механическое явление, при котором на электрически заряженную частицу действует электромагнитный потенциал ( $\varphi$, $\mathbf {A}$), несмотря на то, что он ограничен областью, в которой как магнитное поле $\mathbf {B}$ и электрическое поле $\mathbf {E}$ равны нулю. В основе лежит механизм связи электромагнитного потенциала со сложной фазой заряженной частицы волновой функции , и эффект Ааронова-Бома соответственно иллюстрируется интерференционными экспериментами .

Наиболее часто описываемый случай, иногда называемый соленоидным эффектом Ааронова-Бома , имеет место, когда волновая функция заряженной частицы, проходящей вокруг длинного соленоида, испытывает фазовый сдвиг в результате действия окружающего магнитного поля, несмотря на то, что магнитное поле незначительно в область, через которую проходит частица, и волновая функция частицы внутри соленоида пренебрежимо мала. Этот фазовый сдвиг наблюдался экспериментально. Существуют также магнитные эффекты Ааронова–Бома на связанные энергии и сечения рассеяния, но эти случаи экспериментально не проверены. Также был предсказан электрический феномен Ааронова-Бома, при котором на заряженную частицу воздействуют области с разными электрическими потенциалами , но с нулевым электрическим полем, но это пока не имеет экспериментального подтверждения. Отдельный «молекулярный» эффект Ааронова-Бома был предложен для движения ядра в многосвязных областях, но утверждалось, что это другой вид геометрической фазы , поскольку он «ни нелокальный, ни топологический», зависящий только от локальных величин вдоль ядра. путь.

Вернер Эренберг (1901–1975) и Раймонд Э. Сидей впервые предсказали этот эффект в 1949 году. Якир Ахаронов и Дэвид Бом опубликовали свой анализ в 1959 году. После публикации статьи 1959 года Бом был проинформирован о работе Эренберга и Сидея, которая была признана и отмечена в последующей статье Бома и Ааронова 1961 года. Эффект был подтвержден экспериментально, с очень большой погрешностью, еще при живом Боме. К тому времени, когда ошибка снизилась до приличного значения, Бом умер.

Значение

В XVIII и XIX веках в физике доминировала ньютоновская динамика с упором на силы . Электромагнитные явления были выяснены в результате серии экспериментов по измерению сил между зарядами, токами и магнитами в различных конфигурациях. Со временем возникло описание, согласно которому заряды, токи и магниты выступали в качестве локальных источников распространяющихся силовых полей, которые затем действовали на другие заряды и токи локально посредством закона сил Лоренца . В этой рамках, поскольку одним из наблюдаемых свойств электрического поля было то, что оно является безвихревым , а одним из наблюдаемых свойств магнитного поля было то, что оно недивергентно , можно было выразить электростатическое поле как градиент скалярного поля. потенциал (например, электростатический потенциал Кулона , который математически аналогичен классическому гравитационному потенциалу) и стационарное магнитное поле как ротор векторного потенциала (тогда новая концепция – идея скалярного потенциала уже была хорошо принята по аналогии с гравитационный потенциал). Язык потенциалов легко обобщался на полностью динамический случай, но, поскольку все физические эффекты можно было описать в терминах полей, которые были производными потенциалов, потенциалы (в отличие от полей) не определялись однозначно физическими эффектами: потенциалы определялись только вверх. к произвольному аддитивному постоянному электростатическому потенциалу и безвихревому стационарному магнитному векторному потенциалу.

Эффект Ааронова-Бома важен концептуально, поскольку он затрагивает три проблемы, очевидные при переработке ( Максвелла ) классической электромагнитной теории в калибровочную теорию , которую до появления квантовой механики можно было утверждать как математическую переформулировку без каких-либо физических оснований. последствия. Ааронова-Бома Мысленные эксперименты и их экспериментальная реализация подразумевают, что эти проблемы были не только философскими.

Три проблемы:

1. являются ли потенциалы «физическими» или просто удобным инструментом для расчета силовых полей;
2. являются ли действия принципы основополагающими;
3. принцип локальности .

