Уравнения Янга – Миллса

В этой статье уравнения Янга – Миллса обсуждаются с математической точки зрения. С точки зрения физики см. теорию Янга – Миллса.

ДХ ​ ¹ ⊗σ ₃ коэффициент BPST-инстантона на (x ¹ ,х ² ) -кусок R ⁴ где σ ₃ — третья матрица Паули (вверху слева). ДХ ​ ² Коэффициент ⊗σ ₃ (справа вверху). Эти коэффициенты определяют ограничение инстантона A BPST с g=2, ρ=1,z=0 на этот срез. Соответствующая напряженность поля сосредоточена вокруг z=0 (внизу слева). Визуальное представление напряженности поля BPST-инстантона с центром z на компактификации S ⁴ Р ​ ⁴ (внизу справа). Инстантон BPST является решением уравнений антиавтодуальности и, следовательно, уравнений Янга – Миллса на R ⁴ . Это решение может быть расширено с помощью теоремы Уленбека об устранимой особенности до топологически нетривиальной ASD-связности на S. ⁴ .

В физике и математике , и особенно в дифференциальной геометрии и калибровочной теории , уравнения Янга-Миллса представляют собой систему уравнений в частных производных для связи на векторном расслоении или главном расслоении . Они возникают в физике как уравнения Эйлера–Лагранжа функционала действия Янга –Миллса . Они также нашли существенное применение в математике.

Решения уравнений называются связями Янга–Миллса или инстантонами . Пространство модулей инстантонов было использовано Саймоном Дональдсоном для доказательства теоремы Дональдсона .

Мотивация

Физика

В своей основополагающей статье по теме калибровочных теорий Роберт Миллс и Чен-Нин Ян разработали (по существу независимо от математической литературы) теорию главных расслоений и связностей, чтобы объяснить концепцию калибровочной симметрии и калибровочной инвариантности применительно к физические теории. Калибровочные теории, открытые Янгом и Миллсом, теперь называемые теориями Янга-Миллса , обобщили классическую работу Джеймса Максвелла по уравнениям Максвелла , которая была сформулирована на языке $\operatorname {U} (1)$ Калибровочная теория Вольфганга Паули и других. Новизна работы Янга и Миллса заключалась в определении калибровочных теорий для произвольного выбора группы Ли. $G$, называемая структурной группой (или в физике калибровочной группой , см. Калибровочная группа (математика) подробнее ). Эта группа могла бы быть неабелевой в отличие от случая $G=\operatorname {U} (1)$ соответствует электромагнетизму, и подходящей основой для обсуждения таких объектов является теория главных расслоений .

Существенные моменты работы Янга и Миллса заключаются в следующем. Предполагается, что фундаментальное описание физической модели осуществляется посредством использования полей , и получается, что при локальном калибровочном преобразовании (изменении локальной тривиализации главного расслоения) эти физические поля должны трансформироваться именно так, как соединение $A$ (в физике — калибровочное поле ) на главном расслоении преобразуется. Напряженность калибровочного поля – это кривизна $F_{A}$ связи, а энергия калибровочного поля задается (с точностью до константы) функционалом действия Янга–Миллса

$\operatorname {YM} (A)=\int _{X}\|F_{A}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}.$

Принцип наименьшего действия требует, чтобы правильные уравнения движения для этой физической теории были заданы уравнениями Эйлера-Лагранжа этого функционала, которые представляют собой уравнения Янга-Миллса, полученные ниже :

$d_{A}\star F_{A}=0.$

Математика

Помимо физического происхождения теории, уравнения Янга – Миллса представляют важный геометрический интерес. В общем случае не существует естественного выбора связности в векторном или главном расслоении. В частном случае, когда это расслоение является касательным к риманову многообразию , существует такой естественный выбор — связность Леви-Чивита , но в общем случае существует бесконечномерное пространство возможных выборов. Соединение Янга–Миллса дает своего рода естественный выбор соединения для общего расслоения, как мы сейчас опишем.