По таким причинам эффект Ааронова-Бома был выбран журналом New Scientist одним из «семи чудес квантового мира».

Чэнь-Нин Ян считал эффект AB лишь прямым экспериментальным доказательством калибровочного принципа . Философский смысл заключается в том, что магнитный четырехпотенциал $(\phi ,\mathbf {A} )$ переописывает физику, поскольку все наблюдаемые явления остаются одинаковыми после выполнения калибровочного преобразования. Поля Максвелла недостаточно описывают физику, поскольку не предсказывают эффект AB. И, как предсказывает калибровочный принцип, величины, инвариантные относительно калибровочных преобразований, являются именно физически наблюдаемыми явлениями.

Потенциалы против полей

Обычно утверждается, что эффект Ааронова-Бома иллюстрирует физичность электромагнитных потенциалов Φ и A в квантовой механике. Классически можно было утверждать, что только электромагнитные поля являются физическими, в то время как электромагнитные потенциалы представляют собой чисто математические конструкции, которые из-за калибровочной свободы даже не являются уникальными для данного электромагнитного поля.

Однако Вайдман поставил под сомнение эту интерпретацию, показав, что эффект Ааронова-Бома можно объяснить без использования потенциалов, если дать полную квантовомеханическую трактовку исходных зарядов, создающих электромагнитное поле. Согласно этой точке зрения, потенциал в квантовой механике столь же физический (или нефизический), каким он был в классической теории. Ааронов, Коэн и Рорлих ответили, что этот эффект может быть обусловлен локальным калибровочным потенциалом или нелокальными калибровочно-инвариантными полями.

Две статьи, опубликованные в журнале Physical Review A в 2017 году, продемонстрировали квантовомеханическое решение системы. Их анализ показывает, что фазовый сдвиг можно рассматривать как созданный векторным потенциалом соленоида, действующим на электрон, или векторным потенциалом электрона, действующим на соленоид, или токами электронов и соленоидов, действующими на квантованный векторный потенциал.

Глобальные действия против местных сил

Точно так же эффект Ааронова-Бома показывает, что лагранжев подход к динамике , основанный на энергиях , является не просто вычислительной помощью ньютоновского подхода , основанного на силах . Таким образом, эффект Ааронова-Бома подтверждает точку зрения о том, что силы - это неполный способ формулировки физики, и вместо этого необходимо использовать потенциальные энергии. На самом деле Ричард Фейнман жаловался, что его учили электромагнетизму с точки зрения электромагнитных полей, и он хотел бы, чтобы в дальнейшей жизни его научили вместо этого мыслить в терминах электромагнитного потенциала, поскольку это было бы более фундаментально. В взгляде Фейнмана на динамику, интегральном по путям , потенциальное поле напрямую изменяет фазу волновой функции электрона, и именно эти изменения фазы приводят к измеримым величинам.

Локальность электромагнитных эффектов

Эффект Ааронова-Бома показывает, что локальные поля E и B не содержат полной информации об электромагнитном поле, и электромагнитный четырехпотенциал ( Φ , A вместо этого необходимо использовать ). По теореме Стокса величину эффекта Ааронова-Бома можно рассчитать, используя только электромагнитные поля или только четырехпотенциал. Но при использовании только электромагнитных полей эффект зависит от значений поля в области, из которой исключена пробная частица. Напротив, при использовании только четырехпотенциала эффект зависит только от потенциала в той области, где разрешена пробная частица. Следовательно, нужно либо отказаться от принципа локальности , чего большинство физиков делать не хотят, либо признать, что электромагнитный четырехпотенциал предлагает более полное описание электромагнетизма, чем электрическое и магнитное поля. С другой стороны, эффект Ааронова-Бома имеет решающую квантово-механическую природу; хорошо известно, что квантовая механика обладает нелокальные эффекты (хотя и все еще запрещающие сверхсветовую связь), а Вайдман утверждал, что это просто нелокальный квантовый эффект в другой форме.