Соединение определяется его локальными формами. $A_{\alpha }\in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {ad} (P))$ для упрощения открытой обложки $\{U_{\alpha }\}$ для пакета $P\to X$. Первой попыткой выбора канонической связи могло бы стать требование исчезновения этих форм. Однако это невозможно, если тривиализация не является плоской в ​​том смысле, что функции перехода $g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G$ являются постоянными функциями. Не каждый пучок плоский, поэтому это вообще невозможно. Вместо этого можно было бы попросить, чтобы локальное соединение формировалось $A_{\alpha }$ сами по себе постоянны. На главном расслоении правильно сформулировать это условие так: кривизна $F_{A}=dA+{\frac {1}{2}}[A,A]$ исчезает. Однако по теории Черна–Вейля, если кривизна $F_{A}$ исчезает (то есть $A$ является плоской связностью ), то базовое главное расслоение должно иметь тривиальные классы Чженя , что является топологическим препятствием для существования плоских связностей: не каждое главное расслоение может иметь плоскую связность.

Лучшее, на что можно надеяться, — это потребовать, чтобы вместо исчезающей кривизны пучок имел как можно меньшую кривизну . Описанный выше функционал действия Янга – Миллса представляет собой в точности (квадрат) $L^{2}$-норма кривизны, а ее уравнения Эйлера–Лагранжа описывают критические точки этого функционала: либо абсолютные минимумы, либо локальные минимумы. Другими словами, связи Янга–Миллса — это именно те соединения, которые минимизируют их кривизну. В этом смысле они являются естественным выбором связности главного или векторного расслоения над многообразием с математической точки зрения.

Определение

Позволять $X$ — компактное ориентированное ​ риманово многообразие . Уравнения Янга – Миллса можно сформулировать для связи на векторном расслоении или главном $G$-связывать $X$, для некоторой компактной группы Ли $G$. Здесь представлено последнее соглашение. Позволять $P$ обозначаем принципала $G$-связывать $X$. Затем соединение на $P$ может быть задано дифференциальной формой со значениями в алгебре Ли $A$ на всем пространстве главного расслоения. Это соединение имеет кривизну $F_{A}$, который представляет собой две формы на $X$ со значениями в присоединенном пучке $\operatorname {ad} (P)$ из $P$. Связано с соединением $A$ является внешней ковариантной производной $d_{A}$, определенный на присоединенном расслоении. Кроме того, поскольку $G$ компактна, ассоциированная с ней компактная алгебра Ли допускает инвариантное скалярное произведение относительно присоединенного представления .

С $X$ существует скалярный продукт является римановым, на кокасательном расслоении и в сочетании с инвариантным скалярным продуктом на $\operatorname {ad} (P)$ в пакете есть внутренний продукт $\operatorname {ad} (P)\otimes \Lambda ^{2}T^{*}X$ из $\operatorname {ad} (P)$-значные двузначные формы на $X$. С $X$ ориентирован, имеется $L^{2}$-внутреннее произведение на сечениях этого пучка. А именно,

$\langle s,t\rangle _{L^{2}}=\int _{X}\langle s,t\rangle \,dvol_{g}$

где внутри интеграла используется послойный внутренний продукт, и $dvol_{g}$ является объема римановой формой $X$. Используя это $L^{2}$-внутренний продукт, формальный сопряженный оператор $d_{A}$ определяется

$\langle d_{A}s,t\rangle _{L^{2}}=\langle s,d_{A}^{*}t\rangle _{L^{2}}$.

Явно это определяется выражением $d_{A}^{*}=\pm \star d_{A}\star$ где $\star$ — звездный оператор Ходжа, действующий на две формы.

Если предположить, что все сделано выше, уравнения Янга – Миллса представляют собой систему (в общем нелинейных) дифференциальных уравнений в частных производных, определяемую формулой

$d_{A}^{*}F_{A}=0.$ ( 1 )

Поскольку звезда Ходжа является изоморфизмом, по явной формуле для $d_{A}^{*}$ уравнения Янга – Миллса эквивалентно могут быть записаны

$d_{A}\star F_{A}=0.$ ( 2 )

Соединение, удовлетворяющее ( 1 ) или ( 2 ), называется соединением Янга–Миллса .