В классическом электромагнетизме эти два описания были эквивалентны. Однако с добавлением квантовой теории электромагнитные потенциалы Φ и A кажутся более фундаментальными. это, все наблюдаемые эффекты в конечном итоге выражаются через электромагнитные поля E и B. Несмотря на Это интересно, потому что, хотя вы можете рассчитать электромагнитное поле из четырехпотенциала, из-за калибровочной свободы обратное неверно.

Магнитный соленоидный эффект

Магнитный эффект Ааронова-Бома можно рассматривать как результат требования, чтобы квантовая физика была инвариантной относительно выбора калибровки электромагнитного потенциала , из которых магнитный векторный потенциал $\mathbf {A}$ образует часть.

Электромагнитная теория подразумевает что частица с электрическим зарядом $q$ путешествуя по какому-то пути $P$ в области с нулевым магнитным полем $\mathbf {B}$, но ненулевой $\mathbf {A}$ (к $\mathbf {B} =\mathbf {0} =\nabla \times \mathbf {A}$), приобретает фазовый сдвиг $\varphi$, заданный в СИ единицах

$\varphi ={\frac {q}{\hbar }}\int _{P}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {x} ,$

Следовательно, частицы, имеющие одинаковые начальную и конечную точки, но движущиеся по двум разным маршрутам, приобретут разность фаз. $\Delta \varphi$ определяется магнитным потоком $\Phi _{B}$ через область между путями (по теореме Стокса и $\nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B}$), и предоставлено:

$\Delta \varphi ={\frac {q\,\Phi _{B}}{\hbar }}.$

Схема двухщелевого эксперимента, в котором можно наблюдать эффект Ааронова-Бома: электроны проходят через две щели, интерферируя на экране наблюдения, при этом интерференционная картина смещается при магнитного поля B изменении в нитевидном кристалле. Направление поля B направлено наружу от рисунка; внутренний обратный поток не показан, но находится за пределами путей электронов. Стрелка показывает направление поля A , которое выходит за пределы отмеченной области, хотя поле B этого не делает.

В квантовой механике одна и та же частица может перемещаться между двумя точками разными путями . Следовательно, эту разность фаз можно наблюдать, поместив соленоид между щелями в эксперименте с двумя щелями (или его эквиваленте). Идеальный соленоид (то есть бесконечно длинный и с совершенно равномерным распределением тока) окружает магнитное поле. $\mathbf {B}$, но не создает никакого магнитного поля за пределами своего цилиндра, и, таким образом, заряженная частица (например, электрон ), проходящая снаружи, не испытывает магнитного поля. $\mathbf {B}$. (Эта идеализация упрощает анализ, но важно понимать, что эффект Ааронова-Бома не зависит от него, при условии, что магнитный поток возвращается за пределы путей электронов, например, если один путь проходит через тороидальный соленоид , а другой - вокруг него, и соленоид экранирован, поэтому он не создает внешнего магнитного поля.) Однако существует ротора ). векторный потенциал (без $\mathbf {A}$ вне соленоида с замкнутым потоком, поэтому относительная фаза частиц, проходящих через ту или иную щель, изменяется в зависимости от того, включен или выключен ток соленоида. Это соответствует наблюдаемому смещению интерференционных полос в плоскости наблюдения.

Тот же фазовый эффект отвечает за необходимость квантования потока в сверхпроводящих контурах. Это квантование происходит потому, что волновая функция сверхпроводимости должна быть однозначной: ее разность фаз $\Delta \varphi$ вокруг замкнутого цикла должно быть целым числом, кратным $2\pi$ (с оплатой $q=2e$ для электронных куперовских пар ), и, следовательно, поток должен быть кратен $h/2e$. Квант сверхпроводящего потока фактически был предсказан еще до Ааронова и Бома Ф. Лондоном в 1948 году с использованием феноменологической модели.

Первое заявленное экспериментальное подтверждение было сделано Робертом Г. Чемберсом в 1960 году. в электронном интерферометре с магнитным полем, создаваемым тонким железным усом, а также другие ранние работы суммированы в Олариу и Попеску (1984). Однако последующие авторы поставили под сомнение достоверность некоторых из этих ранних результатов, поскольку электроны, возможно, не были полностью экранированы от магнитных полей. Ранний эксперимент, в котором однозначный эффект Ааронова-Бома наблюдался при полном исключении магнитного поля с пути электрона (с помощью сверхпроводящей пленки), был выполнен Тономурой и др. в 1986 году. Объем и применение эффекта продолжают расширяться. Уэбб и др. (1985) продемонстрировал колебания Ааронова – Бома в обычных несверхпроводящих металлических кольцах; обсуждение см. в Schwarzschild (1986). и Имри и Уэбб (1989). Бахтольд и др. (1999) обнаружил эффект в углеродных нанотрубках; обсуждение см. Kong et al. (2004).

Монополи и струны Дирака

Магнитный эффект Ааронова-Бома также тесно связан с аргументом Дирака о том, что существование магнитного монополя без магнитных источников, может быть учтено существующими уравнениями Максвелла если и электрические, и магнитные заряды квантованы.

Магнитный монополь подразумевает математическую сингулярность векторного потенциала, которую можно выразить как струну Дирака бесконечно малого диаметра, содержащую эквивалент всего потока 4π g монополя от «заряда» g . Струна Дирака начинается и заканчивается на магнитном монополе. Таким образом, предполагая отсутствие эффекта рассеяния на бесконечной дальности из-за этого произвольного выбора сингулярности, требование однозначных волновых функций (как указано выше) делает необходимым квантование заряда. То есть, $2{\frac {q_{\text{e}}q_{\text{m}}}{\hbar c}}$ должно быть целым числом (в единицах СГС ) для любого электрического заряда q _e и магнитного заряда q _m .

Как и электромагнитный потенциал A, струна Дирака не является калибровочно-инвариантной (она движется с фиксированными конечными точками при калибровочном преобразовании) и поэтому также не поддается непосредственному измерению.

Электрический эффект

Так же, как фаза волновой функции зависит от векторного магнитного потенциала, она также зависит от скалярного электрического потенциала. Путем построения ситуации, в которой электростатический потенциал меняется для двух путей частицы через области нулевого электрического поля, было предсказано наблюдаемое явление интерференции Ааронова-Бома из-за фазового сдвига; Опять же, отсутствие электрического поля означает, что, классически, эффекта не будет.

Из уравнения Шрёдингера фаза собственной функции с энергией $E$ идет как $e^{-iEt/\hbar }$. Однако энергия будет зависеть от электростатического потенциала. $V$ для частицы с зарядом $q$. В частности, для региона с постоянным потенциалом $V$ (нулевое поле), электрическая потенциальная энергия $qV$ просто добавляется к $E$, что приводит к фазовому сдвигу:

$\Delta \varphi =-{\frac {qVt}{\hbar }},$

где t – время пребывания в потенциале.

Например, у нас может быть пара больших плоских проводников, подключенных к батарее напряжением $\Delta V$. Затем мы можем провести одноэлектронный эксперимент с двумя щелями, причем две щели расположены по обе стороны пары проводников. Если электрон тратит время $t$ попасть на экран, то мы должны наблюдать фазовый сдвиг $e\Delta Vt/\hbar$. Регулируя напряжение батареи, мы можем сдвигать интерференционную картину на экране по горизонтали.

Первоначальное теоретическое предложение этого эффекта предполагало эксперимент, в котором заряды проходят через проводящие цилиндры по двум путям, которые защищают частицы от внешних электрических полей в областях, где они перемещаются, но при этом позволяют прикладывать зависящий от времени потенциал путем зарядки цилиндров. Однако реализовать это оказалось трудно. Вместо этого был предложен другой эксперимент, включающий геометрию кольца, прерываемую туннельными барьерами, с постоянным напряжением смещения V, связывающим потенциалы двух половин кольца. Эта ситуация приводит к сдвигу фазы Ааронова-Бома, как указано выше, и наблюдалась экспериментально в 1998 году, хотя и в установке, где заряды действительно пересекают электрическое поле, создаваемое напряжением смещения. Оригинальный нестационарный электрический эффект Ааронова-Бома еще не нашел экспериментального подтверждения.