Каждое соединение автоматически удовлетворяет тождеству Бьянки. $d_{A}F_{A}=0$, поэтому связи Янга–Миллса можно рассматривать как нелинейный аналог гармонических дифференциальных форм , которые удовлетворяют

$d\omega =d^{*}\omega =0$.

В этом смысле поиск связей Янга–Миллса можно сравнить с теорией Ходжа , которая ищет гармонического представителя в классе когомологий де Рама дифференциальной формы. Аналогия заключается в том, что связность Янга – Миллса подобна гармоническому представителю множества всех возможных связей в главном расслоении.

Вывод

Уравнения Янга–Миллса представляют собой уравнения Эйлера–Лагранжа функционала Янга–Миллса , определяемого формулой

$\operatorname {YM} (A)=\int _{X}\|F_{A}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}.$ ( 3 )

Для вывода уравнений из функционала напомним, что пространство ${\mathcal {A}}$ всех соединений на $P$ это аффинное пространство, смоделированное на векторном пространстве $\Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})$. Учитывая небольшую деформацию $A+ta$ связи $A$ в этом аффинном пространстве кривизны связаны соотношением

$F_{A+ta}=F_{A}+td_{A}a+t^{2}a\wedge a.$

Чтобы определить критические точки ( 3 ), вычислите

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(\operatorname {YM} (A+ta)\right)_{t=0}&={\frac {d}{dt}}\left(\int _{X}\langle F_{A}+t\,d_{A}a+t^{2}a\wedge a,F_{A}+t\,d_{A}a+t^{2}a\wedge a\rangle \,d\mathrm {vol} _{g}\right)_{t=0}\\&={\frac {d}{dt}}\left(\int _{X}\|F_{A}\|^{2}+2t\langle F_{A},d_{A}a\rangle +2t^{2}\langle F_{A},a\wedge a\rangle +t^{4}\|a\wedge a\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}\right)_{t=0}\\&=2\int _{X}\langle d_{A}^{*}F_{A},a\rangle \,d\mathrm {vol} _{g}.\end{aligned}}$

Связь $A$ является критической точкой функционала Янга–Миллса тогда и только тогда, когда она обращается в нуль при каждом $a$, и это происходит именно тогда, когда ( 1 ) выполняется.

Пространство модулей связностей Янга – Миллса

Уравнения Янга–Миллса калибровочно-инвариантны . Математически калибровочное преобразование является автоморфизмом. $g$ основного пакета $P$, и поскольку скалярный продукт на $\operatorname {ad} (P)$ инвариантен, функционал Янга–Миллса удовлетворяет условию

$\operatorname {YM} (g\cdot A)=\int _{X}\|gF_{A}g^{-1}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}=\int _{X}\|F_{A}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}=\operatorname {YM} (A)$

и так, если $A$ удовлетворяет ( 1 ), так же $g\cdot A$.

Существует пространство модулей связностей Янга–Миллса по модулю калибровочных преобразований. Обозначим через ${\mathcal {G}}$ калибровочная группа автоморфизмов $P$. Набор ${\mathcal {B}}={\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}$ классифицирует все связи по модулю калибровочных преобразований и пространство модулей ${\mathcal {M}}$ связей Янга–Миллса является подмножеством. В общем ни то ${\mathcal {B}}$ или ${\mathcal {M}}$ является Хаусдорфовым или гладким многообразием. Однако, ограничиваясь неприводимыми связями, т. е. связями $A$ которого группа голономии задана всеми $G$, получаются пространства Хаусдорфа. Пространство неприводимых связностей обозначается ${\mathcal {A}}^{*}$, поэтому пространства модулей обозначаются ${\mathcal {B}}^{*}$ и ${\mathcal {M}}^{*}$.

Пространства модулей связностей Янга – Миллса интенсивно изучались в конкретных обстоятельствах. Майкл Атья и Рауль Ботт изучали уравнения Янга–Миллса для расслоений над компактными римановыми поверхностями . Там пространство модулей получает альтернативное описание как пространство модулей голоморфных векторных расслоений . Это теорема Нарасимхана–Сешадри , которая в этой форме была доказана Дональдсоном, связывающим связности Янга–Миллса с голоморфными векторными расслоениями. В этом случае пространство модулей имеет структуру компактного кэлерова многообразия . Модули связностей Янга – Миллса наиболее изучены, когда размерность базового многообразия $X$ это четыре. Здесь уравнения Янга – Миллса допускают упрощение от УЧП второго порядка до УЧП первого порядка, уравнений антиавтодуальности .