Гравитационный эффект

Основная статья: Гравитационный эффект Ааронова-Бома

Фазовый сдвиг Ааронова-Бома из-за гравитационного потенциала также можно будет наблюдать теоретически, и в начале 2022 года по его наблюдению был проведен эксперимент на основе экспериментальной схемы 2012 года. В ходе эксперимента ультрахолодные атомы рубидия в суперпозиции запускались вертикально внутри вакуумной трубки и расщеплялись лазером так, чтобы одна часть поднималась выше другой, а затем воссоединялись обратно. Снаружи камеры наверху находится осесимметричная масса, которая изменяет гравитационный потенциал. Таким образом, та часть, которая поднимается выше, должна испытывать большее изменение, которое проявляется в виде интерференционной картины, когда волновые пакеты рекомбинируются, что приводит к измеримому фазовому сдвигу. Команда обнаружила доказательства соответствия измерений и прогнозов. Было предложено множество других тестов.

Неабелев эффект

В 1975 году Тай-Цун Ву и Чен-Нин Ян сформулировали неабелев эффект Ааронова-Бома: а в 2019 году об этом было экспериментально сообщено в системе со световыми волнами, а не с волновой функцией электрона. Эффект достигался двумя разными способами. В одном случае свет проходил через кристалл в сильном магнитном поле, а в другом свет модулировался с помощью изменяющихся во времени электрических сигналов. В обоих случаях фазовый сдвиг наблюдался через интерференционную картину, которая также различалась в зависимости от движения вперед и назад во времени.

Нанокольца Ааронова – Бома

Нанокольца были созданы случайно намереваясь создать квантовые точки . Они обладают интересными оптическими свойствами, связанными с экситонами и эффектом Ааронова-Бома. Применение этих колец, используемых в качестве световых конденсаторов или буферов, включает фотонные вычислительные и коммуникационные технологии. Анализ и измерение геометрических фаз в мезоскопических кольцах продолжаются. Предполагается даже, что их можно использовать для изготовления медленного стекла .

Несколько экспериментов, в том числе некоторые, о которых сообщалось в 2012 году, показывают колебания Ааронова-Бома в токе волны зарядовой плотности (ВЗП) в зависимости от магнитного потока с доминирующим периодом h / 2 e через кольца ВЗП до 85 мкм в окружности выше 77 К. Это поведение аналогично поведению сверхпроводящих квантовых интерференционных устройств ( см . КАЛЬМАРЫ ).

Математическая интерпретация

Эффект Ааронова-Бома можно понять из того факта, что можно измерить только абсолютные значения волновой функции. Хотя это позволяет измерять разности фаз с помощью экспериментов по квантовой интерференции, невозможно определить волновую функцию с постоянной абсолютной фазой. В отсутствие электромагнитного поля можно приблизиться к этому, объявив собственную функцию оператора импульса с нулевым импульсом функцией «1» (игнорируя проблемы нормировки) и указав волновые функции относительно этой собственной функции «1». В этом представлении оператор i-импульса (с точностью до множителя $\hbar /i$) дифференциальный оператор $\partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$. Однако в силу калибровочной инвариантности в равной степени справедливо объявить собственную функцию нулевого импульса равной $e^{-i\phi (x)}$ ценой представления оператора i-импульса (с точностью до множителя) в виде $\nabla _{i}=\partial _{i}+i(\partial _{i}\phi )$ т.е. с чистым калибровочным векторным потенциалом $A=d\phi$. Настоящей асимметрии нет, потому что представлять первое с точки зрения второго так же беспорядочно, как и представлять последнее с точки зрения первого. Это означает, что физически более естественно описывать волновые «функции» на языке дифференциальной геометрии как сечения комплексного линейного расслоения с эрмитовой метрикой и U(1) -связностью . $\nabla$. Кривизна формы соединения, $iF=\nabla \wedge \nabla$, является с точностью до фактора i тензором Фарадея напряженности электромагнитного поля . Эффект Ааронова-Бома тогда является проявлением того факта, что соединение с нулевой кривизной (т.е. плоское ) не обязательно должно быть тривиальным, поскольку оно может иметь монодромию вдоль топологически нетривиального пути, полностью содержащегося в области нулевой кривизны (т.е. без поля). . По определению это означает, что секции, которые параллельно перемещаются по топологически нетривиальному пути, набирают фазу, так что ковариантные постоянные секции не могут быть определены во всей свободной от поля области.