Уравнения антисамодуальности

При размере базового коллектора $X$ равно четырем, происходит совпадение: звездный оператор Ходжа отображает две формы в две формы,

$\star :\Omega ^{2}(X)\to \Omega ^{2}(X)$.

В этом случае звездный оператор Ходжа равен тождеству и поэтому имеет собственные значения $1$ и $-1$. В частности, имеет место разложение

$\Omega ^{2}(X)=\Omega _{+}(X)\oplus \Omega _{-}(X)$

на положительное и отрицательное собственное пространство $\star$, самодвойственная и антисамодвойственная две формы. Если соединение $A$ по принципу принципала $G$-расслоение на четырехмногообразии $X$ удовлетворяет либо $F_{A}={\star F_{A}}$ или $F_{A}=-{\star F_{A}}$, то согласно ( 2 ) связь является связностью Янга–Миллса. Эти связи называются либо самодуальными связями , либо антиавтодуальными связями , а уравнения — уравнениями самодуальности (SD) и уравнениями антисамодуальности (ASD) . Пространства самодуальной и антиавтодуальной связностей обозначаются через ${\mathcal {A}}^{+}$ и ${\mathcal {A}}^{-}$, и аналогично для ${\mathcal {B}}^{\pm }$ и ${\mathcal {M}}^{\pm }$.

Пространство модулей АСД-связей, или инстантонов, наиболее интенсивно изучалось Дональдсоном в случае, когда $G=\operatorname {SU} (2)$ и $X$ является односвязным . В этой обстановке главный $\operatorname {SU} (2)$-расслоение классифицируется по второму классу Черна , $c_{2}(P)\in H^{4}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$. При различном выборе главного расслоения получаются пространства модулей с интересными свойствами. Эти пространства хаусдорфовы, даже если допускаются приводимые связности, и в общем случае гладкие. Дональдсон показал, что гладкая часть ориентируема. По теореме об индексе Атьи-Зингера можно вычислить, что размерность ${\mathcal {M}}_{k}^{-}$, пространство модулей соединений ASD, когда $c_{2}(P)=k$, быть

$\dim {\mathcal {M}}_{k}^{-}=8k-3(1-b_{1}(X)+b_{+}(X))$

где $b_{1}(X)$ это первое Бетти число $X$, и $b_{+}(X)$ - размерность положительно определенного подпространства $H_{2}(X,\mathbb {R} )$ относительно формы пересечения на $X$. Например, когда $X=S^{4}$ и $k=1$, форма пересечения тривиальна, а пространство модулей имеет размерность $\dim {\mathcal {M}}_{1}^{-}(S^{4})=8-3=5$. Это согласуется с существованием инстантона BPST , который является уникальным инстантоном ASD на $S^{4}$ семейство до 5 параметров, определяющее его центр в $\mathbb {R} ^{4}$ и его масштаб. Такие инстантоны на $\mathbb {R} ^{4}$ может быть продолжено через точку на бесконечности, используя теорему об устранимой особенности Уленбека. В целом, для позитива $k,$ пространство модулей имеет размерность $8k-3.$

Приложения

Теорема Дональдсона

Основная статья: теорема Дональдсона

Пространство модулей уравнений Янга – Миллса было использовано Дональдсоном для доказательства теоремы Дональдсона о форме пересечения односвязных четырехмногообразий. Используя аналитические результаты Клиффорда Таубса и Карен Уленбек , Дональдсон смог показать, что в определенных обстоятельствах (когда форма пересечения определена ) пространство модулей инстантонов ASD на гладком, компактном, ориентированном, односвязном четырехмногообразии $X$ дает кобордизм между копией самого многообразия и несвязным объединением копий комплексной проективной плоскости. $\mathbb {CP} ^{2}$. Форма пересечения представляет собой кобордизм, инвариантный с точностью до изоморфизма, показывающий, что любое такое гладкое многообразие имеет диагонализуемую форму пересечения.