Учитывая тривиализацию линейного расслоения, неисчезающего сечения, U(1)-связность задается 1-формой, соответствующей электромагнитному четырехпотенциалу A , как $\nabla =d+iA\,$ где d означает внешний вывод в пространстве Минковского . Монодромия – это голономия плоской связности. Голономия связи, плоской или неплоской, вокруг замкнутого контура. $\gamma$ является $e^{i\int _{\gamma }A}$ (можно показать, что это зависит не от тривиализации, а только от связности). Для плоской связи можно найти калибровочное преобразование в любой односвязной свободной области поля (действующей на волновые функции и связи), которое калибрует векторный потенциал. Однако если монодромия нетривиальна, такого калибровочного преобразования для всей внешней области не существует. Фактически, как следствие теоремы Стокса , голономия определяется магнитным потоком через поверхность $\sigma$ ограничивающий цикл $\gamma$, но такая поверхность может существовать только в том случае, если $\sigma$ проходит через область нетривиального поля:

$e^{i\int _{\partial \sigma }A}=e^{i\int _{\sigma }dA}=e^{i\int _{\sigma }F}$

Монодромия плоской связности зависит только от топологического типа петли в свободной области поля (фактически от класса гомологии петель ). Однако описание голономии является общим и работает как внутри, так и снаружи сверхпроводника. За пределами проводящей трубки, содержащей магнитное поле, напряженность поля $F=0$. Другими словами, вне трубки связь плоская, и монодромность витка, находящегося в свободной от поля области, зависит только от числа витков вокруг трубки. Монодромия связи для одинарного витка (обмотка номер 1) представляет собой разность фаз интерферирующей частицы, распространяющейся влево и вправо от сверхпроводящей трубки, содержащей магнитное поле. Если кто-то хочет игнорировать физику внутри сверхпроводника и описывать только физику во внешней области, то становится естественным и математически удобным описать квантовый электрон сечением сложного линейного пучка с «внешней» плоской связью. $\nabla$ с монодромией

$\alpha =$ магнитный поток через трубку / $(\hbar /e)$

а не внешнее ЭМ поле $F$. Уравнение Шредингера легко обобщается на эту ситуацию, используя лапласиан связи для (свободного) гамильтониана

$H={\frac {1}{2m}}\nabla ^{*}\nabla$.

Аналогично можно работать в двух односоединенных областях с разрезами, идущими от трубки к экрану обнаружения или от него. В каждой из этих областей пришлось бы решать обычные свободные уравнения Шредингера, но при переходе из одной области в другую только в одной из двух связных компонент пересечения (фактически только в одной из щелей) возникает коэффициент монодромии. $e^{i\alpha }$ улавливается, что приводит к сдвигу интерференционной картины при изменении потока.

Эффекты с подобной математической интерпретацией можно найти и в других областях. Например, в классической статистической физике квантование молекулярного моторного движения в стохастической среде можно интерпретировать как эффект Ааронова–Бома, индуцированный калибровочным полем, действующим в пространстве управляющих параметров.

См. также

• Геометрическая фаза
• Угол Ханнея
• Функция Ванье
• Ягодная фаза
• Петля Вильсона
• Номер обмотки
• Эффект Ааронова-Кошера
• Теорема Байерса – Янга

Дальнейшее чтение

• Диджей Таулесс (1998). «§2.2 Калибровочная инвариантность и эффект Ааронова – Бома» . Топологические квантовые числа в нерелятивистской физике . Всемирная научная. стр. 18 и далее . ISBN  978-981-02-3025-8 .

Внешние ссылки

• Страница Общества Дэвида Бома об эффекте Ааронова-Бома.