Пространство модулей инстантонов ASD можно использовать для определения дальнейших инвариантов четырехмногообразий. Дональдсон определил рациональные числа, связанные с четырехмерным многообразием, возникающие в результате спаривания классов когомологий в пространстве модулей. Эта работа впоследствии была превзойдена инвариантами Зайберга – Виттена .

Приведение размерностей и другие пространства модулей

Посредством процесса уменьшения размерностей уравнения Янга – Миллса можно использовать для вывода других важных уравнений дифференциальной геометрии и калибровочной теории. Сокращение размерностей - это процесс применения уравнений Янга – Миллса к четырехмерному многообразию, обычно $\mathbb {R} ^{4}$и предполагая, что решения инвариантны относительно группы симметрии. Например:

• Требуя, чтобы уравнения антисамодуальности были инвариантны относительно сдвигов в одном направлении $\mathbb {R} ^{4}$, получаем уравнения Богомольного , описывающие магнитные монополи на $\mathbb {R} ^{3}$.
• Требуя, чтобы уравнения самодуальности были инвариантны при сдвиге в двух направлениях, можно получить уравнения Хитчина, впервые исследованные Хитчином . Эти уравнения естественным образом приводят к изучению расслоений Хиггса и системы Хитчина .
• Требуя, чтобы уравнения антисамодуальности были инвариантными в трех направлениях, можно получить уравнения Нама на интервале.

Существует двойственность между решениями размерно приведенных уравнений АСД на $\mathbb {R} ^{3}$ и $\mathbb {R}$ называется преобразованием Нама в честь Вернера Нама , который первым описал, как построить монополи на основе данных уравнения Нама. Хитчин показал обратное, а Дональдсон доказал, что решения уравнений Нама в дальнейшем могут быть связаны с пространствами модулей рациональных отображений комплексной проективной прямой в себя.

Предполагается, что двойственность, наблюдаемая для этих решений, справедлива для произвольных двойственных групп симметрий четырехмерного многообразия. Действительно, аналогичная двойственность существует между инстантонами, инвариантными относительно двойственных решеток внутри $\mathbb {R} ^{4}$, инстантоны на двойственных четырехмерных торах, а конструкцию ADHM можно рассматривать как двойственность между инстантонами на двойственных четырехмерных торах. $\mathbb {R} ^{4}$ и двойственные алгебраические данные в одной точке.

Понижение симметрии уравнений ASD также приводит к ряду интегрируемых систем , и гипотеза Уорда состоит в том, что на самом деле все известные интегрируемые ОДУ и УЧП возникают в результате снижения симметрии ASDYM. Например, сокращение SU(2) ASDYM дает уравнение синус-Гордона и Кортевега – де Фриза , $\mathrm {SL} (3,\mathbb {R} )$ ASDYM дает уравнение Цитцейки и конкретное сокращение до $2+1$ размерности дает интегрируемую киральную модель Уорда. В этом смысле это «основная теория» интегрируемых систем, позволяющая восстановить многие известные системы путем выбора соответствующих параметров, таких как выбор калибровочной группы и схемы уменьшения симметрии. Другими такими основными теориями являются четырехмерная теория Черна – Саймонса и аффинная модель Годена .

Chern–Simons theory

Основная статья: теория Черна – Саймонса

Пространство модулей уравнений Янга–Миллса над компактной римановой поверхностью $\Sigma$ можно рассматривать как конфигурационное пространство теории Черна – Саймонса на цилиндре. $\Sigma \times [0,1]$. В этом случае пространство модулей допускает геометрическое квантование , открытое независимо Найджелом Хитчиным и Аксельродом-Деллой Пьетрой- Виттеном .

См. также

• Соединение (векторный пакет)
• Подключение (основной пакет)
• Теория Дональдсона
• Эрмитовые уравнения Янга – Миллса
• Деформированные эрмитовые уравнения Янга – Миллса.
• Уравнения Янга–Миллса–Хиггса.